Mecânica Vetorial para Engenheiros

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Tradução
Antônio Eustáquio de Melo Pertence
Mestre e Doutor em Engenharia Metalúrgica e de Minas pela UFMG
Professor do Departamento de Engenharia Mecânica da UFMG
Revisão Técnica
Antonio Pertence Júnior
Mestre em Engenharia Mecânica pela UFMG
Professor da Faculdade de Engenharia e Arquitetura (FEA) da Universidade FUMEC/MG
2012
FERDINAND P. BEER
Ex-professor da Lehigh University
E. RUSSELL JOHNSTON, JR.
University of Connecticut
PHILLIP J. CORNWELL
Rose-Hulman Institute of Technology
Versão impressa 
desta obra: 2012
Mecânica Vetorial
para Engenheiros
DINÂMICA
ª Edição
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Obra originalmente publicada sob o título
Vector Mechanics for Engineers: Dynamics, 9th Edition
ISBN 007724961X /9780077249168
Copyright © 2009, The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Portuguese-language translation copyright ® 2012 AMGH Editora Ltda. All rights reserved.
Capa: Maurício Pamplona (arte sobre capa original)
Foto de capa: © John Peter Photography/Alamy
Leitura final: Grace Guimarães Mosquera
Gerente editorial – CESA: Arysinha Jacques Affonso
Editora sênior: Viviane R. Nepomuceno
Assistente editorial: Kelly Rodrigues dos Santos
Projeto e editoração: Techbooks
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As pessoas se perguntam como Ferd Beer e Russ Johnston puderam es-
crever em conjunto seus livros, uma vez que um estava em Lehigh e ou-
tro na University of Connecticut.
A resposta para essa pergunta é simples. A primeira nomeação como 
docente de Russ Johnston foi para o Departamento de Engenharia Civil 
e Mecânica na Lehigh University. Lá ele conheceu Ferd Beer, que já 
trabalhava no departamento há dois anos e era o coordenador dos cursos 
de mecânica.
Ferd ficou contente ao descobrir que o seu novo colega, contratado 
principalmente para ministrar cursos de pós-graduação de engenharia 
estrutural, não só se dispunha, mas também estava ansioso para ajudá-
-lo a reestruturar os cursos de mecânica. Ambos acreditavam que esses 
cursos deveriam ser ensinados a partir de alguns princípios básicos e que 
os conceitos envolvidos seriam melhor compreendidos e lembrados pe-
los alunos se fossem apresentados de maneira gráfica. Juntos, eles trans-
creveram anotações de aula em estática e dinâmica e, posteriormente, 
acrescentaram problemas motivadores para os futuros engenheiros. Logo 
produziram o original da primeira edição do Mechanics for Engineers, 
publicado em junho de 1956.
Na segunda edição de Mechanics for Engineers e na primeira edição 
de Vector Mechanics for Engineers, Russ Johnston já estava no Worcester 
Polytechnic Institute e, nas edições seguintes, na University of Connecti-
cut. Enquanto isso, tanto Ferd como Russ assumiram responsabilidades 
administrativas em seus departamentos e se envolveram em pesquisa, 
consultoria e supervisão de estudantes da pós-graduação: Ferd na área de 
processos estocásticos e vibrações aleatórias e Russ na área de estabilida-
de elástica e análise de projetos estruturais. No entanto, o interesse deles 
em aprimorar o ensino das disciplinas básicas de mecânica não diminuiu, 
e ambos ministraram partes desses cursos, enquanto continuavam revi-
sando seus textos, e começaram a escrever os originais da primeira edição 
do livro Mechanics of Materials.
Essa parceria durou mais de meio século e rendeu várias revisões 
bem-sucedidas de seus livros. As contribuições de Ferd e Russ para o 
ensino da engenharia lhes valeram uma série de homenagens e prêmios. 
Eles foram condecorados com o Western Electric Fund Award da Ame-
rican Society for Engineering Education pela excelência no ensino de es-
tudantes de engenharia em suas respectivas regionais. Ambos receberam 
também o Distinguished Educator Award, concedido pela Mechanics 
Division da mesma sociedade. Desde 2001, o prêmio New Mechanics 
Educator Award da Mechanics Division passou a ter este nome em ho-
menagem aos autores Beer e Johnston.
Ferdinand P. Beer. Nascido na França e educado na França e na Suíça, 
é Mestre em Ciências pela Sorbonne e Doutor em Mecânica Teórica pela 
University of Genebra. Radicou-se nos Estados Unidos após servir ao 
exército francês no início da Segunda Grande Guerra e lecionar duran-
te quatro anos no Williams College, no programa conjunto da Williams-
-MIT em artes e engenharia. Após trabalhar no Williams College, Ferd 
ingressou no corpo docente da Lehigh University, onde lecionou durante 
37 anos. Ocupou vários cargos, incluindo o de Professor Emérito da Uni-
versidade e chefe do Departamento de Engenharia Mecânica. Em 1995, 
Ferd foi agraciado com o título honorário de Doutor em Engenharia pela 
Lehigh University.
SOBRE OS AUTORES
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vi Sobre os autores
E. Russell Johnston, Jr. Nascido na Filadélfia, Russ recebeu o título 
de Bacharel em Engenharia Civil da University of Delaware e o títu-
lo de Doutor em Engenharia Estrutural do Massachusetts Institute of 
Technology. Lecionou na Lehigh University e no Worcester Polytechnic 
Institute antes de se juntar ao corpo docente da University of Connecti-
cut, onde ocupou o cargo de chefe do Departamento de Engenharia Ci-
vil e lecionou por 26 anos. Em 1991, Russ recebeu o prêmio Outstanding 
Civil Engineer Award pela Connecticut Section da American Society of 
Civil Engineers.
Phillip J. Cornwell. Phil recebeu o título de Bacharel em Engenharia 
Mecânica pela Texas Tech University e título de Metre e Doutor em En-
genharia Mecânica e Aeroespacial pela Princeton University. Atualmente 
é professor de engenharia mecânica no Rose-Hulman Institute of Tech-
nology, onde ensina desde 1989. Seus interesses atuais incluem dinâmica 
estrutural, monitoramento da saúde estrutural e ensino na graduação de 
engenharia. Phil passa seus verões trabalhando em Los Alamos Natio-
nal Laboratory onde é o conselheiro da Los Alamos Dynamics Summer 
School e faz pesquisa na área de monitoramento da saúde estrutural. Phil 
recebeu o prêmio SAE Ralph R. Teetor Educational em 1992, o prêmio 
Dean’s Outstanding Scholar em Rose-Hulman em 2000 e o prêmio Board 
of Trustees Outstanding Scholar em Rose-Hulman em 2001.
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Objetivos
O principal objetivo de um primeiro curso de mecânica deve ser desen-
volver no estudante de engenharia a capacidade de analisar qualquer 
problema de modo simples e lógico e aplicar à sua solução alguns poucos 
princípios básicos bem conhecidos. Espera-se que este texto, assim como 
o volume anterior, Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática, auxilie 
o professor a alcançar esse objetivo.
Abordagem geral
A análise vetorial foi introduzida no início do primeiro volume e usada na 
apresentação dos princípios básicos de estática, assim como para a reso-
lução de muitos problemas, em particular de problemas tridimensionais. 
Analogamente, o conceito de diferenciação vetorial será introduzido logo 
no início deste volume, e a análise vetorial será usada ao longo de toda a 
apresentação dos conceitos de dinâmica. Essa abordagem leva a deduções 
mais concisas dos princípios fundamentais da mecânica. Também torna 
possível analisar muitos problemas de cinemática e cinética que não pode-riam ser resolvidos por métodos escalares. No entanto, a ênfase do texto 
permanece sendo a compreensão correta dos princípios da mecânica e a 
sua aplicação à solução de problemas de engenharia, sendo a análise veto-
rial apresentada principalmente como uma ferramenta adequada.*
Aplicações práticas são imediatamente apresentadas. Uma 
das características da abordagem adotada neste livro é que a mecânica 
de partículas é claramente separada da mecânica de corpos rígidos. Essa 
abordagem nos possibilita considerar aplicações práticas e simples já em 
um estágio inicial e postergar a introdução de conceitos mais complexos. 
Por exemplo:
• No volume de Estática, a estática de partículas foi tratada em pri-
meiro lugar, e o princípio de equilíbrio de uma partícula foi ime-
diatamente aplicado a situações práticas envolvendo apenas forças 
concorrentes. A estática de corpos rígidos foi considerada mais tarde, 
na ocasião em que os produtos escalares e vetoriais de dois vetores 
foram introduzidos e usados para definir o momento de uma força 
em relação a um ponto e em relação a um eixo.
• No volume de Dinâmica, a mesma divisão foi observada. Os conceitos 
básicos de força, massa e aceleração, de trabalho e energia e de impul-
so e quantidade de movimento são introduzidos e aplicados em pri-
meiro lugar a problemas que envolvem somente partículas. Assim, os 
estudantes podem se familiarizar com os três métodos básicos usados 
em dinâmica e aprender suas respectivas vantagens antes de se defron-
tar com as dificuldades associadas ao movimento de corpos rígidos.
Novos conceitos são apresentados em termos simples. Consi-
derando que este texto foi desenvolvido para um primeiro curso de di-
nâmica, os conceitos novos são apresentados em termos simples, e cada 
etapa é explicada em detalhe. Por outro lado, ao discutir os aspectos mais 
* Em um texto paralelo, em inglês, Mechanics for Engineers: Dynamics, 5a edição, o uso de 
álgebra vetorial fica limitado à adição e subtração de vetores, e o diferencial de um vetor 
é omitido.
PREFÁCIO
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viii Prefácio
amplos dos problemas considerados e ao acentuar os métodos de aplica-
ção geral, atingiu-se uma maturidade definitiva de abordagem. Por exem-
plo, o conceito de energia potencial é discutido no contexto geral de força 
conservativa. Além disso, o estudo do movimento plano de corpos rígidos 
foi projetado para conduzir naturalmente ao estudo de seu movimento 
mais geral no espaço. Isso é verdadeiro tanto em cinemática como em 
cinética, onde o princípio de equivalência de forças efetivas e externas é 
aplicado diretamente à análise do movimento plano, facilitando, assim, a 
transição para o estudo do movimento tridimensional.
Princípios fundamentais são apresentados no contexto de apli-
cações simples. O fato de a mecânica ser essencialmente uma ciên-
cia dedutiva, baseada em poucos princípios fundamentais, é acentuado. 
As derivações são apresentadas em sua sequência lógica e com todo o 
rigor permitido neste nível. Entretanto, como o processo de aprendiza-
gem é amplamente indutivo, as aplicações simples são consideradas em 
primeiro lugar. Por exemplo:
• A cinemática de partículas (Cap. 11) precede a cinemática de corpos 
rígidos (Cap. 15).
• Os princípios fundamentais da cinética de corpos rígidos são apli cados 
primeiro à solução de problemas bidimensionais (Caps. 16 e 17), que 
podem ser mais facilmente visualizados pelo estudante, enquanto os 
problemas tridimensionais são abordados somente no Cap. 18.
A apresentação dos princípios de cinética é unificada. A 
nona edição de Mecânica Vetorial para Engenheiros manteve a apre-
sentação unificada de cinética que caracterizou as oito edições ante-
riores. Os conceitos de quantidade de movimento linear e angular são 
introduzidos no Cap. 12 de modo que a segunda lei de Newton do 
movimento possa ser apresentada não apenas em sua forma conven-
cional F = ma, mas também como uma lei que relaciona, respecti-
vamente, a soma das forças que agem sobre uma partícula e de seus 
momentos às taxas de variação da quantidade de movimento linear e 
angular da partícula. Isso torna possível introduzir antecipadamente 
o princípio de conservação da quantidade de movimento angular e 
discutir de maneira mais significativa o movimento de uma partícula 
sujeita a uma força central (Seção 12.9). Mais importante ainda, essa 
abordagem pode ser prontamente estendida ao estudo do movimento 
de um sistema de partículas (Cap. 14) e leva a um tratamento mais 
conciso e unificado da cinética de corpos rígidos bi e tridimensionais 
(Caps. de 16 a 18).
Diagramas de corpo livre são usados tanto para resolver pro-
blemas de equilíbrio como para expressar a equivalência de 
sistemas de forças. Diagramas de corpo livre foram previamen-
te introduzidos em estática e sua importância é enfatizada ao longo de 
todo o livro. Eles foram usados não apenas para resolver problemas de 
equilíbrio, mas também para expressar a equivalência de dois sistemas 
de forças ou, de modo geral, de dois sistemas de vetores. A vantagem 
dessa abordagem torna-se aparente no estudo da dinâmica de corpos rí-
gidos, onde é usada para resolver tanto problemas tridimensionais como 
bidimensionais. Ao dar maior ênfase às “equações baseadas no diagrama 
de corpo livre” do que às equações algébricas do movimento, é possí-
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