stuchi USP_PONTES_E_GRANDES_ESTRUTURAS_NOTAS_DE

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
ESCOLA POLITÉCNICA 
Departamento de Estruturas e Fundações 
 
 
 
 
PEF-2404 
PONTES E GRANDES 
ESTRUTURAS 
 
(NOTAS DE AULA) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Dr. Fernando Rebouças Stucchi 
 
 
 
São Paulo 
2006 
 
 
 
SUMARIO 
 
1. INTRODUÇÃO __________________________________________________________ 1 
1.1. Evolução histórica das pontes _________________________________________________ 2 
1.2. Concepção de pontes _________________________________________________________ 4 
1.3. Princípios básicos da concepção _______________________________________________ 4 
2. SUPERESTRUTURA DE PONTES _________________________________________ 11 
2.1. Classificação das pontes conforme o tipo estrutural da superestrutura _______________ 11 
2.1.1. Pontes em laje __________________________________________________________________ 11 
2.1.2. Pontes em viga _________________________________________________________________ 12 
2.1.2.1. Ponte em duas vigas Tê, biapoiadas ____________________________________________ 12 
2.1.2.2. Ponte em grelha ____________________________________________________________ 14 
2.1.2.3. Ponte celular ______________________________________________________________ 15 
2.1.2.4. Sistemas longitudinais usuais _________________________________________________ 16 
2.1.3. Pontes em treliça, pórtico, arco ou suspensas por cabos – uma abordagem comparativa _______ 16 
2.2. Classificação das pontes conforme o método construtivo ___________________________ 23 
2.2.1. Pontes moldadas in loco sobre cimbramento fixo. ______________________________________ 23 
2.2.2. Pontes moldadas in loco sobre cimbramento móvel. ____________________________________ 24 
2.2.3. Consolos sucessivos moldados in loco _______________________________________________ 26 
2.2.4. Consolos sucessivos pré-moldados __________________________________________________ 28 
2.2.5. Vigas pré-moldadas _____________________________________________________________ 32 
2.2.6. Lançamentos progressivos ________________________________________________________ 33 
2.2.7. Pontes estaiadas ________________________________________________________________ 37 
2.2.8. Pontes pênseis __________________________________________________________________ 38 
2.2.9. Associação de dois ou mais métodos construtivos ______________________________________ 39 
2.3. Classificação das pontes conforme os materiais utilizados nas suas construções ________ 39 
2.3.1. Pontes de concreto ______________________________________________________________ 39 
2.3.2. Pontes de aço e mista aço - concreto ________________________________________________ 40 
2.3.3. Pontes de madeira _______________________________________________________________ 45 
2.4. Estudo de alguns tipos estruturais, comportamento estrutural e teorias de cálculo ______ 46 
2.4.1. Estruturas de superfície, uma introdução _____________________________________________ 46 
2.4.2. Lajes _________________________________________________________________________ 47 
2.4.2.1. Comportamento estrutural das lajes ____________________________________________ 48 
2.4.2.1.1. Laje retangular simplesmente apoiada ________________________________________ 48 
2.4.2.1.2. Outros casos a considerar _________________________________________________ 56 
 
 
2.4.3. Pontes em vigas – múltiplas (grelhas) ou celulares (caixões)______________________________ 63 
2.4.3.1. Análise da torção ___________________________________________________________ 63 
2.4.3.1.1. Barras de seção circular maciça ou vazada ____________________________________ 63 
2.4.3.1.2. Barras de seção retangular maciça ___________________________________________ 65 
2.4.3.1.3. Analogia de membrana (Prandtl – 1903) ______________________________________ 66 
2.4.3.1.4. Seções vazadas com dois eixos de simetria ____________________________________ 67 
2.4.3.1.5. Torção não uniforme _____________________________________________________ 68 
2.4.3.1.6. Centro de torção ou cisalhamento ___________________________________________ 74 
2.4.3.2. Estruturas em viga T única ___________________________________________________ 76 
2.4.3.3. Pontes em duas vigas ________________________________________________________ 77 
2.4.3.4. Pontes em 3 ou mais vigas (Grelhas) ___________________________________________ 77 
2.4.3.4.1. Processo de Courbon/Engesser _____________________________________________ 77 
2.4.3.4.2. Processo de Fauchart _____________________________________________________ 83 
2.4.3.5. Pontes celulares ____________________________________________________________ 90 
2.4.3.5.1. Seções unicelulares_______________________________________________________ 90 
2.4.3.5.2. Seções multicelulares _____________________________________________________ 95 
 
 
1 
 
 
 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
O projeto de uma ponte ou grande estrutura é o produto de um processo criativo 
constituído de uma seqüência de alternativas, onde cada uma procura melhorar a anterior, até que 
se atinja uma solução suficientemente boa para ser construída. 
Esse processo parte das condições locais, onde a obra deve ser implantada (topografia, 
geologia, condições climáticas, tráfego, etc.) e considerando os materiais e as técnicas 
construtivas disponíveis, os tipos estruturais e as teorias conhecidas, procura criar uma obra que 
atenda às funções previamente definidas, com uma série de qualidades especificadas. 
Assim, é preciso que a obra, além de atender às funções para que foi construída, seja 
suficientemente segura, econômica e estética. Atenção, não basta que a obra seja segura, ela deve 
ser econômica e estética! 
Entende-se aqui por segura a obra que tem probabilidade aceitável de manter suas 
características ao longo da vida útil e que avisa quando precisa de manutenção. 
Estética é a obra agradável de ser observada, bem inserida no local de implantação. 
Econômica é a solução que satisfaz as funções, segurança e estética com um custo 
próximo do mínimo. 
Na verdade, esse processo criativo não termina no projeto, mas estende-se à execução e 
inclusive à manutenção. 
Em função desse processo criativo e da importância estética do produto final, as pontes e 
grandes estruturas são usualmente chamadas "Obras de Arte". 
Esse curso tem por objetivo discutir não apenas os tipos estruturais e as teorias de cálculo 
conhecidas, mas também os materiais e as técnicas construtivas disponíveis. 
De forma a dar uma idéia da evolução dos materiais e das técnicas aplicadas à construção 
das pontes, vai a seguir um pequeno histórico. 
 
 
 
2 
 
1.1. Evolução histórica das pontes 
 
I. Pré-história 
� Estruturas de pedra: 
 
Figura 1 – Estrutura de pedra utilizada na pré-história. 
 
� Estruturas de madeira: 
Ficaram sem registro por problema de durabilidade. 
 
II. Idade antiga 
��������	�	
����
��
���	���	���������
	����������
����
 
Figura 2 - Aquedutos romanos de pedra. 
 
III. Idade média 
�������
�������
�
�
��
��
����	�����
�����	�������	�
����������
������
�	�	
����
��
����������
�����
 
Figura 3 - Arcos góticos de pedra. 
3 
 
IV. 1758 - Ponte de madeira sobre o Reno com 118m de vão. Grubenmann. Alemanha. 
V. 1779 - Ponte em arco treliçado de ferro fundido (liga ferro x carbono 2 a 5%) sobre o 
Severn na Inglaterra. Vão de 30m. Material frágil. 
VI. 1819 - Ponte Pênsil Menai, no País de Gales, com 175m de vão. Ferro laminado (liga ferro 
x carbono <0,2% + 3%). Martelai mais maleável. 
VII. 1824 - Cimento Portland. J Aspdin, Inglaterra. 
VIII. 1860 - Inicia-se a produção de aço na Inglaterra. 
IX. 1861 - Primeiras idéias do Concreto Armado. Monier, Coignet na França. 
X. 1890 - Pontes ferroviárias sobre o Firth of Forth na Escócia. Treliça de aço (liga de ferro x 
carbono <1,5%) com 512m de vão. Material dúctil, mas mais sensível à corrosão. 
XI. 1900 - Teoria do Concreto Armado. Mörsch, Alemanha. 
XII. 1928 - Freyssinet consegue viabilizaro concreto protendido usando aço de alta resistência 
para contrabalancear a retração e deformação lenta do concreto. 
XIII. 1930 - E.Baumgart usa pela primeira vez o processo de construção por consolos sucessivos 
numa ponte em concreto armado sobre o rio Peixe. Vão de 68m. 
XIV. 1945 - Primeira obra em concreto protendido (protensão posterior). Luzancy, França. Vão 
de 55m. Freyssinet. 
XV. 1952 - Ponte sobre o canal Donzère, França. Vão de 81m. Primeira obra estaiada moderna. 
 
Para fixar idéias vale relacionar alguns dos maiores vãos atualmente existentes: 
 
Viga de concreto: 301m (Stolmasundet, Noruega, 1998) 
Viga de aço: 300m (Rio-Niterói, Brasil, 1974) 
Treliça de aço: 549m (Quebec, Canadá, 1917) 
Arco de concreto: 390m (Krk, Croácia, 1980) 
Arco de aço: 510m (New River Gorge, USA, 1977) 
Estaiada de concreto: 530m (Skarnsund, Noruega, 1991) 
Estaiada de aço: 404m (Saint Nazaire, França 1998) 
Estaiada de aço/concreto: 890m (Tatara, Japão 1999) 
Pênsil de aço: 1990m (Akashikaikyo, Japão1998) 
 
 
4 
 
1.2. Concepção de pontes 
 
O processo criativo, ou de concepção, acima descrito, exige do engenheiro boa 
informação ao nível dos materiais e técnicas construtivas, bem como dos tipos estruturais e suas 
teorias. 
Isso, porém, não basta. É preciso boa formação, isto é, todos esses dados devem ser 
interiorizados, compreendidos na sua essência e interligados entre si de forma a dar ao 
engenheiro capacidade crítica e criativa. 
Relativamente aos materiais e técnicas construtivas, são essenciais suas exigências, suas 
qualidades e limitações. O que seria essencial nos tipos estruturais? A forma geométrica não é 
certamente o essencial, mas sim o seu comportamento, isto é, a maneira como a estrutura 
trabalha. Dois aspectos desse comportamento devem ser ressaltados: 
� Como a estrutura se deforma sob atuação de um determinado carregamento; 
� Como essas cargas caminham ao longo dela. É fundamental visualizar o 
caminhamento das cargas desde a origem, seu ponto de aplicação, até o destino, a 
fundação. Atenção, qualquer parcela esquecida desse caminho pode representar o elo 
fraco! 
Interiorizar esse comportamento corresponde a desenvolver o que usualmente se chama 
intuição ou sensibilidade estrutural. 
Como a concepção estrutural é um processo criativo baseado nessa intuição, quanto mais 
desenvolvida e cultivada ela for, maiores são as chances de obter uma boa concepção, uma 
verdadeira "Obra de Arte". 
 
1.3. Princípios básicos da concepção 
 
De modo a facilitar o processo de concepção podem-se enunciar alguns princípios. Esses 
princípios, como o próprio nome diz, não são gerais, mas têm um campo de validade 
suficientemente grande para justificá-los. 
1º) É fundamental visualizar o caminhamento das cargas; desde o ponto de aplicação até 
a fundação. 
2º) É conveniente projetar a fundação sob as cargas a suportar; preferencialmente fazendo 
coincidir o centro de gravidade das cargas com o da fundação. 
 
5 
 
�	������
�����
���� � !
�
������ "
����� #
�!$ %��&'� !
�������
( 
�	�)	��*���+,������	�����-)	�
�������	���	�����	���.
!�����/��������	��	������
!
 
�
����	�0�
1
�	��	�&	�
	�
2
!
��&
)���
��
	�����
 
Figura 4 – Exemplo de transporte de carga desde o ponto de aplicação até a fundação. 
 
3º) Princípio do caminho mais curto 
"O arranjo estrutural mais eficiente é aquele que fornece às cargas o caminho mais curto 
desde seus pontos de aplicação até a fundação." 
���
�	�� 3���+,��! 3���+,�� 
4	�0��5
6
/ /
� 7 7
/ /
/ /
/� �
 
Figura 5 – Exemplos de solução estrutural. 
������+,�
����	��	�����
�
�������
������	
8����0����
�
������	9
/
����	9
Estrutura ineficiente.
Só razões arquitetônicas
podem justificar essa solução.
 
Figura 6 - Edifício Suspenso. 
6 
 
4º) Princípio da rigidez 
Nas estruturas isostáticas o caminhamento das cargas é definido pelas condições de 
equilíbrio, mas nas hiperestáticas ele sofre também influência da rigidez. "Entre dois caminhos 
alternativos a carga caminha predominantemente pelo mais rígido." 
 
Estrutura Isostática. O equilíbrio determina o caminhamento das cargas. 
�
� 
�
�
$� ��$� 
Figura 7 – Viga isostática. 
 
Estrutura Hiperestática 
β�$ 
α�$ 
����� 
β�$ 
α�$ 
�����!
�
�
 
Figura 8 – Duas vigas ortogonais. 
Sendo l1 << l2 e I1 = I2 = I, a viga 1 é muito mais rígida transportando muito mais carga. 
De fato: 
 
� compatibilidade em x 
EI
Pl
EI
Pl
xflecha
4848
3
2
3
1 βα
== 
3
2
3
1 ll βα = (1) 
 
� equilíbrio vertical 
PPP =+ βα 
1=+ βα (2) 
 
 
Assim: 
ββα >>>=
3
1
3
2
l
l
. pois 12 ll >> 
7 
 
ou 
21
2
21
1 11
kk
k
e
kk
k
+
=
+
= βα (no caso geral quando I1 ≠ I2) 
onde 
3
48
l
EI
k = é a rigidez de uma viga para carga no meio do vão. 
 
A viga 1, por ser bem mais rígida, transporta bem mais carga. A proporção das cargas 
transportadas é a proporção das rigidezes: 
 
2
1
k
k
=
β
α
 
 
Se a viga 1 é 10x mais rígida, transporta 10x mais carga. 
Conclusão: "A rigidez define o caminhamento das cargas”. 
Nota: Numa estrutura hiperestática de grau de hiperestaticidade n, existem n+1 caminhos 
possíveis para as cargas. Verifique que isso vale para os 2 exemplos acima. 
 
Exemplo: Uma outra maneira de ver a hiperestaticidade. 
Grau de hiperestaticidade n = (n+1) caminhos alternativos para as cargas. 
a) Viga isostática: gh=0 
 Só existe 1 caminho para as cargas, que é aquele definido pelo equilíbrio. 
b) Viga engastada-apoiada: gh=1 
Devem existir 2 caminhos. 
�
 
��$�
�
 
��$!1: 
�
%2'
�
� 
�
% '
�!
�
 
Figura 9 – Caminhos das cargas para a viga engastada-apoioada. 
 
Como: baleng MM ≡ 
 
28
2
2
2 lppl
= 
4
3
4 12
p
pe
p
p == 
8 
 
Para esses valores de p1 e p2, os efeitos de p em (1) são iguais à soma dos efeitos de p1 e 
p2 em (2) e (3) respectivamente. 
(2) e (3) são os 2 caminhos alternativos. 
 
5º) Princípio da distribuição 
"O arranjo estrutural mais eficiente é aquele que distribui as cargas pelos seus elementos, 
convenientemente, evitando concentrações." 
 
Exemplo: Vãos bem proporcionados. 
 
0,31pl 1,01pl
α � �
4
α �
�
(1,32 = 0,82 + 0,5) 
Figura 10 – Diagrama de momentos permanentes para l’ = 0,82l. 
 
 
l´=α l 
128
' 22
plpl
= 
lll 82,0
12
8
' == 
Boa proporção: α=0,82 
 
7.����7.7 ��
7.1� � 7.1�
4
���	� ���+,�5
�
 
Figura 11 - Diagrama de momentos permanentes para l’ = 0,4l. 
 
Má proporção: α=0,4 
9 
 
6º) A eficiência das estruturas depende também da forma como elas são solicitadas. 
Considerando materiais adequados para cada caso, pode-se dizer que a eficiência varia como 
indica o quadro abaixo: 
 
Força Normal de Tração 
Força Normal de Compressão eficiência! 
Flexão (M,V) 
Torção 
 
�
���+,�
 Solução 1 Problema
?
Materiais bons: Aço
Madeira
 Solução 2 
Compressão
P
P
Concreto
(Armado ou Protendido)
Concreto
Madeira
Materiais bons: Aço
P
Materiais bons: Aço
Madeira
�
 Solução 4 
Torção
(Armado ou Protendido)
Concreto
Madeira
Materiais bons: Aço
 Solução 3 
Flexão
 
Figura 12 – Soluções estruturais, considerando os materiais adequados. 
 
Do ponto de vista estritamente estrutural as soluções perdem qualidade de 1 para 4. Isso 
se justifica, pois: 
Nas soluções 1 e 2, as barras trabalham à força normal usando toda a seção transversal 
das barras. (As tensões σ se distribuem uniformemente nas seções transversais). A solução 2 tem 
a desvantagem de gerar efeitos de 2a. ordem (“flambagem”). 
10 
 
Na solução 3 a flexão não consegue usar integralmente a seção transversal. Sobretudo a 
região central fora mal utilizada. Seções I ou caixão melhoram o desempenho. 
8����	��,�
���+,�
σ
/
�
4
 
Figura 13 – Tensões de flexão ao longo da altura da seção. 
 
Na solução 4, uma parcela importante do transporte da carga é feita por torção. A seção 
transversalda barra é solicitada ao cisalhamento desuniformemente. A região central é quase 
perdida. Seções caixão melhoram o desempenho. 
�
τ
 
Figura 14 – Tensões de cisalhamento ao longo da seção. 
 
11 
 
 
 
 
 
2. SUPERESTRUTURA DE PONTES 
 
2.1. Classificação das pontes conforme o tipo estrutural da superestrutura 
2.1.1. Pontes em laje 
 
Sistema longitudinal: biapoiada ou contínua 
Sistema transversal: maciça ou vazada (= nervurada) 
 
Muro de ala
Travessa de encontroArticulação
PLANTA CORTE TRANSVERSAL
Guarda roda
Guarda corpo
Estaca
ELEVAÇÃO Laje Cortina
 
Figura 15 – Ponte em laje. 
 
Comportamento estrutural: bidimensional, com boa capacidade de distribuição. 
 
12 
 
 
Figura 16 – Ponte em laje contínua 
 
M, V - Diagramas de esforços solicitantes no tabuleiro como um todo (M = kN.m; V = kN) 
m, v - Diagrama de distribuição dos esforços solicitantes ao longo da largura do tabuleiro 
(m = kN.m/m; v = kN/m) 
Assim: 
dymM
b
máx �= 
dyvV
b
máx �= 
 
2.1.2. Pontes em viga 
 
Sistema longitudinal: biapoiada ou contínua 
Sistema transversal: 2 ou mais vigas (tê ou celular) 
1 viga celular (caixão) 
 
2.1.2.1. Ponte em duas vigas Tê, biapoiadas 
�
)����������������
���	
�����)	������
 
Figura 17 – Ponte em duas vigas biapoiadas. 
 
13 
 
Sistema Transversal: 
 
T ~ 0
P
M1 T ~ 0
V1
t ~ 0m
M2
v ~ 0 V2
 
Figura 18 – Seção transversal e transporte de cargas. 
 
/
�
!
!
 
7
���������)����!η
 
Figura 19 – Linha de influência de carga na viga 1. 
 
η� %!/η'�
;
���
 <
���7. ��; 
Figura 20 – Largura colaborante da laje. 
 
 
 
14 
 
Transporte de carga: 
 
� Transversal pelo conjunto laje-transversina simulado por uma barra transversal apoiada 
nas longarinas1. A linha de influência para reação de apoio dessa barra eqüivale àquela 
para carga na longarina correspondente. 
� Longitudinal pelas longarinas com a colaboração da laje na flexão. 
 
Sistema longitudinal: 
 
η�
 
Figura 21 – Esquema estrutural da viga 1. 
 
Comportamento estrutural: observar a figura e notar a pouca capacidade de distribuição. 
 
2.1.2.2. Ponte em grelha 
 
�
! 2 1
���������)����!
η∼0,7<1,0
 
Figura 22 – Seção transversal de ponte em grelha e linha de influência de carga na viga 1. 
 
Preferencialmente 4 vigas ou mais ligadas apenas pela laje ou com transversinas 
intermediárias. 
Comportamento estrutural semelhante ao da ponte em 2 vigas com melhor capacidade de 
distribuição. Essa capacidade não se modifica muito ao se retirarem as transversinas intermediárias. 
 
1 Duas hipóteses justificam esse modelo: 
1a) A rigidez à torção das viga é baixa. 
2a) O trabalho longitudinal das lajes influi pouco na distribuição transversal. 
15 
 
As de apoio devem ser mantidas, admitindo-se a sua eliminação, apenas, em casos excepcionais, e 
mesmo assim, acompanhada de medidas especiais. 
 
2.1.2.3. Ponte celular 
 
� �
	
���:	
! 
��������������!
η=��	�7.(
 
Figura 23 – Seção transversal e linha de influência de carga na alma 1 ou na alma 2. 
 
P centrada provoca flexão igual das duas almas. 
T = Pe provoca torção. O acréscimo de flexão na alma 1 provocado pela excentricidade e é 
normalmente desprezível. 
 
Comportamento estrutural excelente: 
� Grande capacidade de distribuição em função da alta rigidez à torção (a torção, por ser 
mais rígida que a flexão diferenciada das almas, transporta praticamente todo o efeito de 
excentricidade). 
� Grande resistência à torção. 
� Grande resistência à flexão, seja para momentos positivos, seja para negativos (pois tem 
2 mesas, superior e inferior). 
 
 
 
 
16 
 
2.1.2.4. Sistemas longitudinais usuais 
 
�
���������
8���-��� &	�
	�
! !�� 
=
= =
 
Figura 24 – Exemplos de sistemas longitudinais. 
 
- Procurar vãos bem proporcionados: l1 ≈ 0,85 l2 (h variável de 0,65 a 1,0 l2 ). 
- Ao adotar h variável prever hmáx nas seções críticas *. 
 
2.1.3. Pontes em treliça, pórtico, arco ou suspensas por cabos – uma abordagem comparativa 
 
Note-se que nos exemplos a seguir todas as estruturas executam o mesmo serviço, isto é, 
transportam toda a carga distribuída para os 2 apoios disponíveis. A diferença está na maneira de 
transportá-la, cada estrutura, da viga reta à ponte estaiada, o faz à sua maneira. 
 
Tabela 1 – Análise comparativa entre diversos sistemas estruturais. 
Viga reta �
�
�
4%�'
��$ 
��$�
 
��$ 
�
�
/
 
Viga poligonal 
��$ 
��$�
 
 
17 
 
Viga curva 
Equilíbrio nó A: 
 
2
senθpl
N = 
 
2
cosθpl
V = 
��$ 
��$�
 
� θ
 
Pórtico biarticulado 
(H depende da rigidez 
relativa poste – travessão) 
��$ 
>
0
�
>
>0
�
��>0���$�
 
 
Arco biarticulado 
(Despreza-se a deformação 
por força normal) 
Equilíbrio nó A: 
 
θsen2
pl
N = 
 
h
pl
tg
pl
H
82
2
==
θ
 
��$ 
�
 
>
0>0���$�
�
θ
��7
>
0%�'
���?
���� �� ���)�� *��������� �	� �
4%�'� �� >0%�'
4� 	� 0� ����
������ 
Treliça 
Equilíbrio nó A: 
 
θsen2
pl
N = 
 
θtg
pl
T
2
= 
 
Cabo – Ponte pênsil 
(≡ arco de cabeça para baixo) 
>0���$�
��$ 
 
>
��$ 
> >
0
�@7���@7
	<<�
)�7
�@7�
���	
7
 
Cabo – Ponte estaiada 
 
θsen
pe
t = 
 
θtg
pe
c = 
 
��@7
	<<�
>
��$ 
)�7
��@7 ��@7
>0���$�
 
>
0
��$ 
> >
�
�	
�
θ
3�� ��������	� 4� 	� �:� 9�75
 
(Nas pontes pênsil e estaiada os cabos foram admitidos inextensíveis (indeformáveis)). 
18 
 
Ponte Pênsil 
 
	
7
0
�
�
��������+A	�
 
�	$ @7
>
��$ �� �	$ @��$ 
0
�
>
�
���	$�@7�
 
)���7
��$ 
�	$ 
�	
�	$ 
�	
 %�	$ '
���	
 
Figura 25 – Esquema estrutural de uma ponte pênsil. 
 
0
842
2
=−−= Hh
pelpl
M A 
888
222
plpepl
Hh ≅−= 
Como e << l => plpe << 
 22 plpe <<<< 
Logo: 
h
pl
H
8
2
= 
19 
 
Ponte Estaiada 
 
	
�
�
3�� ��������	� 4� 	� �:� 9�75
��������+A	�
 
 
���	$�@7�
)���7
��$ �� �	$ @��$ �
>
�
�	$ @7
>
��$ 
θ
�	$ �	 �	$ 
�	
�
�
 
Figura 26 – Esquema estrutural de uma ponte estaiada. 
 
0
842
2
=−−= Hh
pelpl
M A 
θsen
pe
t = 
888
222
plpepl
Hh ≅−= 
θtg
pe
c = 
Como e << l: plpe << 
 22 plpe <<<< 
Logo: 
h
pl
H
8
2
= ` 
 
 
20 
 
Pontes Suspensas por Cabos, Pênseis ou Estaiadas 
 
- Ponte Pênsil 
p
parcela suportada parcela suportada 
pelo cabo pênsil
pela viga de rigidez
parcela suportada parcela suportada 
 
Figura 27 – falta legenda! 
 
- Ponte Estaiada 
�	���� ��
��� 	��������
����	��� ����������
�	��� )���� �	� �����	B
����	��� ����������
 ! 2
!
 
2
 
Figura 28 – Falta legenda! 
 
Observações: 
 No projeto de pontes em arco, estaiadas ou pênseis, será necessário considerar a deformação 
por força normal e os efeitos de 2a. ordem, que não foram considerados aqui. 
Esses efeitos são especialmente importantes nas pontes penseis, para cargas não uniformes, 
por exemplo, concentradas. Nesses casos o cabo muda de forma, até encontrar a forma funicular do 
carregamento. É nessa nova forma que as equações de equilíbrio devem ser escritas. 
21 
 
No entanto, os exemplos feitos são muito bons para explicar o comportamento fundamental 
dessas obras. Ele é sempre utilizado para um primeiro pré-dimensionamento. 
 
���?
���
�
*��������� ��� ����	���	���
%�
�	�)��� �� 	*	���� ��� �����=� �	�����'
=
�
�$ �$ =
 
Figura 29 – Deformada do cabo na forma funicular. 
 
Exemplos: 
 
 
 
Figura 30 – Pontes em pórtico. 
 
22 
 
��
��	���� ���	����
�����	�
����
�
 
 
�
��
��	���� ��*	����
����
�	������
%���
��0�� ���
C�� ����� ������	' 
Figura 31 – Pontes em arco. 
 
��
��	���� ���	����
��	��+�� �	�?����
 
 
��
��	���� ��*	����
��	��+�� �	�?����
� �
��������� �	�	�?)	�� �	�
�� ��	��+�� *���	� �	
�����	��� ������ 
Figura 32 – Pontes em treliça. 
 
23 
 
��
�� �	���
��
��
��	���� �	� �����	��� ��� �+�
	���
������	
 
Figura 33 – Ponte estaiada. 
 
��
��	���� �	�� �+�
��
��

������	� �������	�
 
Figura 34 – Ponte pênsil. 
 
Para mais exemplos ver Leonhardt (1979)2. 
 
2.2. Classificação das pontes conforme o método construtivo 
2.2.1. Pontes moldadas in loco sobre cimbramento fixo. 
 
Os tipos mais comuns são três: 
���
���	��� �
�	� ���	��� �
���
���	��� �
�	�?���� �
��	��+��� �� �
)����� �	�?����� �
 
Figura 35 – Tipos comuns de cimbramento fixo. 
 
 
 
2 Construções de concreto: Princípios básicos da construção de pontes de concreto, vol. 6. 
24 
 
Cuidados: 
1. Fundação e contraventamento do cimbramento; 
2. Contra flechas para compensar recalques ou deformações de vigas e treliças; 
3. Cuidados na concretagem - Recalques e deformações devem ocorrer antes do final da 
concretagem. Tratar juntas; 
4. Cuidados na desforma - Desencunhar do centro para os apoios de cada vão e só após 
desmontar o cimbramento; 
5. Vistoriar antes, durante e depois da concretagem. 
 
2.2.2. Pontes moldadas in loco sobre cimbramento móvel. 
 
Figura 36 - Execução, vão por vão, por meio da treliça de escoramento deslizante sobre rolos 
dispostos em vigas transversais (Leonhardt, 1979). 
 
Cuidados: 
1. Escolher a posição da junta; 
2. Influência do método construtivo no cálculo; 
3. Cuidado com as interferências que podem impedir o movimento das formas ou da treliça 
(Transversinas); 
4. Valem os 5 cuidados do item 2.2.1; 
5. Tratamento da junta. 
25 
 
�!!
! �
!� *��	
�
�
 � *��	
�
1� *��	
 � *��	
�
2� *��	
�
�������
! 2 1
 
Figura 37 - Efeito do método construtivo sobre o diagrama M. (momentos fletores). 
 
O diagrama M da quarta fase é, em princípio, diferente do da viga contínua. Ao longo do 
tempo, veremos futuramente, ele tende ao da viga contínua por efeito da fluência. 
Verificar, portanto, cada fase construtiva, e a fase final para 2 situações: 
1ª) Fase final definida pelo método construtivo. Situação observada no final da construção. 
2ª) Fase final com adaptações por fluência. Situação que ocorre alguns anos após a 
inauguração. 
! 
��� ������ �	�����
��� �	*������
=������ ��������
 � *��	� /� ),�� 
�� �! 
!!�� �
!� *��	� /� ),�� !
�
�
�������
�
�
4�
4/
4�
!
=
� !7.1(
!
 
/� !#�
 
�	*�������
!�
�!
��
!
�
/�!
 
!#�
�!
 
!
l l
I. ������ /� *��� �	� �������+,�
II :������ /� *��� �	� )���� D���
 
Figura 38 - Viga contínua com 2 vãos construída em 2 fases, com junta no apoio central. 
26 
 
O diagrama I (momento fletor), logo após o fim da construção, depende muito do método 
construtivo, enquanto que o diagrama II, ao fim da vida útil, depende bem menos do método 
construtivo, pois, devido ao efeito da fluência os esforços tendem aos de viga contínua. 
Assim: 
8
2
1lg
M ≅− e 
2214
2
1
,
lg
M ≅+ 
 
Os carregamentos adicionais, g2 acabamento e q acidental, atuam na viga contínua de 2 vãos, 
sem interferência do método construtivo. 
 
2.2.3. Consolos sucessivos moldados in loco 
 
Aplicado pela primeira vez em 1930 no Brasil, para uma ponte de concreto armado (rio do 
Peixe, vão de 68m ). Muito usado para obras protendidas no mundo inteiro. 
 
 
 
Figura 39 – Balanço sucessivo com treliça de escoramento e fôrmas em balanço deslocável = 
veículo de deslocamento de fôrma (Leonhardt, 1979). 
 
 
27 
 
 
Figura 40 – Estabilização do balanço: em cima, por meio de engastamento no pilar ou por meio de 
apoios provisórios, embaixo, através de ancoragem, no paoio extremo do vão adjacente mais curto. 
 
Cuidados: 
1. Contra Flecha - As previsões de projeto devem ser aferidas ao longo da obra. Cuidado: o 
concreto é solicitado muito novo, de modo que as deformações imediatas e sobretudo 
lentas são muito importantes . 
2. Tratar juntas - Jatear com água o concreto verde e molhar abundantemente antes da 
concretagem seguinte. 
3. Influência do método construtivo no cálculo. 
 
�22
/!77
/#6
#7 !77
( 1 2 7 ! ! 
#7
(2 1 #
���
�����
����	�	����
E���������4
������������	���)���
���
���	����*����%)��������-���'
 
Figura 41 – Efeito da adaptação por fluência sobre o diagrama M (momentos fletores). 
 
 
28 
 
2.2.4. Consolos sucessivos pré-moldados 
 
Aplicado pela primeira vez em 1952 na França (ponte Choisy-le-Roi sobre o Sena) 
 
Cuidados: 
1. Precisão na forma. Uma aduela deve ser a forma da vizinha, considerando as curvas em 
planta e em perfil, bem como a superelevação. 
2. A junta nesse caso não é atravessada por armadura frouxa. Prover dentes para transmitir 
cortante, colar junta e usar protensão completa (isto é, σ sempre de compressão !). 
3. Prever canteiro de pré moldados e transporte até o local. 
4. Valem os 3 cuidados do item 2.2.3. 
 
Figura 42 - Pont amont du boulevard péripherique. 
 
Figura 43 - Pont de Pierre Bénite. 
 
29 
 
 
Figura 44 - Viaduct d’Oléron. 
 
 
Figura 45 - Poutre du Viaduct D’Oleron – Cinematique. 
 
30 
 
 
 
Figura 46 - Preparação das Células 
 
 
Figura 47 - Preparação das células horizontais por axonometria 
 
 
 Regale Profil en Long Regale Devers 
31 
 
 
Figura 48 - Regale d’une cellule de prefabrication 
 
• Modernamente se usam uma série de dentes. 
 
 
Figura 49 Pont de Chelepikhinsky – Coupe transversale d’un voussoir 
32 
 
2.2.5. Vigas pré-moldadas 
 
 
Figura 50 - Treliça de lançamento (Mathivat, ano). 
 
Alternativas - Guindastes ou guinchos. 
 
�����	������������������
���������C/��������
)������C��������
≤!. 7
∼7.#7
∼7. 77.7#
 
Figura 51 - Esquema moderno de seção transversal. 
 
 
Cuidados: 
33 
 
1. Limitação dos equipamentos. 
Por exemplo: Treliça Sicet (mais comum no Brasil) 
Pmáx ~ 120 tf (~ 42m de vão) 
largura máxima ~ 1,20m 
2. Prever canteiro de pré-moldados e transporte até o local. 
3. Precisão de forma. 
4. Influência do método construtivo no cálculo. 
Por exemplo: Quando a laje é concretada, o peso próprio é suportado integralmente pelas 
vigas pré-moldadas, sem logicamente, a contribuição da laje. 
5. Verificar a flexão lateral da viga causada por pequena inclinação (da ordem de 5°) 
impossível de se evitar no transporte. 
Os pontos de pega devem estar acima do C.G. da viga. 
 
����?)	�
8&
	��?)	�
8&
 
Figura 52 – Estabilidade em função do ponto de içamento. 
 
Nota - Se a viga for excessivamente esbelta pode ser necessário verificar a “flambagem 
lateral”, melhor dizendo, a flexão lateral com efeito de segunda ordem. 
6. Tratar as juntas como no item 2.2.3, especialmente aquelas entre concreto pré-moldado 
(viga ou placa) e concreto moldado in loco (complementação da laje) 
 
2.2.6. Lançamentos progressivos 
 
Aplicado pela primeira vez em 1962, na ponte sobre o rio Ager, na Áustria. A primeira 
aplicação no Brasil ocorreu em 1978, na passarela de Presidente Altino, sobre os trilhos da Fepasa. 
34 
 
 
Figura 53 - O princípio do processo de execução por deslocamentos progressivos: a fabricação do 
segmento, com comprimento igual ao comprimento de avanço, é feita atrás do encontro; o avanço é 
feito progressivamente, sem apoio, de pilar a pilar. 
 
 
 
 
Figura 54 – Cortes e croqui do processo de execução por lançamentos progressivos. 
35 
 
Cuidados: 
1. Precisão de nivelamento e de forma de modo a evitar que erros de geometria provoquem 
esforços adicionais inaceitáveis (equivalentes aos gerados por recalques de apoio ). 
2. Influência do método construtivo no cálculo. Como a estrutura é autolançada inclusive 
com o “bico” em balanço, é essencial verificar as fases construtivas. Note-se que ao longo 
do lançamento uma mesma seção passa ora pelo Mmáx, ora pelo Mmín, o que exige dela 
capacidade de suportá-los. 
3. Tratar as juntas como no item 2.2.3. 
4. Cuidado com as interferências que podem impedir o movimento das formas. 
 
 
Figura 55 – Canteiro e Seção Típicos para as Obras sobre a Represa de 3 Irmãos. 
 
36 
 
 
Figura56 – Etapas de concretagem da seção celular. 
 
Figura 57 - Berço de Deslizamento (Telefone) e Guia Lateral 
 
Figura 58 – Seção longitudinal. 
 
Figura 59 – Emenda Provisória – Junta de Dilatação Futura 
37 
 
2.2.7. Pontes estaiadas 
 
O método construtivo que melhor se adapta às obras estaiadas é o de consolos sucessivos 
(pré moldados ou não) e por isso é ele o método mais utilizado. 
A cada nova aduela os estais correspondentes são protendidos de forma a suportar todo o seu 
peso. Assim, ao final da construção e sob as cargas permanentes, o tabuleiro fica quase 
exclusivamente submetido à compressão. 
 
1) Construção do balanço lateral e do mastro 
 
2) Construção do balanço principal até sua união com o lateral. 
 
3) Prolongamento do consolo do vão principal. 
 
Figura 60 – Ponte Brotonne, fases de construção (Mathivat, 1979). 
 
38 
 
2.2.8. Pontes pênseis 
 
As pontes pênseis são usualmente construídas a partir dos cabos que são usados para 
transporte de peças e equipamentos como um “Teleférico”. O Tabuleiro, construído em segmentos 
pré-moldados, é dependurado, segmento por segmento, nos cabos. A continuidade do Tabuleiro só é 
promovida após o lançamento de todos os segmentos. 
 
Figura 61 – Estágios de construção de uma ponte pênsil (Gimsing, 1983). 
 
1ª etapa - Construção dos mastros, pilares principais e blocos de ancoragem. 
2ª etapa - Instalação dos cabos principais. 
3ª etapa - Inicio da instalação da vigas enrijecedora do centro para o meio do vão. É 
quando o peso da viga é aplicado nos cabos principais ocasionando grandes 
deslocamentos e as juntas entre as seções da viga são, por esta razão, abertas 
para evitar momentos excessivos nas seções. 
4ª etapa - Instalação das vigas enrijecedoras nos vão laterais para reduzir os 
deslocamentos horizontais no topo dos mastros. 
39 
 
5ª etapa - Colocação das peças de fechamento das vigas como os mastros. 
6ª etapa - Fechamento de todas as juntas nas vigas enrijecedoras. Atualmente, o 
fechamento dessas juntas normalmente começa nas etapas 4 e 5, quando são 
ligadas as seções e coloadas na sua posição correta. 
 
2.2.9. Associação de dois ou mais métodos construtivos 
 
Um exemplo é a ponte em arco representada na figura 62. 
 
Figura 62 - Construção de Ponte em Arco associando consolos sussecivos e estais (Mathivat, 1979). 
 
2.3. Classificação das pontes conforme os materiais utilizados nas suas construções 
 
2.3.1. Pontes de concreto 
 
- Concreto Armado (fck 20 a 25 MPa); 
- Concreto Protendido (fck 25 a 40 MPa); 
- Concreto Leve (γ ≅1.5 tf/m³ << 2.5 tf/m³); 
- Concreto de Alta Resistência (fck 40 a 100MPa). 
Todos os métodos construtivos se aplicam bem às obras de concreto. Ao nível dos tipos 
estruturais estão em desuso as treliças e raramente se usam as pontes pênseis com tabuleiros de 
concreto, a não ser em passarelas. 
40 
 
As grandes vantagens do concreto são a durabilidade (alguma manutenção é sempre 
necessária), a resistência ao fogo, à compressão e a liberdade de escolha da forma. 
As desvantagens são a falta de resistência à tração, a retração e a fluência. 
As treliças estão começando a ser novamente utilizadas com o advento do CAD – concreto 
de alto desempenho. 
 
2.3.2. Pontes de aço e mista aço - concreto 
 
Aço-carbono A36 (fyk~250MPa) 
Aço de baixa liga CORTEM 
 SAC (fyk~350MPa) 
 COS-AR-COR 
 
Nota: Para efeito de comparação lembrar que: 
 
� Aço CA - fyk varia de 250 a 600 MPa; 
� Aço CP - fyk varia de 800 a 1700 MPa. 
 
Todos os tipos estruturais se adaptam bem ao aço. Ao nível dos métodos construtivos, só 
não se aplicam aqueles que prevêem moldagem in loco, sobre cimbramento fixo ou móvel ou em 
consolos sucessivos, É interessante observar, na figura a seguir, o método construtivo adotado para 
o vão central da ponte Rio-Niteroi. 
As grandes vantagens do aço ficam por sua grande resistência à compressão ou à tração e 
por conseqüência de sua leveza - o peso próprio resulta relativamente pequeno. 
As desvantagens se reduzem às dificuldades com durabilidade, resistência ao fogo e aos 
problemas de estabilidade gerados pelas pequenas espessuras exigidas. 
 
Exemplos: 
Treliças 
 Arcos 
 Vigas de alma cheias: Grelhas 
 Caixões 
 Pontes Pênseis e Estaiadas 
 Vigas mista aço-concreto: Grelhas 
41 
 
 Caixões 
 
Exemplos: 
 
Figura 63 - Vãos principais centrais em estruturas metálicas e vãos adjacentes em concreto 
protendido (Pfeil, 1985). 
 
A seguir será mostrado a seqüência de montagem dos elementos metálicos pré-fabricados: 
 
a) Segmento central (3) lançado ao mar após ser deslizado sobre o pier (1). Segmentos 
laterais (4) fabricados sobre escoramento (2); 
 
b) Segmento lateral (4) apoiado no segmento central flutuante (3) se dirige para o anel de 
içamneto (5); 
42 
 
 
 
c) Içamento dos segmentos laterais; 
 
 
d) Inicio de içamento do segmento central (3); 
 
 
e) O segmento central (3) apoiado nas colunas de içamento (7), as quais foram montadas 
pela torre (6). Notam-se os cabos de amarração reguláveis (8); 
43 
 
 
 
f) Segmento central na fase final de içamento; 
 
 
g) Montagem dos vãos laterais de 44 m (9) com auxílio de torres triangulares (10); 
 
Figura 64 - Seqüência de montagem dos elementos metálicos pré-fabricados. 
 
A figura 65 mostra seções transversais das estruturas metálicas e a figura 66 um exmplo de 
de ponte em grelha mista. 
44 
 
 
Figura 65 – Seções transversais das estruturas metálicas: a) seção nos trechos com mísulas; seção 
nos trechos centrais. 
Legenda: 
1. palca superior; 7. placa de fundo; 
2. enrijecedores longitudinais; 8. enrijecedor longitudional da placa de fundo; 
3. transversina; 9. enrujecedor transversal da placa de fundo; 
4. chapa da alma das vigas; 10, 11. trilhos para carro de inspeção; 
5. enrijecedor longitudonal da alma; 12. revestimento de asfalt-epoxi. 
6. enrijecedor transversal da alma; 
 
 
 
45 
 
 
Estrutura Metálica 
 
Figura 66 - Ponte em grelha. Conforme Usimec. 
 
2.3.3. Pontes de madeira 
 
Madeiras estruturais: 
- Aroeira do Sertão fwc ~ 75 MPa 
- Jatobá fwc ~ 80 MPa 
- Gonçalo Alves fwc ~ 65 MPa 
- Ipê Roxo fwc ~ 70 MPa 
 
Em princípio todos os tipos estruturais discutidos se adaptam bem às pontes de madeira. 
Quanto aos métodos construtivos vale a mesma observação feita às pontes de aço. 
46 
 
A grande vantagem da madeira está na economia quando ela está disponível, próximo da 
obra, em qualidade e quantidade aceitáveis. 
As desvantagens ficam por conta das dificuldades com durabilidade e resistência ao fogo 
(bastante diminuídas com os tratamentos modernos), da anisotropia e da grande variabilidade 
(reduzidas com as técnicas modernas de construção com pedaços pequenos e classificados de 
madeira). 
A anisotropia e desuniformidade se caracterizam principalmente por: 
- A diferença de resistência e rigidez da direção das fibras para a direção normal a elas 
(resistência ~ 5 vezes menor e rigidez ~10 vezes menor na normal às fibras); 
- Variação das características do eixo para a periferia do tronco (o cerne, próximo do eixo, é 
muito melhor que o albume, próximo da casca); 
- Os defeitos da madeira: nós, fendas, furos, curvatura das fibras, etc. 
 
Exemplos: Treliças 
 Arcos 
 Vigas Armadas 
 Vigas Maciças: Lamelas coladas 
 Tábuas pregadas 
 Pontes Pênseis e Estaiadas 
 
2.4. Estudo de alguns tipos estruturais, comportamento estrutural e teorias de cálculo 
2.4.1. Estruturas de superfície, uma introdução 
 
São estruturas que têm uma de suas dimensões bem menor que as outras duas. Ela é 
chamada de espessura. 
A superfície média é a definida a meia espessura, perpendicularmente à ela. 
As estruturas de superfície são classificadas em: 
- Placa: Estrutura de superfíciemédia plana carregada perpendicularmente à ela. As placas 
de concreto armado são chamadas lajes. 
 
- Chapa: Estruturas de superfície média plana carregada paralelamente a ela. As chapas de 
concreto armado são chamadas vigas parede. 
- Casca: Estruturas de superfície média curva. 
47 
 
PLACA
LAJE
 
CASCA
(cúpula) 
Figura 67 – Exemplos de estruturas de superfície. 
 
2.4.2. Lajes 
 
As lajes são especialmente importantes porque aparecem em praticamente todas as pontes; 
não apenas nas pontes em laje, onde constituem toda a superestrutura, mas também nas pontes em 
viga, onde constituem o tabuleiro que interliga as vigas. 
 
3��	�� 	�� ���	
 � )����
8���,�
���	� ��� ��
��	���
 
Figura 68 - Exemplos de Aplicação de Lajes. 
48 
 
2.4.2.1. Comportamento estrutural das lajes 
 
Figura 69 – Laje retangular solicitada por uma carga concentrada P. 
 
Nas lajes retangulares em que 1≤ ly/lx< 2 (lx ≤ ly) é importante o trabalho bidimensional. 
A carga P pode caminhar para as vigas (pilares e fundações) através de dois caminhos, a 
direção x e a y. Para determinar as parcelas de P que caminham nas direções x e y (Px e Py 
respectivamente) é preciso resolver o problema hiperestático correspondente. 
 
2.4.2.1.1. Laje retangular simplesmente apoiada 
 
A. Teoria das Grelhas 
Considere-se uma laje simplesmente apoiada nos 4 lados, carregada uniformemente (p). 
Uma solução aproximada desse problema pode ser obtida considerando a laje como 2 
conjuntos de faixas entrelaçadas, de largura 1 m , nas direções x e y. 
 
Figura 70 – Laje simplesmente apoiada nos 4 lados. 
49 
 
�
�
�
�
�
=
===
espessurah
h
IIyIx
12
3
 
�
�
�
�
�
===
+=
idadecompatibil 
384
5
384
.5
equilíbrio p
44
EI
pyly
fy
EI
lxpx
fx
pypy
 
p
lylx
lx
pyp
lylx
ly
px
ly
lx
pxpy
44
4
44
4
4
4
 e 
+
=
+
=→��
�
�
		
�
= 
8
 . 
8
.
8
. 2
4 4
42
44
42 ly
p
lylx
lx
me
lx
p
lylx
lylxpx
m ymxm ��
�
�
		
�
+
=��
�
�
		
�
+
== 
 
mx é o momento fletor no meio do vão da faixa central de direção x. Ele é medido em 
KNm/m (ou tfm/m ou kgfcm/cm), uma vez que a faixa tem 1 m de largura. Uma faixa de largura b é 
solicitada pelo momento bmx = Mx. 
1m b
m Mx x
 
Figura 71 – Momento fletor em uma faixa. 
 
A título de exemplo, considere-se o caso lx=ly=l 
 
px = py = 1/2p => mxm = mym = pl2/16 
 
Nota1: Observando com atenção nota-se que a Teoria das Grelhas faz 2 hipóteses 
simplificadoras (em relação à Resistência dos Materiais) adicionais. 
 
1a. Desprezou-se a rigidez à torção das faixas. 
��������5 8���	��5 
Figura 72 – Flechas admitidas pela teoria das grelhas e flechas reais. 
50 
 
Na realidade, a continuidade da laje impõe às faixas torção significativa, que foi 
desprezada. 
 
2a. Admitiu-se px e py uniformemente distribuídas, o que não é verdadeiro. 
����F
�������� �	��
*GF *G
��
�
�GF
�G
 
Figura 73 – Carregamento admitido e carregamento real. 
 
Para que px seja uniforme é preciso que todas as faixas y ao longo do vão lx suportem a 
parcela py. 
Isso não é na realidade possível. 
Embora seja possível para as faixas y centrais, não é para as laterais, próximas dos apoios 
da faixa x. Nessas faixas, a flecha fy’ fica limitada pela linha elástica da faixa x. 
 
Como fy’ < fy => py’ < py 
No apoio fy’=0 e py’=0 ou px’=p 
 
Nota2: A Teoria das Grelhas faz ainda uma terceira hipótese. Ao cortar a laje em uma série 
de faixas ela corta a continuidade transversal às mesmas, tratando-as como barras. 
Embora para as barras o efeito do coeficiente de Poisson seja desprezível, para as placas 
não é. Considere-se, por exemplo, uma dessas faixas, uma faixa x. 
G
��
∆
�
0
� !�
�
G
! 2 1
! 12
(ν=0)
∆�G
(ν=0)
��0
 
Figura 74 – Efeito do coeficiente de Poisson na faixa x. 
51 
 
Por definição de ν : 
xy rr
�
�
�
	
�−=�
�
�
	
� 11
ν
ν
, pois εy = - ν.εx 
Como: 
1. Ix’ = Iy’= I’ (alterados por ν) 
2. Nas placas apoiadas nos 4 lados as arestas y impedem a curvatura adicional (1/r)yν 
Desenvolve-se então ∆my tal que: 
�
�
�
�
�
�
�
�
	
�−−=�
�
�
	
�∆
xy rr
11
ν 
 xoxy mmm .. νν ≅=∆ 
 xoyoy mmm .ν+≅ 
ou: 
yoxox mmm .ν+≅ 
Como para o concreto o coeficiente de Poisson é da ordem de 0.2, seu efeito é 
considerável. 
Observação: O coeficiente de Poisson também enrijece a placa de forma que: 
)1(12)1(
'
2
3
2 νν −
=
−
=
hI
I 
Para levar em conta esses 3 efeitos é conveniente uma nova teoria. Essa nova teoria é a 
Teoria das Placas. 
 
B. Teoria das Placas 
 
Em essência a Teoria da Placas corresponde à extensão da R.M. ao comportamento 
bidimensional da placa, considerando a contribuição do coeficiente de Poisson. 
Ela admite: 
 
- Material homogêneo, isótropo e de comportamento linear ( Lei de Hooke) 
- h << lx,ly 
- Tensões normais à superfície média desprezíveis 
- Retas perpendiculares à superfície média permanecem retas e normais à mesma após 
deformação (equivale à hipótese de Navier) 
- Deslocamentos pequenos (δ<< h) 
- A equação fundamental dessa teoria (equação de Lagrange) pode ser escrita como segue: 
52 
 
Considere-se o equilíbrio de um elemento de placa: 
dx
FORÇAS
p.dx.dy
vx.dx
(vx+dvx).dy
(vx+dvy).dx
vx.dy
dy
x
y
(myx+dmyx)dx
(mx+dmx)dy
dx
y
x
dy
mx.dx
(my+dmy)dx
my.dx
myx.dx
mxy.dy (mxy+dmxy)dy
τxy
yxτ
MOMENTOS
 
Figura 75 – Equilíbrio de um elemento de placa. 
 
 τxy = - τyx � mxy = - myx! 
 
Seja w(x,y) a função que descreve o deslocamento vertical de um ponto (x,y). 
Por analogia com a R.M., tem-se: 
 
 
Viga 
EI
M
dx
wd
−=
2
2
 
 
 
Placa 
3.....................
)1(
2..............
1..............
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ν
ν
ν
−
=
∂∂
∂
−=
∂
∂
+
∂
∂
−=
∂
∂
+
∂
∂
D
m
yx
w
D
m
x
w
y
w
D
m
y
w
x
w
xy
y
x
 
 
Rotação D(1-ν) ≈ G It 
de Torção
53 
 
Sendo que EI
Eh
D ≡
−
=
)1(12 2
3
ν
 
Do equilíbrio do elemento de placa, tem-se: 
(Lembrando que: x
x
x dmdx
m
=
∂
∂
) 
Momentos y: 4............
y
xy
x
x
x
mm
v
∂
∂
−
∂
∂
= 
Momentos x: 5............
x
xy
y
y
y
mm
v
∂
∂
−
∂
∂
= 
Forças verticais: 6..........................p
vv
y
y
x
x −=
∂
∂
−
∂
∂
 
(também análogas à R.M.) 
 
Substituindo-se 1 a 5 em 6 tem-se a equação de Lagrange: 
D
P
y
w
yx
w
x
w
=
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
4
4
22
4
4
4
.
.2 
 
flexão x torção flexão y 
 
A integração dessa equação diferencial é quase sempre impossível. Por isso a solução se 
obtém desenvolvendo w e p em séries de Fourier. 
No caso considerado, de placa simplesmente apoiada nos quatro lados e uniformemente 
carregada, tem-se: 
Condições de contorno: 
�
�
�
�
�
=
=
0
0
m
e
w
 nos quatro lados 
�
∞
=
�
∞
=
ππ
π
=
1m 1n ly
y..n
sen.
lx
x..m
sen
n.m.2
p16
)y,x(p 
�
∞
=
�
∞
=
�
�
�
�
	
	
�
+
ππ
π
=
1m 1n
2ly
2n
2lx
2m
n.m
ly
y.n
sen.
lx
x.m
sen
D.6
p16
)y,x(w 
Como o uso dessa solução é pouco prática, prepararam-se tabelas em função da relação 
ly/lx e do coeficiente de Poisson (Ver tabelas de Czerny). 
54 
 
- Relação entre mx, my e mxy - Analogia com o estado duplo de tensões. (Estado Duplo 
de Flexão). 
mxy
mt
mxy
mx
my
m
x
y
α
x
y
m
mt
my
mx
m1 m2
x
y
mxy
myx
Polo
 
Figura 76 - Analogia com o estado duplo de tensões. (Estado Duplo de Flexão). 
 m - análogo a σ 
 mt - análogo a τ 
 m1 e m2 - momentos fletores principais. 
 
� Momentos principais em uma placa simplesmente apoiada e uniformemente carregada: 
ly/lx = 1 
1 - equivale a estado hidrostático 
2 - equivale a cisalhamento puro 
 
Trações por: 
====== momentos principais positivos 
- - - - - - momentos principais negativos 
-.-.-.-.-.- mudança de sinal 
ly/lx = 2 
55 
 
� Levantamento de canto – momentos volventes (torsores) 
 
P
Canto Livre
Canto presoApoio fictício
m1(-)
m2(+)
 
mx=my
m2
m1
ly/lx=1
0,0368p.lx
lx
2
-m
1=
m2=
0,0
46
3.p
.lx
2
 
Reações de apoio
Real T. das Placas
R
Evitam o levantamento do
canto e provocam os
momentos torçores(*)
(*) Desprezada a Torção, R resulta nula! 
Figura 77 - Valores dos momentos principais m1 e m2 e dos momentos mx e my na diagonal. E 
reações de apoio. 
 
 
 
 
56 
 
C. Comparação dos resultados 
 
Teoria Torção ν ly/lx=1 ly/lx=2 
αx αy αx αy 
TG não 0 16,0 16,0 8,50 34,0 
TP1 não 0 13,1 13,1 7,10 44,80 
TP2 sim 0 27,2 27,2 10,40 40,30 
TP3 sim 0,2 22,7 22,7 9,90 23,50 
TP4 sim 0,3 20,9 20,9 9,80 21,60 
 
TG - Teoria das grelhas 
TP - Teoria das placas 
mxm = p.lx2/αx 
mym = p.ly2/αy 
Note-se a importância da torção; ela transporta metade das cargas, reduzindo os momentos 
fletores à metade (no caso ly/lx = 1). Note-se também a importância do coeficiente de Poisson. 
 
2.4.2.1.2. Outros casos a considerar 
 
A. Lajes retangulares com outras condições de contorno 
 
Tudo o que foi desenvolvido para a laje apoiada nos 4 lados pode ser estendido a outras 
condições de contorno. 
 
B. Lajes sob Carga concentrada 
 
Embora tenha sido possível resolver, através da Resistência dos Materiais, vigas sob cargas 
concentradas, não é possível fazê-lo no caso de placas; os esforços solicitantes locais seriam 
“infinitos”. Para evitar esses esforços locais as cargas “concentradas” devem ser distribuídas em 
superfícies suficientemente grandes. Na verdade, qualquer que seja a estrutura, inclusive nas vigas, 
as cargas “concentradas” devem ser distribuídas em superfícies tais que os esforços locais sejam 
aceitáveis. 
57 
 
Os esforços solicitantes em placas, decorrentes de cargas “concentradas” dependem 
essencialmente da pequena superfície onde se distribuem, referida à superfície média da placa. Ver 
figura a seguir. 
α
P
b
h
a
b+h
a+h
= 45º
superfície média
 
Figura 78 – Área de distribuição das cargas “concentradas”. 
 
A carga P distribuída na superfície a x b da face equivale à mesma carga distribuída em 
(a+h)(b+h) na superfície média. 
Resolver a equação de Lagrange para esses casos é ainda mais difícil. É conveniente 
substituir as séries de Fouries pelo Método das Diferenças Finitas ou, mais modernamente o 
Métodos dos Elementos Finitos. 
Para as aplicações práticas desenvolveram-se superfícies de influência como as de Rüsch 
ou de Homberg (ver cópia anexa). 
No caso de lajes de pontes Rüsch transformou essas superfícies em tabelas muito práticas 
que serão discutidas nas aulas de projeto. 
58 
 
 
Figura 79 – Superfície de influência para momentos my no meio de uma placa retangular com três 
lados apoiados. 
59 
 
 
Figura 80 – Superfície de influência para momentos mx no centro do apoio de uma placa retangular 
com três lados apoiados. 
60 
 
 
Figura 81 – Superfície de influência para momentos mx no meio do vão. 
61 
 
 
Figura 82 – Superfícies de influência para momentos mx no aopio. 
62 
 
 
Figura 83 – Superfície de influência para momentos my no meio do vão. 
63 
 
2.4.3. Pontes em vigas – múltiplas (grelhas) ou celulares (caixões) 
 
2.4.3.1. Análise da torção 
 
2.4.3.1.1. Barras de seção circular maciça ou vazada 
 
A. Hipóteses básicas 
 
1. A seção transversal permanece plana e perpendicular ao eixo da barra após deformação 
2. A deformação angular ou distorção γ varia linearmente do eixo para a periferia da barra 
(ela é constante na superfície cilíndrica definida por r). 
 
∆ x
T
γmax maxδ
G
R
r
maxγ
γ
 
Figura 84 – Deformação angular. 
x∆
=
δ
γ 
x
máx
máx ∆
=
δ
γ r
R
maxγ
γ = 
3. É válida a lei de Hooke : τ= Gγ 
4. Os deslocamentos são pequenos 
 
B. Cálculo das tensões tangenciais de torção 
 
Como γ varia linearmente, segundo a lei de Hooke o mesmo vale para τ. 
 
r
R
maxγ
γ = 
64 
 
τ=τmáx r � τ=τ (r) 
 R 
 
Do equilíbrio: 
p
máx
s
máx
s
máx
s
I
R
dsr
R
dsr
R
rdsT
τττ
τ ��� ==== 22 
Ip - momento polar de inércia 
 para seção circular maciça πR4 
 2 
 para seção circular vazada π(Re4-Ri4) 
 2 
τmáx = 
tW
T
 R =
Ip
T 
 
wt - modulo de resistência à torção 
 
wt = Ip/R 
 
C. Deformação de torção 
 
x
maxγ
δmax
T
dθ
d
x
 
Figura 85 – Deformação de torção 
dx
máx
máx
δ
γ = 
R
d máxδ
θ = 
� 
dx
R
d máxγ
θ = 
como 
G
max
max
τ
γ = 
px IG
T
d
d
.
=
θ
 
65 
 
�=θ xd.
pI.G
T
)x( 
Caso T e Ip sejam constantes: 
1cx.)x( +=θ
pG.I
T
 
θ
f
b
l
Ip,G
 
Figura 86 – Viga engastada a torção. 
T = f.b 
θ (0) = C1 = 0 
l
IG
T
l
p.
)( =θ 
 
2.4.3.1.2. Barras de seção retangular maciça 
 
Nesse caso as hipóteses 1 e 2 não são mais válidas. 
As seções transversais empenam deixando de ser planas 
A distribuição das distorções γ não é linear. 
 
τmax
Gτ τ
τ1
2
τ = (r, )τ θ
 
Figura 87 – Tensões de cisalhamento 
Como as 
superfícies 
externas são 
descarregadas: 
τ1 = τ2 = τ =0 
66 
 
Sem essas 2 hipóteses a RM não é capaz de resolver o problema de torção de seções 
retangulares. Saint Venant, 1853, usando a TE, encontrou a solução desse problema no caso de 
seção qualquer sob torção uniforme (T constante, sem restrição ao empenamento). 
Os resultados para seção retangular são: 
τmax (meio lado maior) = T/wt 
2
bc.tw
tI.G
T
dx
d
α=
=
θ
 
b>=c
c
 
3bc.tI β=
 
b/c 1,0 1,5 2,0 3,0 6,0 10,0 ∞ 
α 0,208 0,231 0,246 0,267 0,299 0,312 1/3 
β 0,141 0,196 0,229 0,263 0,299 0,312 1/3 
 
2.4.3.1.3. Analogia de membrana (Prandtl – 1903) 
 
A analogia formal das equações que regem a torção uniforme e a deformação de uma 
membrana sob pressão uniforme permite dizer que: 
 
1. A tensão de cisalhamento em P é proporcional à inclinação na membrana em P. 
2. A direção de τ é definida pela normal à maior declive da membrana em P. 
3. O momento de torção resistido pela peça é proporcional ao volume sob a membrana. 
 Seção elíptica Seção circular vazada 
 
Figura 88 – Analogia de membrana. 
67 
 
pτ
mτ
V1
mτ
2V
mτ
V3
Seção retangular
maciça
Seção delgada
fechada aberta
Seção delgada
 
Figura 89 – Comparação dos momentos fletores resistidos por três tipos de seção. 
V1 >V2 >>V3 � Τ1 >Τ2 >>Τ3�
 
2.4.3.1.4. Seções vazadas com dois eixos de simetria 
 
G
dx
∆s
1F
2F
3F
4F
τ1
τ2
τ2
1τ t1
2t
 
Figura 90 – Seção vazada com dois eixos de simetria submetidas a torção. 
 
Fazendo o equilíbrio: F1 = F3 F4 = F2 
qtt
dxtdxt
==
=
1122
1122
..
....
ττ
ττ
 
q = fluxo de torção 
AqdsbqbdsqT
A
2....
2
=== � � ���
 ∴ A - área limitada pela linha média da seção: 
G
b
q.ds
ds
r
A
 
Figura 91 – Área limitada pela linha média 
68 
 
Conclusões: 
� O fluxo de torção q = τ.t é constante ao longo de todo o contorno da seção; 
� T = q. 2A ∴ 
tA
T
t
q
.2
==τ 
� Da Teoria da Elasticidade ou pelos Teoremas de Energia: 
�
=
t
ds
2A4
It 
tIG
T
dx
d
.
=
θ
 
 
Essas expressões correspondem à chamada Torção de Bredt, aplicável a seções vazadas. 
Elas admitem as seguintes hipóteses: 
1. As tensões τ não variam ao longo da espessura da parede da seção; 
2. Lei de Hooke; 
3. Deslocamento pequenos; 
4. Torção uniforme, isto é, T constante ao longo da barra e empenamento livre. 
 
Em função da hipótese 1, elas são uma boa solução para perfis delgados, mas não para 
perfis de parede espessa. 
 
2.4.3.1.5. Torção não uniforme 
 
O que foi exposto nos itens 2.4.3.1.2 a 2.4.3.1.4 só vale, como foi dito, se a torção for 
uniforme, isto é, se T for constante ao longo da barra e o empenamento livre. 
Caso isso não ocorra a torção é dita não uniforme e essas soluções não são, em princípio, 
válidas. 
Na verdade, para seções maciças ou vazadas elas ainda podem se aplicadas sem que se 
façam erros importantes. Já para as seções abertas, sobretudo as deparede fina, isso não pode ser 
dito, é importante considerar a torção não uniforme. 
Para visualizar melhor esse problema considere-se o perfil I da figura 92, solicitado à 
torção. 
l
H
h
T=H.h
 
Figura 92 – Perfil I solicitado à torção. 
69 
 
A seção I facilita a visualização dos 2 sistemas estruturais capazes de transportar o 
momento T, da extremidade livre à extremidade engastada. 
O primeiro desses sistemas corresponde à Torção Uniforme ou de Saint-Vernanr. Nele, a 
torção desenvolve na seção transversal apenas tensões tangenciais. As tensões normais são nulas 
uma vez que se admitem as seções livres para se empenarem. 
O segundo desses sistemas corresponde à flexão diferenciada das mesas. Nele a torção 
desenvolve tensões normais e tangenciais na seção transversal. Para isso é essencial que existam 
restrições ao empenamento das seções. 
Entende-se aqui por empenamento os deslocamentos que tendem a tornar a seção 
transversal não plana após o carregamento. 
É interessante notar que é possível definir condições particulares onde só um desses 
sistemas trabalha. Se eliminarmos, por exemplo, os engastamentos da extremidade esquerda, o 
segundo sistema perde completamente a rigidez, fica hipostático, de modo que toda a torção é 
suportada pelo primeiro. Tem-se um problema de torção Uniforme. 
Analogamente é possível eliminar a rigidez do primeiro sistema desligando as mesas das 
almas. Nessas circunstâncias nenhuma das partes da seção gira e, portanto, nenhuma Torção de 
Saint-Venant é gerada, de modo que toda torção é suportada por flexão diferenciada das mesas. Diz-
se que se tem um problema de Flexo-Torção. 
Num problema real, onde nenhuma das 2 condições extremas acima ocorre, tem-se um 
problema de Torção Mista. Nesse problema o momento total T se subdividirá pelos 2 sistemas 
segundo as suas rigidezes. O mais rígido transportará uma maior parcela de T. 
70 
 
T
T
+u
-u
+u
-u
+u
-u
+u
-u
θu
+u
-u
+u
-u
b) Planta da deformada da mesa superior
a) Perspectiva da deformada
 
Figura 93 – Torção não uniforme do perfil I (eliminando o engastamento). 
b) Planta da deformada da mesa superior
T
θw
a) Perspectiva da deformada
 
Figura 94 - Flexo-Torção do perfil I (eliminada a alma) 
 
71 
 
T =Tu
τtu
Tensões na torção uniforme Tensões na flexo-torção
twτ
T =Tw
 
 (cte. ao longo da espessura e nulo na alma) 
Figura 95 - Tensões tangenciais. 
 
τtuτ tw
+
+
-
-
 
 σσσσtu (nulo) σσσσtw (cte. ao longo da espessura e nulo na alma) 
Figura 96 - tensões normais 
 
 
A solução desses problemas hiperestático exige que se escrevam 4 equações: 
- Equações de equilíbrio: 
 
 T = Tu + Tw qualquer (x) (1) 
 
Numa seção qualquer S(x) o momento de torção T é obtido pela soma dos momentos de 
torção uniforme Tu e de flexo-torção Tw. 
- Equações de compatibilidade: 
 
wu θθθ == qualquer (x) (2) 
 
Numa seção S(x) a rotação θ em torno de x é a mesma para os 2 sistemas estruturais. 
 
- Equações derivadas das constitutivas: 
72 
 
 
)./( tuuu IGTf=θ 
)./( wwww IETf=θ 
 
Essas equações formam um sistema determinado de 4 equações a 4 incógnitas, que são: Tu 
, Tw , θu e θw . 
Iw é o momento de inércia à flexo-torção, cuja expressão para perfil I é dada a seguir. 
A solução completa desse problema é difícil, mas é fácil obter uma solução aproximada 
que permite ter uma idéia de qual dos sistemas é mais importante, facilitando a visualização do 
problema físico. 
Essa solução aproximada corresponde a escrever a equação de compatibilidade apenas na 
extremidade livre. Assim: 
t
u
u
IG
lT
l
.
.
)( =θ 
2/
)(
h
l w
w
δ
θ = 
m
w
w
EI
lH
3
. 3=δ 
 onde: 
12/.
/
3
mmm
ww
btI
hTH
=
=
 
m
w
t
u
EIh
lT
IG
lT
2
3
3
.2
.
.
= 
conforme Saint-Venant: �=
3
. 3
ii
t
tb
I 
Por definição, o momento de inércia à flexo-torção de um perfil I com dois eixos de 
simetria é dado por: 
2
. 2
hI
I m
w = 
logo: 
2.
3
.
l
EI
IG
T
T
w
t
w
u ==α 
Quando α > 10, a torção uniforme faz praticamente todo o serviço. A flexo-torção pode ser 
desprezada. É o caso das seções celulares. 
Se α < 0,1 , a flexo-torção transporta praticamente toda a carga. A torção uniforme pode 
ser desprezada. É o caso dos perfis delgados abertos. 
Se 0,1 < α < 10, é preciso considerar a torção mista, com a solução correta. 
73 
 
NOTA: essa visão de flexo-torção permite justificar com clareza os critérios usuais para 
cálculo das pontes em duas vigas. 
Considere-se inicialmente o mesmo perfil I em balanço, mas recebendo agora cargas 
laterais. Despreze-se a torção uniforme 
h
P
e
P
P/2 P/2 -P.e/hP.e/h
P.e
+
RdRe
 
Figura 97 – Seção H submetida à carga excêntrica. 
 
)
2
1
(
h
e
PRe += 
)
2
1
(
h
e
PRd −= 
Note-se que esses dois valores correspondem exatamente às reações de apoio de uma viga 
isostática de vão h, recebendo a carga P excêntrica de e. 
eP
h
l .Ri e l .Ri d
 
Figura 98 – Linha de influência de reação nas almas esquerda e direira. 
 
�
�
�
	
� +=�
�
�
	
� +==
h
e
PPe
h
h
PR ee 2
1
..
2
1
.η 
�
�
�
	
�
−=�
�
�
	
�
−=η=
h
e
2
1
.PP.e
2
h
h
1
P.ddR 
Essa conclusão permite dizer que calcular pontes em duas vigas considerando para a linha 
de influência de distribuição transversal, a reta 0/1, corresponde apenas a desprezar a torção 
uniforme, coisa que é em geral aceitável, podendo inclusive ser verificada através do coeficiente α. 
74 
 
(cuidado que a expressão de α varia conforme as condições de contorno da barra: em balanço, 
biapoiada, contínua, etc.). 
ba a
1 0
-b/a
a+b
a1
 
Figura 99 – Linha de influência transversal. 
Pi
l
P
1
 
Figura 100 – Carga sobre a viga esquerda. 
 
Pi (viga esquerda) = P 
Pi (viga direita) = 0 
Mmax (viga esquerda) = P.l/4 
- --
+
+
mov.
mov.
 
Figura 101 - Diagrama σ (meio do vão). 
 
2.4.3.1.6. Centro de torção ou cisalhamento 
 
75 
 
S
z
y
xG
G h
S
b
f1
1f
f2τz
yzτ
Vz= P
P
a
 
 �=
A
dsef ..τ 
y
yz
Ie
SMV
.
..
=τ 
P
G x
z
y
f1
f1
f2
C
P
c
a
 
Figura 102 – Exemplo do perfil C. 
Do equilíbrio do elemento: 
h: f1 – f1 = 0 
v: P – f2 = 0 
 
MGx = Pzero - f1h - f2.a ≠ 0 ? 
MCx´ = Pzero - f1h + f2.c = 0 � 
2
1
f
hf
c = 
 
Assim, as tensões τ� decorrentes da flexão simples, ou seja, a própria flexão simples, 
ocorre quando P é aplicada em C (Centro de cisalhamento) e não em G. 
Como conseqüência, os momentos de torção devem ser calculados em relação a C, e não a 
G. 
Caso P esteja excêntrica de d em relação a C, as tensões tangenciais resultarão da 
76 
 
composição τVz + τT ( T = P.d) 
Por isso C também é chamado Centro de Torção. 
Assim: 
 
yI.4
2h2b.e
P.yI.4
2h.2b.e.P
2f
h1fc
yI.4
h2b.e.P
b.e
yI.e
2/h.e.b.P
.
2
1
yI.e
ySM.P
.
2
1
A
ds.e.1f
P2f
===
===� τ=
=
e x b x 
 
 
G
C
C
G
C G G = C
2 eixos 
de simetria 
Figura 103 – Centro de torção de algumas seções. 
 
 
 
 
2.4.3.2. Estruturas em viga T única 
 
Estas estruturas são muito comuns nas passarelas de pedestres. 
+a
-a
P e
η
flexão
=+e
=1 = cte
torção
η
P
Pe
 
Figura 104 – Viga em seção T. 
77 
 
 
- A carga P centrada é transportada aos apoios por flexão. 
- O momento Pe o é por torção uniforme. A flexo-torção nesse caso é usualmente 
desprezível. 
 
2.4.3.3. Pontes em duas vigas 
- Já foram estudadas anteriormente 
 
2.4.3.4. Pontes em 3 ou mais vigas (Grelhas) 
 
Existem muitas soluções para o problema das grelhas de ponte. A mais simples é aquela 
devida a Courbon/Engesser que será apresentada a seguir. Outras soluções devem ser lembradas, 
como, por exemplo, aquelas devidas a Leonhardt, Guyon/Massonet/Bares, ao prof. Ferraz, a 
Fauchart, etc. Dentre elas será apresentadaapenas a última, que é ao mesmo tempo simples e 
precisa. 
As pontes em vigas múltiplas foram inicialmente providas de transversinas bastante rígidas 
com o objetivo de bem distribuir as cargas pelas longarinas e se constituírem nas grelhas. 
Posteriormente se verificou que as lajes usuais dessas pontes tinham rigidez suficiente para 
garantir uma boa distribuição transversal o que sugeriu a eliminação das transversinas 
intermediárias. Essa solução tem sido usada atualmente, especialmente quando as vigas são pré 
moldadas, mas, é claro, a armadura da laje deve ser reforçada, com atenção especial para os 
problemas de fadiga. 
Para o cálculo das grelhas com transversinas muito rígidas propõe-se o processo de 
Courbon/ Engesser e para o caso em que elas são flexíveis ou mesmo não existem propõe-se o 
processo de Fauchart. 
 
2.4.3.4.1. Processo de Courbon/Engesser 
 
Esse processo se aplica ao caso usual de grelhas de ponte onde são respeitadas as seguintes 
condições: 
• A largura da obra é menor que metade do vão da mesma 
• A altura das transversinas é da ordem de grandeza daquela das longarinas 
• As espessuras das longarinas e das lajes são pequenas 
Essas condições permitem formular as seguintes hipóteses: 
78 
 
1. As transversinas são infinitamente rígidas. 
2. A torção uniforme é desprezível. 
3. O trabalho longitudinal das lajes também é desprezível. 
4. Admitem-se ainda válidas para as longarinas as hipóteses da Resistência dos 
 Materiais: 
 
• As longarinas são barras (b,h<<<l) 
• O material é homogêneo e isótropo 
• É valida a lei de Hooke 
• É válida a hipótese de Navier 
• Os deslocamentos são pequenos. 
 
A Resistência dos Materiais permite dizer que as flechas das longarinas são inversamente 
proporcionais ao produto de rigidez EI. Assim, para uma viga biapoiada sob carga uniforme p ou 
concentrada P no meio do vão as flechas no meio do vão seriam respectivamente: 
 
EI
pl
384
5 4
 e 
EI
pl
48
3
 
 
79 
 
A. Distribuição transversal 
V1 2V 3V 4V
4V' 
v v v
T1 T2
T3 4T
F
 
Figura 105 – Distribuição transversal de uma carga F. 
 
Ti = v ≈ 0 ( desprezíveis) Fi = vi - vi ' 
Considere uma transversina e sua vizinhança como assim representado. Os momentos 
fletores não foram representados porque não interferem no equilíbrio de forças verticais que se 
pretende estudar. 
As hipóteses feitas permitem reduzir o problema de distribuição da força externa F pelas 
vigas (forças Fi = ∆Vi) ao problema de uma viga infinitamente rígida sobre apoios elásticos. 
F1 2F F3 4F
1k
32 kk
4k
F
θ
x,u
y,δ
 
Figura 106 – Viga rígida sobre apoios elásticos. 
 
Esse problema tem 3 graus de liberdade: deslocamentos u(//x) , δ(//y) e rotação θ. 
Como só temos cargas verticais podemos deixar de lado o deslocamento u (//x). 
Por outro lado as transversinas rígidas fazem com que as deformadas de todas as vigas 
sejam afins. Assim: 
80 
 
F
1 2 3 4
a
b
1
4
ab
 
Figura 107 – Deformação das vigas 1 a 4. 
aibi δ
α
δ
1
= para qualquer viga i. 
Isso permite dizer que as rigidezes dos apoios elásticos k variam com a posição da 
transversina, mas é mantida a proporção entre elas. Como é essa proporção que define a distribuição 
transversal, ela será única qualquer que seja a posição da transversina. 
 
 Transversina a k1, k2, k3, k4 
 Transversina b α.k1, α.k2, α.k3, α.k4 
 Qualquer transversina β.I1, β.I2, β.I3, β.I4 
 
α e β variam com a posição da transversina e com o tipo de carregamento. "Para justificar 
essa conclusão, ver item 2.4.3.4.2." 
A solução do problema de barra rígida sobre apoios elásticos se obtém facilmente como se 
segue. 
Considere-se o caso particular θ = 0 e δ = 1 e procure-se determinar a posição da carga 
externa correspondente. 
�
�
=
�
�
�
��
�
�
�==
� �==
=δ=
ik
ikix
x
x.ikx.FAM
ik.ixix.iFAM
iki.ikiF
 
x define um ponto tal que se F for a ele aplicado teremos θ = 0 e δ constante. 
Esse ponto é chamado Centro Elástico por analogia com Centro de Gravidade. 
Considere-se agora o caso geral. 
81 
 
ki
F
e
CE
θ
i
je
 
Figura 108 – Deformação de uma viga rígida sobre apoios elásticos devido à carga excêntrica em 
relação ao centro de rigidezes das molas. 
 
δi = δ + θ.ei Fi = ki.δi = ki(δ + θ.ei) 
As duas equações de equilíbrio necessárias são: 
��
�
�
�
=+=
=+=
��
�
�
�
+==
+==
� ��
� ��
� �
� �
22 ...
).(..
).(
iiiiiiej
iiii
iiiiiej
iii
ekekekF
kekkF
eekeFF
ekFF
θθδ
δθδ
θδ
θδ
 
Pois � = 0. ii ek por definição do CE. 
Assim: 
�
=
ik
F
δ e 
�
=θ
2
ie.ik
F j e 
 
 
ijr.F
2
ie.ik
ie.je
ik
1
ik.Fie.
2
ie.ik
F
ik
F
ikiF =
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
	
	
	
�
�
+
�
=
�
�
�
�
�
	
	
	
�
�
+
�
=
j e 
 
como ii Ik .β= 
�
�
�
�
	
	
�
+=
�� 2.
.1
ii
ij
i
iij
eI
ee
I
Ir 
Quando as vigas são iguais: (Ii = I = constante) 
�
�
�
�
	
	
�
+=
� 2
1
i
ji
ij
e
ee
n
r 
Note-se a semelhança entre essas expressões e aquela das tensões normais na flexão-
composta: 
82 
 
e
I
M
A
N
.+=σ 
FN = , jeFM .= 
�= ikA , �= 2. ii ekI , iee = 
A semelhança não é apenas formal, é física: a transversina rígida faz o papel da hipótese de 
Navier e as molas de comportamento elástico linear reproduzem a Lei de Hooke. 
 
B. Esforços longitudinais 
 
Quando a carga externa está sobre uma transversina, ela se distribui pelas longarinas 
conforme foi visto. A longarina i recebe força Fi e os esforços longitudinais nessa longarina são 
diretamente calculados a partir d Fi. 
Quando, porém, a carga externa está fora da transversina, sobre uma longarina por 
exemplo, as coisas não são a princípio tão simples. De fato: 
a
b
F
1 2 3 4
c
d Longarina 1
F
? ?
Longarina i>1
? ?
F
 
Figura 109 – Carga externa fora da transversina. 
 
É preciso calcular os esforços que as transversinas aplicam nas longarinas. 
Façamos isso por superposição. 
83 
 
Longarina 1
F
+
Ra
Rb Rc
Rd
Rb Rc1 1
Rb-Rb Rc-Rc
F
1 1
*
F
**
1
**
iF
Rb ii Rc *
Longarina i >1
Deistribuição de Rb e Rc
pelas longarinas
 
Figura 110 – Distribuição da carga F nas longarinas. 
 
Verifica-se que as soluções aproximadas **, embora muito mais simples, fornecem 
soluções bastante próximas ds soluções corretas *. 
Aconselha-se, portanto, usar a solução aproximada que corresponde, fisicamente, a admitir 
uma transversina rígida sob cada carga externa. 
Note-se que a distribuição transversal obtida por Courbon/Engesser é válida qualquer que 
seja o sistema estrutural longitudinal, viga biapoiada ou contínua. 
 
2.4.3.4.2. Processo de Fauchart 
 
Considere-se o caso de uma ponte em vigas múltiplas sem transversinas intermediárias, só 
nos apoios. 
Para tratamento desse problema adotam-se as seguintes hipóteses: 
1. As longarinas trabalham conforme a Resistência dos Materiais. 
2. As longarinas são biapoiadas e têm inércia constante. 
3. O trabalho longitudinal das lajes é desprezado. 
84 
 
x
y
z
 
Figura 111 – Superestrutura em grelha. 
 
Da super esquematicamente representada na figura 111 isole-se a viga i: 
P
v
i
ev
dmem
P
m i
 
Figura 112 – Equilíbrio da viga i 
pi = p + vd - ve 
mi = md - me 
 
Da Resistência dos Materiais tem-se: 
EI
M
dx
yd
−=
2
2
 
EI
P
dx
yd
dx
Md
p =→−=
4
4
2
2
 
tGI
T
dx
d
=
θ
 , 
tGI
m
dx
d
dx
dT
m −=→=
2
2θ
 
Assim: 
tEI
ip
4dx
iy4d
= e 
tiGI
im
2dx
i
2d
−=
θ
 
 
Desenvolvendo em série de Fourier as cargas pi e mi e os deslocamentos yi e θi é possível 
transformar essas duas equações diferenciais em equações algébricas o que permitirá transformar 
85 
 
nosso problema bidimensional (x, z) em unidimensional (z). 
Como as vigas são biapoiadas e ainda engastadas à torção nos apoios a série escolhida deve 
respeitar as seguintes condições de contorno: 
 0=x e lx = yi = θi = 0 
 (θ = rotação em torno de x) 
A série adequada éportanto de senos do tipo: 
l
xj π.
sen , nula para 0=x e lx = . 
Assim: 
l
xj
pp
j
iji
π
sen�= �=
j
iji
l
xj
mm
π
sen 
l
xj
yy
j
iji
π
sen�= �=
j
iji
l
xjπ
θθ sen 
Introduzindo essas séries nas equações acima tem-se para cada termo j: 
iijij EI
l
j
l
xj
y
l
xj
p .sen.sen.
4
�
�
�
	
�=
πππ
 
e 
tiijij GI
l
j
l
xj
l
xj
m .sen.sen.
2
�
�
�
	
�=
ππ
θ
π
 
ou 
ijfij ykp
ij
..= e ijtij ij
km θ..= 
com if EI
l
j
k
ij
4
�
�
�
	
�=
π
 e tit GI
l
j
k
ij
2
�
�
�
	
�=
π
 
Assim, para cada termo j da série, o problema de distribuição transversal se reduz a 
calcular a faixa unitária de laje esquematizada na figura 113. 
m ij
pij
1m
 
Figura 113 – Faixa unitária. 
ijfij ykp
ij
..= ijtij ij
km θ..= 
86 
 
ij
ij
p
m
f ij
k
p
k
ijt
j
faixa de laje
com 1 m de
largura
 
Figura 114 – Esquema estrutural transversal para uma faixa unitária. 
 
Essa faixa deve ser carregada com o termo j do desenvolvimento da série Fourier da carga 
externa p (pj). 
Transformamos assim nosso problema bidimensional em uma série de unidimensionais. 
Ocorre que usualmente o 1º termo da série já é suficiente e temos apenas um problema 
unidimensional como o acima, com j=1. Sua solução é obtida com facilidade pelo processo dos 
deslocamentos bastando dispor de uma calculadora programável (são 8 graus de liberdade, 4 vigas 
com um θ e um δ para cada uma ). 
 
Observações complementares: 
 
1. Imaginando a ponte em questão como uma peça única de seção aberta com 4 nervuras a 
solução de Fauchart considera flexão do conjunto (δ cte), a torção uniforme e a flexo-torção (θ cte) 
e a deformação da seção transversal ou “distorção” representada por θ não constante e δ variável 
não linearmente. A figura 115 ilustra esses fatos. 
87 
 
carga externa
flexão
torção
distoção
 
Figura 115 – Deformação de uma seção transversal pelo processo de Fauchart. 
 
2. Para obter as linhas de influência que definem as cargas nas vigas (pi - flexão da viga e 
mi - torção da mesma) bem como as solicitações mais importantes na laje de ligação basta resolver a 
viga sobre apoios elásticos, num programa conveniente, para uma série de posições de uma carga 
unitária. É importante considerar pelo menos uma posição para cada viga e cada seção considerada 
relevante. Costuma-se dizer que basta “passear com a carga unitária sobre a estrutura” anotando 
para cada posição os esforços de interesse. 
 
3. Para determinação dos trens tipo nas vigas (isto é do carregamento em cada viga) 
deveríamos carregar as linhas de influência para pi e mi com o primeiro termo do desenvolvimento 
em série das cargas externas. Verifica-se que é mais fácil e preciso carregá-las com as cargas reais. 
Isso equivale a dizer que: 
11 .
1 ifi ykp
i
= � iy.
1if
kip = 
11 ..
1 iti i
km θ= � i.
1it
kim θ= 
 
Usamos assim as séries de Fourier apenas para definir a rigidez com que as vigas vinculam 
as lajes de ligação. Para carregamentos usamos a sua forma real. 
 
4. É conveniente observar que se for desprezada a torção uniforme (Iti=0) e for admitida 
infinita a rigidez da laje de ligação (simulando transversina rígida) o processo do Fauchart se reduz 
ao do Courbon. Assim Courbon é um caso particular do Fauchart. 
 
88 
 
5. Extensão da solução às grelhas com transversinas flexíveis. 
e
bw
bw+b/5=bm
b/10
longarina
transversina
seção efetiva
da transversina
(e-bm).1/2
 
Figura 116 – Ponte em grelha com transversinas flexíveis. 
 
Basta, para tal, definir uma laje de rigidez equivalente ao conjunto laje+transversinas: 
e
beII
I
mlajetransv
equivlaje
)(
.
−+
= 
 
6. Extensão da solução às grelhas contínuas. 
 
Basta, para tal, adotar para l um vão biapoiado equivalente, isto é, que apresente a mesma 
flecha que um determinado vão da obra real, para um mesmo carregamento considerado 
representativo. A carga uniforme é considerada usualmente aceita para esse fim. 
 
7. Esforços na laje do tabuleiro. 
 
7.1. Caso em que existem transversinas. 
 
Calculam-se as lajes como engastadas nas vigas. Um bom procedimento é usar as tabelas 
de Rüsch (ver aulas de projetos). 
 
89 
 
7.2. Caso em que não existem transversinas intermediárias. 
 
Calculam-se as lajes por superposição de efeitos conforme sugere a figura 117: 
-
P
P1
A
1P
+
P
B
C
P (primeiro termo do
desenvolvimento de P)
aplicado na viga sobre
apoios elásticos
carga concentrada P
P sobre viga biengastada
P sobre placa longa
biengastada (Teoria das Placas)
1
1
 
Figura 117 – Superposição de efeitos para cargas na laje. 
 
Para melhor entender essa superposição é conveniente dividir as solicitações na laje em 2 
partes: 
- local - que decorre do trabalho do painel da laje carregado e engastado nas vigas que 
são admitidas indeslocáveis; 
- global - que decorre apenas dos deslocamentos das vigas. 
 
O primeiro termo da série (P1) pode representar bem P do ponto de vista global, mas não 
local. 
 Assim: 
 
Efeito P = Efeito global + Efeito local = 
= Efeito P1 - Efeito local P1 + Efeito local P = 
 A B C 
 
 Efeito Global P1 = P 
90 
 
O efeito local de P pode ser calculado com as superfícies de influência anteriormente 
apresentadas ou se P representar o trem tipo padrão, esse efeito pode ser em geral calculado com as 
tabelas de Rüsch. 
 
2.4.3.5. Pontes celulares 
 
As pontes celulares têm sido cada vez mais utilizadas função das grandes qualidades 
estruturais das serves celulares (boa rigidez e resistência à torção e flexão, seja para momentos 
positivos, seja para negativos) e do progresso dos métodos construtivos. Essas seções são 
preferencialmente unicelulares por economia de materiais e de mão de obra. Só se justifica o uso de 
seções multicelulares em obras exageradamente largas, sobretudo aquelas em que a largura é bem 
superior à metade do vão. 
Devido à essas qualidades estruturais essas pontes são calculadas como vigas únicas. Esse 
cálculo requer, no entanto, algumas complementações em relação à Resistência dos Materiais usual. 
 
2.4.3.5.1. Seções unicelulares 
 
Considere-se uma ponte unicelular biapoiada sob carga excêntrica como representado na 
figura 118. 
P
l
P
transversina de apoio
P
P/2 P/2 P/2 P/2
flexão torção
+
 
Figura 118 – Seção celular submetida à carga na alma direita. 
 
A. Estudo da flexão 
 
As tensões normais s podem ser calculadas pela expressão usual da Resistência dos 
Materiais exigindo-se, sem dúvida, a determinação dos eixos centrais de inércia. Como no caso 
91 
 
usual as seções são simétricas, essa determinação é imediata. 
X
Z
Y NMy
yM
My
Wyi
N
S 
Figura 119 – Tensões normais ao longo da altura da seção celular. 
 
z
I
M
S
N
y
y .+=σ No caso acima, N = 0. 
O cálculo das tensões de cisalhamento requer alguma discussão. A expressão usual da 
Resistência dos Materiais vem do equilíbrio de um “naco” de viga na direção do eixo x. Ela só 
pode, no entanto, ser aplicada se for conhecido o valor de τ em alguns pontos de partida. 
x
z
y
12
3
4
τ
σ
σ+dσ S
dx
x
 
Figura 120 – Equilíbrio, na direção x, de um elemento infinitesimal. 
 
S
y
y
Sy
y
S y
y
S
M
I
dM
Sdz
I
dM
Sdz
I
dM
Sdddxe ........ ==== ��� στ 
y
Sz
Ie
MV
.
=τ 
 
Nas seções abertas (como o perfil I acima) esse pontos são as extremidades da seção delgada 
onde τ=0 (faces laterais 1, 2, 3, 4). Nas seções fechadas a dificuldade está em determinar esses 
pontos. 
Caso 1 - Seções Simétricas 
92 
 
Por necessidade da simetria das tensões de cisalhamento (bem como forças cortantes e 
momentos de torção) são nulas nos eixos de simetria. De fato: 
τ esq.
dir.
dir.
τ por simetria
por ação/reaçãoτ
τ =0
 
Figura 121 – Tensão de cisalhamento no eixo de simetria da seção celular. 
 
Assim, nas seções simétricas os pontos de partida estão no eixo de simetria. 
G τ= 0
maxτ
S
τ (S)
 
Figura122 – Tensões de cisalhamento em uma seção celular simétrica. 
 
Caso 2 - Seções Assimétricas 
= 0τ
?
 
Figura 123 – Seção celular assimétrica. 
Onde está o ponto de partida onde τ = 0 ? Não se sabe a priori! 
93 
 
 
Na verdade o problema de seções fechadas é internamente hiperestático. Seções 
unicelulares são uma vez hiperestáticas. Uma boa maneira de levantar essa indeterminação é usar o 
processo dos esforços. A estrutura fechada hiperestática e tornada aberta e isostática através de um 
corte longitudinal feito a priori. A essa estrutura aberta é possível aplicar a expressão anteriormente 
descrita. 
A compatibilidade é somente recuperada se no corte forem introduzidos esforços 
hiperestáticos de valor conveniente. Assim: 
FC
P P
AC
τ = 0αP α P(1- ) 
τi
∆Τ
τ = q /eo o
oq = cte.
 
Figura 124 – Corte longitudinal arbitrado e introdução de esforços que mantêm a compatibilidade. 
 
A solução da flexão da seção assimétrica sob carga P passando pelo seu centro de torção CF 
é obtida pela superposição da solução da seção aberta (onde P passa pelo centro de torção da mesma 
CA e provoca as tensões τi) e do fluxo de torção q0, que provoca tensões τ0=q0/e, decorrente da 
torção ∆T dada por P vezes a distância entre CA e CF na direção y. Assim: 
y
Sz
i
Ie
MV
.
τ 
Mas como calcular τo? 
É preciso obter uma equação de compatibilidade! 
Observe-se a deformação da seção aberta. 
94 
 
δ
γ
ds
du
x
 
Figura 125 – Deformação da seção aberta. 
 
As faces do corte se deslocariam de d uma em relação à outra função da deformação por 
cisalhamento γ. 
Gds
du
tg
τ
γγ ==≅ 
�� == dsdu .γδ 
Deve-se calcular τ0 tal que δ = 0 
Como γ = τ/G e G ≠ 0 
 0. == � dsγδ � 0=� dsτ ou 
� =+ 0).( 0 dsi ττ 
Essa equação permite calcular τ0. 
Conhecida τ0 conhece-se também a vertical que passa por CF. Para determinar a posição 
desse centro deveríamos estudar ainda o caso de uma força horizontal. 
Convém lembrar que para as seções simétricas usuais, embora G não coincida com CF é 
habitual e aceitável admitir CF ≡ G. 
95 
 
G
CF
 
Figura 126 – Centro de gravidade e de torção de uma seção celular simétrica. 
 
CF ≠ G mas CF ≈ G. 
 
B. Estudo da torção 
 
Como visto anteriormente, a tração de seções unicelulares fica resolvida por: 
 qAT ..2= onde: cteeq == .τ 
 A = área interna à linha média da célula 
�
=
e
ds
A
I t
4.4
 e 
tGI
T
dx
d
=
θ
 
 
2.4.3.5.2. Seções multicelulares 
 
A análise dessas seções se faz analogamente às unicelulares. Seja a seção tri-celular da 
figura 127: 
P
G
e
P/2P/2
+
P/2P/2
flexão 
torção
 
Figura 127 – Seção tri-celular submetida à carga na alma direita. 
 
96 
 
A. Flexão 
 
Só em relação às tensões τ são necessários comentários adicionais. De fato, mesmo sendo a 
seção simétrica o problema permanece indeterminado estaticamente. São 3 células portanto 3 graus 
de indeterminação. Por simetria essas 3 incógnitas se transformam em apenas uma. 
τ = 0
= 0τ
τ = 0
τi
+ τ = 0
q = cte.
= q /eo
o
τ o
 
Figura 128 – Esquema estrutural transversal considerando a simetria. 
 
A única incógnita hiperestática τ0 se calcula através da equação de compatibilidade: 
� =+ 0).( 0 dsi ττ 
analogamente à seção unicelular assimétrica. 
 
B. Torção 
21 3
T
Pe
-Pe/2
Pe/2
T
 
Figura 129 Viga tri-celular submetida à torção. 
 
Aqui, também a torção corresponde a um problema hiperestático, só que com grau de 
indeterminação 2. De fato: 
Da torção total T, cada célula suporta uma parcela Total que: 
T = T1 + T2 + T3 - 3 incógnitas para 1 equação 
97 
 
É preciso obter 2 equações de compatibilidade. Elas são: 
θ1 = θ2 e θ1 = θ3 
É importante, no entanto, tomar cuidado para calcular corretamente Ti e θi. 
Cada célula ficará submetida a um fluxo de torção qi tal que: 
1
T
q 2q 3q
 
Figura 130 – Fluxo de torção. 
 
Do capítulo de torção tem-se que: 
� � �== iiii qAdsbqT 2 )2( iii qAT = 
por superposição das solicitações nas três células. 
Para calcular a rotação qi é preciso considerar que o fluxo qi não é constante em todo 
contorno. Para isso é preciso estudar com cuidado as deformações por torção de uma seção celular. 
Seja uma barra de seção vazada solicitada à torção uniforme como mostra a figura 131. 
θ
l
T
Conciderando os Teoremas
de energia de deformação
temos que:
T,τ
θ,γ
τ (T)e
(τ)τ i
ou
 
Figura 131 – Barra de seção vazada solicitada à torção uniforme. 
τe (trabalho externo) = 1/2 T.θ 
98 
 
τi (trabalho interno) = 1/2 τ.γ (elementar!) 
�= dvie ττ 
�= dsleT ....
2
1
2
1
γτθ 
'..
2
1
θ
θ
qA
l
T = 
��� == ds
G
q
dse
G
dse .
2
.
2
1
...
2
1 2 ττγτ 
�= ds
G
q
qA .
2
'.. τθ � �= dsGA .'...2 τθ 
 
Essa expressão permite calcular as rotações elementares θ’ considerando que q não é 
constante em todo contorno. 
Voltando ao problema da seção tricelular, considerando a simetria temos que q1=q3 e 
θ1'=θ3’ o que reduz o número de incógnitas a 2. Assim: 
�
�
�
�
�
===
+=
��
GA
ds
GA
ds
qAqAT
2
2
1
1
21
2211
2
.
..2
.
''
..2..4
ττ
θθ 
Notar que τ1 = q1/e apenas em 3 lados da célula 1. No 4º lado τ1 = (q1 - q2) /e. 
Analogamente para a célula 2. 
Observação: A expressão acima indicada para cálculo de �’ permite demonstrar a 
expressão do momento de inércia de uma seção unicelular. De fato: 
=====
��
GA
e
ds
q
GA
ds
IG
T
dx
d
t ..2..2
.
.
'
τθ
θ 
 
��
==
e
ds
A
G
T
e
ds
A
G
qA
22 .4.4
.
..2
 
∴ 
�
=
e
ds
A
I t
2.4
 
5.3. Problemas de deformação da seção transversal - Distorção 
 
99 
 
Tudo o que foi descrito até aqui prevê que as seções celulares tenham seção transversal 
indeformável. Isso nem sempre é verdade. 
Para que a seção seja efetivamente indeformável é preciso prever transversinas não muito 
espaçadas. Para as obras usuais esse espaçamento deve ser da ordem de 10m. 
De forma a melhor visualizar essa questão retomemos a ponte unicelular sob carga 
excêntrica apresentada no item 2.4.3.5.1., reanalisando os esquemas de carregamento em seção 
transversal. Merece reconsideração especial o carregamento de torção. 
+
P
flexão 
P/2 P/2
"torção"
P/2P/2
δ
 
Figura 132 – Seção unicelular submetida à carga excêntrica. 
 
O carregamento indicado como sendo de “torção” não é, na verdade, da forma em que a 
seção unicelular suporta a seção, isto é, através de esforços na direção de suas 4 paredes. Assim o 
carregamento de “torção” contém além de torção, mais algum efeito, vejamos qual é: 
distorçãotorção
θ
P/2-q.a
+
P/2 P/2
b
a
q.a
q.b q.b
"torção" 
Figura 133 – Carregamento de “torção” decomposto em duas parcelas: torção e distorção. 
 
a
P
ba
bP
A
T
q
.4..2
2/.
.2
=== 
 
2
)
1
4 ��
�
�
		
�
+=
a
bP
R
 
 Assim, aquele carregamento que parecia de torção contém além disso um carregamento 
equilibrado (de resultante nula) chamado de carregamento de distorção. 
4.4
.
2
P
a
aPP
=−
b
a
R
P.b
4.a
100 
 
Esse carregamento corresponde a duas forças de mesmo módulo e direção, mas sentidos 
inversos, que tendem a afastar dois vértices opostos da célula, isto é, tendem a distorcê-las. 
A transversina é um elemento especialmente imaginado para impedir essa distorção. Se as 
transversinas forem convenientemente espaçadas, a região entre elas fica protegida pelas próprias 
paredes da seção função de sua grande rigidez à flexão no seu plano. 
Se a obra não dispuser de transversinas esse carregamento deve ser suportado pelo quadro 
transversal, onde as paredes da seção fletem como placas. 
Em qualquer um dos casos é importante, no entanto calcular esse quadro transversal. 
Esquema para cálculo do quadro transversal. 
Consideremos um quadro correspondente a um pedaço da ponte com 1m de comprimento. 
1m
Τ + ∆Τ
V + V∆
TV
 
Esquema das 
lajes engastadas
nas almas
+
 
p p'
+
m m'
m, p, m', p' - esforços
de engastamento das
lajes nas almas
Diagonal biarticuladaque simula a transversina
quando for o caso
∆q ( T, V) - acréscimo de∆ ∆
fluxo de cisalhamento
decorrente de T e V∆ ∆
 
Figura 134 – Esquema para cálculo do quadro transversal. 
3. MESO E INFRAESTRUTURAS DE PONTES 
 
3.1. Considerações iniciais 
 
A meso e infraestruturas das pontes são as responsáveis pelo suporte da superestrutura 
e pela sua fixação ao terreno, transmitindo a ele os esforços correspondentes a essa fixação. 
Pode-se dizer que enquanto a super é essencialmente responsável pelo transporte horizontal 
das cargas, está a cargo da meso o transporte vertical das mesmas e da infra, sua transmissão 
ao terreno. 
 
3.2. Nomenclatura 
 
O esquema abaixo fixa a nomenclatura usualmente adotada para descrever cada um 
desses elementos. 
APARELHO
DE APOIO
FUNDAÇÃO 
RASA
(SAPATA)
FUNDAÇÃO 
PROFUNDA
(BLOCO C/ ESTACAS)
SUPER
MESO
INFRA
Pilares
Encontros
Ap. Apoio
Fundações
Tabuleiro
PILARENCONTRO
Vigas
Fig.1 Nomenclatura dos elementos das pontes 
3.3. Tipos estruturais 
 
3.3.1. Tipos de aparelhos de apoio – vinculação super x meso 
 
Nó de pórtico
MONOLÍTICA FIXA MÓVEL
Unidirecional Multidirecional
Teflon sobre inox
LIGAÇÃO ARTICULAÇÃOARTICULAÇÃO
 
Fig.2 Tipos de aparelhos de apoio 
Essas articulações podem ser metálicas, de concreto e até mesmo de borracha, como 
veremos mais adiante. 
Rótulas podem ser obtidas com superfícies esféricas no lugar das cilíndricas. 
 
3.3.2. Pilares 
 
Pilar
Pilar
Pilar
PilarAp. apoio Ap. apoio
Ap. apoioAp. apoio
Transversina
Transversina
Travessa
Travessa
Grelha Caixão
Caixão
V
Mt
V
Mt
V
Mt
V
Transversina
Usual
Transversina
Obrigatória
Fig.3 
Seções: Maciças
Paredes finas
Constantes ou variáveis
TransversalLongitudinal
 
Fig.4 
3.3.3. Encontros 
 
Fig.5 Encontros 
 
Fig.6 Encontro aliviado (bastante comum) 
 
 
Fig.7 Encontro na super 
 
Fig.8 Encontro na super 
 
3.3.4. Fundações 
 
Os tipos estruturais das fundações não fazem parte do objetivo desta disciplina. Para 
tanto, ver cursos específicos. 
 
3.4. Métodos construtivos 
3.4.1. Fundações 
 
Quando as fundações estão localizadas no seco, como nos viadutos por exemplo, os 
métodos construtivos a aplicar na sua execução são os convencionais. Quando, no entanto, as 
fundações estão dentro d’água, tais métodos devem ser revisados. 
As novas soluções podem ser divididas em 2 grupos: 
 
� Caso 1 – Lâmina d’água pequena. 
Nesse caso as fundações diretas ainda são possíveis, devendo ser executadas em 
ensecadeiras. Essas ensecadeiras podem ser construídas com estacas prancha ou barragens de 
terra. Em ambos os casos, elas se assemelham a valas a céu aberto onde a estrutura de 
contenção suporta empuxos de água em lugar de empuxos de terra. 
VALA ESCORADA
ENSECADEIRA DE
ESTACAS PRANCHA
Estronca
Estronca
Estaca prancha
ENSECADEIRA DE TERRA
VALA ATALUDADA
Estaca prancha Barragem de terra
Barragem de terra
 
Fig.9 Ensecadeiras 
 
Quando a lâmina d’água é pequena e as fundações a executar profundas, é em geral 
possível construir uma plataforma estaqueada provisória, onde se executam as fundações 
definitivas, sejam estacas (pré-moldadas, Franki ou escavadas), sejam tubulões (a ar 
comprimido, escavados mecanicamente ou mistos), sejam caixões (a céu aberto ou a ar 
comprimido). 
Os tubulões escavados mecanicamente (tipo Wirth), os mistos e os caixões, serão 
descritos a seguir, por não serem usuais, senão nas fundações das pontes. 
 
 
 
 
� Caso 2 – Lâmina d’água grande. 
Nesse caso nenhuma das duas soluções anteriores são utilizadas, ambas ficam muito 
dificultadas pela altura da lâmina d’água. A solução usual corresponde a execultar fundações 
profundas a partir de barcaças ou flutuantes. 
Essas barcaças, muitas vezes feitas de concreto, são suficientemente grandes para 
suportar, além de equipamentos de perfuração, guindastes, betoneiras e depósito de materiais 
(brita, areia, cimento, aço, etc.). Elas são fixadas às margens através de cabos de forma a 
garantir uma maior precisão nas locações em planta. Em rios mais largos, elas podem ser 
ancoradas no fundo e, quando a velocidade da água for baixa (caso do mar), podem ter pernas 
retráteis. 
 
3.4.2. Fundações especiais 
 
� Tubulões mistos 
Solução a usar no lugar de tubulões a ar comprimido, quando a pressão superar 3 atms 
ou 30 mca. 
 
 
Fig.10 Seqüência construtiva de tubulões com estacas metálicas (Pfeil, 1983). 
 
1. Escavação e descida da camisa a ar comprimido (camisa de concreto); 
2. Desativada a compressão, cravação das estacas por dentro da camisa, com 
suplemento; 
3. Concretagem submersa. 
� Tubulões Mecanizados tipo Bade Wirth 
Solução alternativa pode ser usada com Camisa Perdida 
 
 
Fig.11 
NOTA – 
1. Conforme Pfeil 1983 
2. É possível substituir o tubo Bade e a camisa permanente (pequena espessura) por uma 
única camisa perdida (de espessura maior). 
 
� Caixões a Céu Aberto ou Ar Comprimido 
 
 
 
Fig.12 
Notas: 
1. Conforme Pfeil 1983 
 
2. Escavação mecânica, “a céu aberto”, mas em presença de água. Para solos 
suficientemente impermeáveis e escavações suficientemente profundas essa água 
pode ser esgotada e a escavação executada de fato a céu aberto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig.13 Caixões – Formas – conforme Pfeil 1983 
 
 
3.4.3. Pilares 
 
Além das formas convencionais é preciso, no caso de pilares de pontes, relembrar as 
fôrmas saltantes e as fôrmas deslizantes abaixo esquematizadas. 
 
 
 
Fig.14 Formas 
 
Atualmente se usam formas saltantes (isto é, que andam aos saltos) com sistema de 
sustentação por barras internas ao concreto como nas formas deslizantes. 
 
3.5. Concepção dos apoios da ponte (da vinculação super x mesoestrutura) 
3.5.1. Tipos de aparelho de apoio 
 
A. Aparelhos de vinculação rígida 
 
Nestes casos, a super é rigidamente vinculada à mesoestrutura relativamente a alguns 
movimentos e a outros são praticamente livres. 
Numa articulação fixa, por exemplo, são impedidas translações e rotações, a menos 
daquela liberada pela articulação. Numa móvel, uma translação também foi liberada. 
 
� Aparelhos metálicos 
 
As articulações mais antigas se baseavam num cilindro metálico para liberar rotações 
(articulação fixa) e deslocamentos unidirecionais (articulação móvel). Ver figura 15. 
As articulações mais modernas usam apenas uma parte do cilindro para liberar 
rotações e contato, teflon x inox, para liberar deslocamento unidirecional ou multidirecional. 
Em lugar do rolamento do cilindro, liberam-se os deslocamentos por escorregamento teflon x 
inox. 
 
 
Fig.15 Detalhe de articulação 
Rótulas podem ser obtidas de forma análoga substituindo-se as superfícies cilíndricas 
por superfícies esféricas. 
Esses movimentos não são completamente livres devido ao atrito teflon x inox. O 
coeficiente de atrito correspondente é da ordem de 5%. 
Exemplos: 
Articulação fixa 
 
 
Fig.16 Articulação móvel unidirecional 
 
Fig.17 Articulação móvel multidirecional 
 
Fig.18 Articulação móvel multidirecional 
 
Antigamente era difícil obter uma articulação deste tipo. 
 
� Aparelhos de elastômero 
Esses aparelhos são constituídos por uma “panela” de aço espessa, cheia de elastômero 
e tampada. 
 
Fig.19 Nota – Conforme Leonhardt – 1979 
 
O princípio de funcionamento do aparelho de apoio de borracha em panela: a capacidade de 
rotação em todas as direções é proporcionada pela deformação por cisalhamento da massa de 
borracha incompressível dentro da panela. 
 
As translações são liberadas de forma análoga aos aparelhos metálicos. 
 
Fig.20 
 
 
� Articulação Freyssinet ou fixa de concreto 
 
Freyssinet criou uma articulação de concreto liberando as rotações através de um 
estrangulamento da seção onde as altas tensões, em estado múltiplo de compressão, 
plastificam o concreto, permitindo rotações significativas. A área da seção estrangulada deve 
satisfazer 2 limites:( )
( )α,,
,,
2
1
mínckmáx
máxckmín
VffA
daVffA
=
=
, Rotação≡α 
 
Fig.21 Articulação Freyssinet 
Para maiores detalhes ver construções de concreto de F. Leonhardt, vol. 2. 
Esse aparelho só se aplica para esforços horizontais baixos ( 8VH ≤ ). Se 8VH > é 
preciso armar conforme sugere Mesnager (figura 22). 
 
 
Fig.22 Articulação Mesnager 
 
 
B. Aparelhos de vinculação flexível 
 
Nestes casos a superestrutura é vinculada elasticamente à mesoestrutura, em todas as 
direções, até na vertical. Essa flexibilidade de corre do fato desses aparelhos serem feitos de 
borracha. 
A utilização da borracha cria, conforme dito, uma ligação flexível, por outro lado, gera 
também um problema delicado, o da durabilidade. Foi preciso encontrar uma borracha que 
apresentasse durabilidade compatível com as obras civis, algo em torno de 50 anos. 
Como é difícil garantir essa durabilidade, bastante variável com a agressividade do 
meio, a qualidade da fabricação e, sobretudo hoje em dia, a qualidade da montagem, é preciso 
prever a troca desses aparelhos. Com isso, devem ser previstos nichos entre meso e super, 
onde possam ser colocados macacos capazes de aliviar os aparelhos existentes, permitindo a 
sua substituição. 
A borracha especial utilizada na fabricação desses aparelhos é um elastômero, mais 
precisamente o policloroprene, um polímero sintético. O nome neoprene normalmente usado 
no lugar de elastômero é o nome dado pela DuPont ao policloroprene que ela fabrica. 
Esse material tem basicamente as seguintes propriedades: 
2
2
2
m120
m 10
5,0
m 30
kgffc
kgfG
kgfE
≥
≅
≅
≅
ν
 
O elastômero é bastante flexível, apresentando grandes deformações e deslocamentos 
mesmo para as cargas de serviço. Não valem, portanto a Teoria da Elasticidade e a 
Resistência dos Materiais para esse material! 
A fretagem foi criada para melhorar a resistência e rigidez desses aparelhos. De fato: 
numa placa de elastômero não fretada as deformações transversais provocadas por efeito de 
Poisson são quase livres, permitindo grandes abatimentos ∆t. Mesmo reduzindo o atrito com 
os pratos da prensa, há um aumento pequeno na rigidez e na resistência em relação às placas 
não fretadas (figura 23, item a). 
 
Fig.23 Detalhe dos aparelhos com e sem Fretagem 
As chapas de fretagem inibem muito as deformações transversais, reduzindo bastante 
∆h, isto é, aumentam muito a rigidez e a resistência dos aparelhos fretados (figura 23, item b). 
Para isso, é preciso dispor de uma boa ligação aço x elastômero decorrente de atrito mais 
adesão (obtida na fabricação, por ocasião da vulcanização). 
Esses aparelhos fretados apresentam rigidez e resistência bastante variáveis com a 
geometria do aparelho e com as chapas de fretagem, da ordem de: 
Módulo de elasticidade: 2m 5000 2000 kgfaE f ≅ 
Resistência à compressão fretada: 2m 008 600 kgfaf cf ≅ 
A tensão admissível nesses aparelhos é da ordem de 150 kgf/m². 
Num ensaio desses aparelhos em laboratório é obtida a seguinte curva tensão x 
deformação. 
 
Fig.24 Curva tensão deformação 
O valor ε0 é da ordem de 0,03. 
hn é a altura total de elastômero. 
A é a área da seção transversal à direção do carregamento. 
 
Como se pode observar, a fretagem só começa a trabalhar a partir de uma deformação 
considerável. De forma simples, o aparelho pode ser admitido infinitamente flexível para 
00 εε ≤≤ e fretado a partir desse valor. 
 
� Comportamento dos aparelhos de elastômero fretado 
(Observado experimentalmente, já que não vale a Teoria da Elasticidade) 
a) Sob carga vertical 
 
Fig.25 Comportamento dos aparelhos de elastomêro fretado 
Devido à placa de elastômero estar submetida à compressão tridimensional (figura 
25), há aumento de rigidez e resistência. 
Os diagramas de s e t da placa de elastômero na região de contato com a placa de aço 
está indicada na figura 25. 
 
b) Sob momento 
 
c) Sob carga horizontal 
 
 
O projeto desses aparelhos exige uma série de verificações que são: 
i. Verificação da ligação aço x elastômero (limita V, H, M); 
ii. Verificação do escorregamento (limita H); 
iii. Verificação do bordo menos comprimido (limita relação M/V); 
iv. Verificação da estabilidade (limita altura/largura); 
v. Verificação das espessuras de aço (define a espessura da chapa). 
 
Ver publicação do IPT sobre o projeto dos aparelhos de elastômero fretado. 
 
A execução de obras com aparelhos desse tipo requer alguns cuidados especiais: 
i. Ensaio para verificação da qualidade de fabricação; 
ii. Cuidado na instalação de forma a não impor ao aparelho deformações imprevistas. 
Superfícies não planas ou não paralelas podem romper o aparelho mesmo que só 
sob carga permanente; 
iii. Prever a troca dos aparelhos. 
 
3.5.2. Concepção da vinculação 
 
A. Aparelhos de vinculação rígida 
 
Exatamente por causa da rigidez da vinculação promovida por esses aparelhos é 
preciso ter cuidado para não impedir deformações inevitáveis como as decorrentes de 
temperatura, retração e deformações imediatas e progressivas devido à protensão. 
Assim, para uma obra contínua com 4 apoios teríamos: 
BA
Articulação fixa
Articulação multidirecional
Articulação móvel unidirecional
 
Fig.26 Vinculação 
 
Note-se que tanto no sentido do comprimento quanto da largura não se deve fixar mais 
que um ponto numa dada direção. Note-se também que quase todo o esforço longitudinal 
aplicado à obra vai para o apoio A (não é todo o esforço por causa do atrito mobilizado nos 
outros apoios). 
 
� Modelo de cálculo para esforços horizontais 
 
 
B. Aparelhos de vinculação flexível 
Neste caso, como podemos dosar a rigidez dos aparelhos através das suas geometrias, 
podemos direcionar os esforços aos apoios e na proporção que se deseja. 
A liberdade de concepção ao utilizar aparelhos de apoio flexíveis é muito maior! 
Considere a obra contínua sobre 4 apoios da figura 27. 
 
Fig.27 Obra sobre 4 apoios 
 
Como os pilares dessa obra são altos em B e C, é conveniente reduzir ao máximo os 
esforços horizontais nesses apoios. Isso é possível prevendo para B e C aparelhos 
suficientemente flexíveis em relação a A e D. 
A escolha dos aparelhos A e D deve ainda levar em conta outro aspecto. Esses 
aparelhos devem ser suficientemente flexíveis para que as deformações decorrentes de 
temperatura, retração e protensão não gerem esforços exagerados nos encontros A e D. 
É após definir esses aparelhos de apoio A e D que se devem definir aqueles para B e 
C, tal que tais apoios resultem mais flexíveis que A e D. 
 
3.5.3. Comentários 
 
i. Os aparelhos de apoio mais econômicos e, portanto, os mais usados são os de 
elastômero fretado e as articulações Freyssinet; 
ii. Os aparelhos mais caros e sofisticados como os metálicos e os de panela são 
normalmente usados para cargas importantes; 
iii. A troca de aparelhos de apoio deve ser prevista para todos casos com exceção do 
Freyssinet. Elas são especialmente necessárias no caso dos elastômeros fretados 
que são os menos duráveis; 
iv. Qualquer que seja o tipo de aparelho de apoio, as cargas são por eles suportadas 
são transmitidas aos pilares ou encontros em regiões reduzidas, o que exige a 
verificação do efeito de bloco parcialmente carregado e a previsão de uma 
armadura de fretagem. 
 
3.6. Cálculo da meso e infraestrutura 
 
No caso das pontes em arco ou pórtico, ou mesmo daquelas suportadas por cabos, o 
cálculo não pode em geral, ser dividido em dois: super de um lado, meso e infra de outro. 
Nesse caso a estrutura deve ser calculada como um todo. 
Nas pontes em viga, que constituem a grande maioria das obras executadas, isso é 
usualmente feito, o que simplifica bastante o projeto. 
A super é assimilada a uma continua articulada nos apoios através dos aparelhos de 
apoio. Essas articulações são admitidas móveis com exceção de uma, ou seja, é assumida uma 
vinculação isostática (na direção horizontal). 
Essemodelo é usado para os efeitos das cargas verticais (permanentes – g1 e g2 e 
variáveis – q e Q) na super e as reações de apoio delas decorrentes. 
Para o efeito das cargas horizontais esse modelo não serve, devendo ser substituído. 
Admite-se usualmente, para esse caso, que a super seja representada por um bloco rígido 
sobre apoios elásticos correspondentes a cada um dos conjuntos de apoio (fundação, pilar e 
aparelho de apoio). 
 
Fig.28 
 
1. Modelo de viga contínua para o cálculo dos esforços devido às cargas verticais na super 
(esforços solicitantes e reações de apoio). 
 
 
 
2. Modelo de bloco rígido sem apoios elásticos para o cálculo dos efeitos das cargas 
horizontais. 
 
 
3. Modelo de conjunto de apoio isolado (aparelho de apoio, pilar e fundação) sob cargas 
provenientes da super. 
 
Fig.29 Modelo conjunto de apoio pilar isolado 
� Cargas verticais 
 
V, Mt (= V.e) 
Mt é o momento decorrente da excentricidade transversal de V 
 
� Cargas verticais 
 
Hl - Longitudinal 
Ht - Transversal 
 
No dimensionamento da meso e infra, as seguintes combinações de esforços devem 
ser consideradas: 
 
( )
( )
( )tesconcomitan , , ,
tesconcomitan , , ,
tesconcomitan , , ,
 , tlmáxt
tltmín
tltmáx
HHVM
HHMV
HHMV
 
 
Notas: 
i. As deformações impostas no cálculo longitudinal são as que decorrem de 
temperatura, retração e protensão (deformação imediata e lenta); 
ii. kap é a rigidez do aparelho de apoio, kenc é a rigidez do encontro e k1l é a rigidez 
longitudinal do apoio 1; 
iii. Observe que para as cargas verticais que solicitam especialmente a super à flexão, 
esta deve ser considerada deformável para se obter uma solução aceitável (modelo 
de viga contínua). Ao contrário, para as cargas horizontais que solicitam 
especialmente meso e infra à flexão, a super pode ser considerada como rígida → 
modelo de bloco rígido. Para efeito das cargas transversais em obras longas é 
preciso cuidado. A deformabilidade do tabuleiro à flexão horizontal pode não ser 
desprezível; 
iv. O modelo de bloco rígido sobre apoios elásticos já aparecem algumas vezes: bloco 
de fundações sobre estacas e modelo Courbon/Engesser para solução de grelhas. 
3.6.1. Rigidez do conjunto meso-infra 
Para calcular esses modelos de bloco rígido sobre apoios elásticos é preciso calcular as 
rigidezes desses apoios. 
 
Fig.30 
 
Por definição rigidez é o esforço que provoca deslocamento unitário. Assim, como a 
força F provoca o deslocamento δ, a rigidez k do apoio é dada por F/δ. 
 
� Rigidez do neoprene 
 
Fig.31 Neoprene 
nnkF δ⋅= 
kn é a rigidez do neoprene 
 
Neoprene: 
nn
n
n
n
h
GAF
k
hGA
F
G
tg
⋅
==∴≅
⋅
==
δ
δτ
γ 
 
Neoprene + Teflon (despreza-se o atrito no teflon): 
000 =∴=∴≠ kFδ 
 
Fixo (articulação fixa qualquer): 
∞→∴≠∴= kF 00δ 
 
� Rigidez do pilar 
3
3 3
3 h
IEF
k
IE
hF
p
pp
⋅⋅
==⇒
⋅⋅
⋅
=
δ
δ (seção constante) 
 
� Rigidez da fundação 
 
Fundação direta: 
 
Hipóteses: 
� A sapata é rígida e indeslocável; 
� O solo tem resposta linear que satisfaz à hipótese de Winckler, isto é: 
 
( )
( )




=
=
=
⋅=
3
2
/ solo do reação de ecoeficientk
todeslocameny
/ 
 
mtf
mtfpressãop
ykp 
 
 
 Fig.32 
xθkykp ⋅⋅=⋅= 
sap
a
a
a
a
a
a
IkdxxbkdxxbkdxxbphFM ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅= ∫∫∫
−−−
θθθ 22 
sapIk
M
k ⋅==
θ
θ (rigidez a rotação da sapata) 
f
f
F
k
δ
= (rigidez da sapata em relação ao deslocamento do topo do pilar) 
22
 
h
Ik
h
Ik
k
h
Ik
F
h
sapsap
fsap
f ⋅
=
⋅
⋅⋅
=





⋅⋅
=
⋅≅
θ
θ
θ
θδ
 
 
 
 
Fundação profunda: 
Aqui, não é mais possível admitir a fundação indeslocável, é preciso compor os efeitos 
de δ e θ ao nível da fundação para se obter o δf no topo do pilar. 
Adote-se como exemplo um pilar sobre 2 tubulões. Os modelos de cálculo transversal 
e longitudinal seriam: 
 
Fig.33 Modelo de cálculo dos tubulões 
Considerando o pórtico longitudinal tem-se: 
 
Fig.34 
( ) hFMFMf ⋅+++= θθδδδ 
f
f
F
k
δ
= 
Note-se que aqui M e F estão acoplados, isto é, provocam ambos θ e δ. Assim: 
FF
MM
F
M
θδ
θδ
∴→
∴→
 
Matricialmente teríamos: 






⋅





=





δ
θ
δθδ
δθθ
kk
kk
F
M
 
Logo, não é possível substituir 1 tubulão ou uma estaca por 2 “molas” kθ e kδ (kθδ = 
kδθ ≠ 0). 
As estacas devem ser estudadas como vigas sobre apoio elástico para determinar os 3 
coeficientes kq, kd e kdq = kqd (simetria!). 
Viga sobre apoio elástico: 
EI
p
dx
yd
EI
M
dx
yd
=⇒−=
4
4
2
2
, (EI constante) 
 
 
y
k
σ
= 










≡ 3
2
m
tf
m
m
tf
 
k depende: do solo 





iaconsistênc
e oucompacidad
tipo
 
das dimensões b, l 
da direção { horizvert kk ≠ 
0 , =⋅⋅−=⋅⋅−= ppara bykbykpp 
0
4
4
=+ kyb
dx
yd
EI 
0=p , porque as estacas só recebem cargas externas no topo. 
 
Equação diferencial linear homogênea de 4ª ordem 
Solução geral: 
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]xsenDxCexsenBxAey xx ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= ⋅−⋅ ββββ ββ coscos 
4
4 IE
bk
⋅⋅
⋅
=β , 1/b é medido em m, representando o comprimento elástico. l ≥ 1,5/β 
equivale a l = 1,5/β, isto é, o comprimento além é inútil, não afetando o que ocorre no topo. 
 
Com 4 condições de contorno é possível definir y, exemplo: 
 
Fig.35 
 
EI
V
dx
yd
e
EI
M
dx
yd
lx
yeyx
−=−=⇒=
==⇒=
3
3
2
2
 
0' 00
 
 
A solução dessa equação para várias condições de extremidade encontra-se tabelada. 
Ver dissertação R. Teramoto (outros – Shenf, Whiften, Heteny,...). 
� Rigidez da fundação 
 
 Fig.36 Rigidez do conjunto 
hpf
conclusão
hpf
hpf
kkkkk
F
k
F
k
F
k
F
kF
1111
++=→++=⇒



⋅=
++=
δ
δδδδ
 
 
3.6.2. Distribuição longitudinal de esforços 
 
� Caso de força longitudinal 
Como a estrutura tem apenas 1 grau de liberdade δ tem-se que: 
 
∑
∑∑∑ =∴=⋅== n
j
n
j
n
jj
n
j
k
FkFkFF
1
111
δδ 
onde n é o numero de apoios. 
i
k
k
FkkF i
j
i
iiii ∀=∴=⋅=⋅=
∑
 ,δδδδ 
 
Fig.37 
Como não poderia deixar de ser, cada apoio i suporta uma parcela de F dada pela 
relação entre sua rigidez e a rigidez total (princípio da rigidez). 
 
� Caso de deformações impostas 
Consideremos os efeitos de temperatura, retração e protensão reunidos numa única 
variação de temperatura equivalente: 
ϕ=∆ eqt (temperatura, retração e protensão) 
A solução desse problema se obtém facilmente superpondo 2 soluções: uma em que se 
aplica ∆teq à super com extremidade fixa e outra em que se desenvolve à estrutura o esforço 
para fixar essa extremidade. 
De fato: 
a. Efeito ∆teq com δ01 = 0 
 
 
Fig.38 Efeito da variação de temperatura 
Do equilíbrio: ∑=
n
iFF
1
00 
 
b. Efeito da devolução de F0 à estrutura 
 
Fig.39 Efeito da devolução do F0 à estrutura 
∑
=∆
j
i
i
k
k
FF 0 
 
c. Superposição 








−∆⋅⋅=∆−=
∑ j
eqiiiii
k
F
tCkFFF 0
0 α 
Essa expressão vale inclusive para i = i, pois C1 = 0. 
 
� Caso de empuxo de terra 
Se o empuxo de terra se aplicar diretamente à super, vale a mesma solução de força 
longitudinal. Se se aplica ao encontro é preciso rever aquela solução: 
 
 
Fig.40 Caso do empuxo de terra 
∑
+
=
n
i
ap
eq
k
k
k
2
11
1
 
eqenc
enc
tenc
kk
k
EF
+
= 
encter FEF −=sup 
 
A força Fsuper vai para a super, mas deve ser distribuída apenas entre os apoios 2 a n. 
 
� Distribuição de esforços transversais 
Quando for possível admitir a super rígida o problema é idêntico ao de Coubon-
Engesser. 
Quando isso não for possível é necessário calcular uma viga contínua sobre apoios 
elásticos. Nesse caso super e meso-infra seriam deformáveis. 
Quando a super é muito flexível, é possível calcular os esforços transversais nos 
apoios por área de influência. 
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
ESCOLA POLITÉCNICA 
Departamento de Estruturas e Fundações 
 
 
 
 
 
PEF-2404 
Pontes e Grandes Estruturas 
Projeto de Super. em Con. ProtendidoProf. Fernando Rebouças Stucchi 
Prof. Kalil José Skaf 
 
 
 
São Paulo 
2006
SUMÁRIO 
 
1. SISTEMA ESTRUTURAL ............................................................................... 3 
2. PROPRIEDADES FISÍCAS E CARACTERÍSTICAS GEOMETRICAS 
DAS VIGAS ................................................................................................................ 4 
3. APLICAÇÃO DO PROCESSO DE FAUCHART .......................................... 5 
4. DETERMINAÇÃO DAS CARGAS ................................................................. 6 
4.1. CARGA PERMANENTE ............................................................................ 6 
4.2. CARGA VARIÁVEL .................................................................................. 6 
5. COEFICIENTES DE PONDERAÇÃO DAS AÇÕES ................................. 10 
6. ENVOLTÓRIA DE MOMENTOS (Viga 1) .................................................. 10 
7. ENVOLTÓRIA DE ESFORÇOS CORTANTES (Viga 1) ........................... 12 
8. ENVOLTÓRIA DE MOMENTO TORSOR (Viga 1) .................................. 13 
9. ESTIMATIVA DA PROTENSÃO NECESSÁRIA ...................................... 14 
10. TRAÇADO DOS CABOS ............................................................................... 15 
11. PERDAS DE PROTENSÃO NA SEÇÃO DO MEIO DO VÃO .................. 15 
11.1. PERDAS POR ATRITO E ENCUNHAMENTO .................................. 15 
11.2. PERDAS POR ENCURTAMENTO ELÁSTICO DO CONCRETO .... 18 
11.3. PERDAS PROGRESSIVAS .................................................................. 19 
12. ESTADO LIMITE ÚLTIMO NO ATO DA PROTENSÃO ........................ 24 
13. VERIFICAÇÃO DAS TENSÕES EM SERVIÇO ........................................ 25 
14. ESTADO LIMITE ÚLTIMO .......................................................................... 26 
14.1. SEGURANÇA À FLEXÃO SIMPLES ................................................. 26 
14.2. SEGURANÇA ÀS SOLICITAÇÕES TANGENCIAIS ........................ 29 
 
 
 
 
 
3
1. SISTEMA ESTRUTURAL 
 
25025060
50
250250
2%
250
V5
2%
250
V6
Laje total = 20 cm
Pré laje = 7 cm
50760760
60
1620
V7V1 V2 V3 V4
 
Corte transversal no meio do vão 
 
 
Corte longitudinal 
 
(medidas em cm) 
 
 
4
2. PROPRIEDADES FISÍCAS E CARACTERÍSTICAS GEOMETRICAS 
DAS VIGAS 
 
MPafck 35= 
MPaEci 33130355600 == 
MPaEE cics 5,2816085,0 == 
MPaEG cs 21126440 �� == 
MPaff ckmct 3,2 3,0 3 2
, =⋅= 
MPaff mctctk 25,27,0 ,inf, == 
inf,, ctkfctk ff ⋅= α 
T Duplo 2,1 emSeção∴=α 
MPaf fctk 7,225,22,1, =⋅= 
Aço CP190 RB 
MPaf ptk 1900= 
MPaff ptkpyk 171019009,09,0 =⋅== 
MPaE p 200000= 
1,7
5,28160
200000
==pα 
 
250 (laje colaborante)
20
Viga pré-moldada
(meio do vão)
V1 V2 a V6
185 (laje colaborante)
20
 
Seções no meio do vão após o endurecimento do concreto da laje. 
 
8
20
0
70
 VIGA PREMOLDADA 
20
25
13
5
120
12
(apoio) 30
(vão) 20
 
 
5
Viga Extrema (V1 e V7) 
(meio do vão) 
 
4
3
3
4
2
 0103,0
 452,0
 747,0
 500,0
 825,0
 37,1
 83,0
 685,0
 105,1
mI
mk
mk
mW
mW
my
my
mI
mA
t
i
s
i
s
i
s
=
=
=
=
=
=
=
=
=
 
Viga Interna (V2 a V6) 
(meio do vão) 
 
4
3
3
4
2
 0120,0
 417,0
 806,0
 515,0
 996,0
 45,1
 75,0
 747,0
 235,1
mI
mk
mk
mW
mW
my
my
mI
mA
t
i
s
i
s
i
s
=
=
=
=
=
=
=
=
=
 
Viga Premoldada 
(meio do vão) 
 
mk
mk
mW
mW
my
my
mI
mA
i
s
i
s
i
s
 5259,0
 5312,0
 3865,0
 3904,0
 005,1
 995,0
 3884,0
 735,0
3
3
4
2
=
=
=
=
=
=
=
=
 
 
3. APLICAÇÃO DO PROCESSO DE FAUCHART 
 
ttv GI
l
KEI
l
K
24






=∴





=
ππ
 
 
 Viga 1e 7 Vigas 2 a 6 
Mola vertical 812 kN/m 886 kN/m 
Mola a torção 753 kN.m/rd 877 kN.m/rd 
Barra tipo 1
Barra tipo 2
2
3 4 5
6
7 8 9 171615
14
131211 252423
22
212019
26
27
10 18
1
1620
Esquema transversal para a determinação dos esforços solicitantes nas vigas 
principais. 
 
2) tipo(barra 00066660 20
1) tipo(barra 002250 30
4
2
2
2
4
1
2
1
mImA
mImA
��
��
=∴=
=∴=
 
 
Linha de influência transversal da viga 1 
Ponto F(V1) Mt(V1) Ponto F(V1) Mt(V1) Ponto F(V1) Mt(V1) 
1 0,715 0,173 10 0,102 -0,044 19 -0,035 -0,018 
2 0,634 0,125 11 0,066 -0,045 20 -0,035 -0,014 
3 0,553 0,080 12 0,034 -0,045 21 -0,034 -0,010 
4 0,467 0,039 13 0,012 -0,042 22 -0,031 -0,007 
5 0,387 0,012 14 -0,003 -0,039 23 -0,028 -0,004 
6 0,318 -0,007 15 -0,016 -0,035 24 -0,025 -0,001 
7 0,253 -0,023 16 -0,026 -0,031 25 -0,022 0,002 
8 0,190 -0,036 17 -0,031 -0,026 26 -0,019 0,005 
9 0,140 -0,042 18 -0,034 -0,022 27 -0,015 0,008 
 
 
6
4. DETERMINAÇÃO DAS CARGAS 
 
4.1. CARGA PERMANENTE 
 
� Viga 1 e 7 
 
kN/m 38,1825735,00 =⋅=g (viga premoldada) 
kN/m 25,9252,085,11 =⋅⋅=g (laje) 
Guarda roda – 8,3 kN/m 
Pavimentação – γ = 24 kN/m³, espessura de 10 cm => 2,4 kN/m² 
Repavimentação – 2 kN/m² 
Cálculo de g2 considerando o efeito grelha (Guarda roda, pavimentação e 
repavimentação) 
4,4 kN/m²
8.3 kN/m 8.3 kN/m
2020
1620
 
( ) ( )
kN/m 75,12
63,124,2016,0688,03,8
2
2
=
⋅++−⋅=
g
g
 
(c/ engrossamento
23 m8 m 8 m
39 m
na alma)
40,38 kN/m
43,7 kN/m
 
Carga permanente 
 
4.2. CARGA VARIÁVEL 
 
Será utilizado o veiculo classe 45 com carga em cada roda de 75 kN e carga 
distribuída de 5 kN/m², exceto na projeção do veiculo. No entanto, de forma a 
simplificar os cálculos, será considerada a 
carga distribuída também na projeção do 
veiculo (trem tipo homogeneizado) e este 
acréscimo é subtraído da força pontual, ou 
seja, 
( )
kNQ 60
6
365
75 =
⋅⋅
−= 
 
7 
 
0 ,
71
5 0,
61
4
0,
35
8
A = 1,84
50
75 200 523
Q
q
Q
A = -0,21
50772
-0
,0
15
LINHA DE INFLUÊNCIA DA VIGA 1
 
 
 
8 
50
75 200
13
1169 163
0,
00
8
0,
1 7
3
0,
11
4
0,
00
4
A = 0,13
A = -0,31
LINHA DE INFLUÊNCIA DE TORÇÃO DA VIGA 1
q
 
 
 
 
9
� Viga 1 
 
Coeficiente de impacto: 
 
127,139007,04,1007,04,1 =⋅−=−= lϕ 
 
( ) kNQk 73,65358,0614,0127,160 =+⋅⋅=
+ 
m 37,1084,1127,15 kNqk =⋅⋅=
+ 
 
3 x 65,73 kN
10,37 kN/m
 
Trem tipo positivo 
 
kNQk 73,4035,02127,160 −=⋅⋅⋅=
− 
m 18,121,0127,15 kNqk −=−⋅⋅=
− 
 
3 x 4,73 kN
1,18 kN/m
 
Trem tipo negativo 
 
( ) mkNTk . 98,7004,0114,0127,160 =+⋅⋅=
+ 
m
. 73,013,0127,15 mkNtk =⋅⋅=
+ 
 
3 x 7,98 kN.m
0,73 kN.m/m
 
Trem tipo de torção positivo 
 
mkNTk . 09,6045,02127,160 −=−⋅⋅⋅=
− 
m
. 75,131,0127,15 mkNtk −=−⋅×=
+ 
 
3 x 6,09 kN.m
1,75 kN.m/m
 
Trem tipo de torção negativo
 
 
10
 
5. COEFICIENTES DE PONDERAÇÃO DAS AÇÕES 
 
 
Estado limite último: 
 
γg = 1,35 (desfavorável), γg = 
1,00 (favorável) e γq = 1,5 (pontes) 
kqqkggd
FFF
��
γγ += 
 
Estado limite de serviço: 
 
ψ1 = 0,5 e ψ2 = 0,3 (longarinas 
de ponte rodoviária) 
 
Combinação rara: 
 
kqkgCRd FFF ,,, += 
 
Combinação freqüente: 
 
kqkgCFd FFF ,1,, Ψ+= 
 
Combinação quase permanente: 
 
kqkgCQPd FFF ,2,, Ψ+= 
 
6. ENVOLTÓRIA DE MOMENTOS (Viga 1) 
 
Momentos fletores devido à carga permanente e variável. 
Seção X Mg0 Mg Mq, máx Mq, mín 
m kN.m kN.m kN.m kN.m 
0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 
1 1,95 709,43 1504,16 725,11 -67,85 
2 3,90 1336,35 2842,14 1372,33 -128,44 
3 5,85 1880,76 4013,96 1941,67 -181,78 
4 7,80 2342,65 5019,61 2433,13 -227,87 
5 9,75 2727,11 5864,18 2846,70 -266,70 
6 11,70 3041,62 6555,13 3182,39 -298,28 
7 13,65 3286,23 7092,54 3445,13 -322,96 
8 15,60 3460,96 7476,40 3639,84 -341,10 
9 17,55 3565,79 7706,72 3756,66 -351,98 
10 19,50 3600,74 7783,49 3795,60 -355,61 
11 21,45 3565,79 7706,72 3756,66 -351,98 
12 23,40 3460,96 7476,40 3639,84 -341,10 
13 25,35 3286,23 7092,54 3445,13 -322,96 
14 27,30 3041,62 6555,13 3182,39 -298,28 
15 29,25 2727,11 5864,18 2846,70 -266,70 
16 31,20 2342,65 5019,61 2433,13 -227,87 
17 33,15 1880,76 4013,96 1941,67 -181,78 
18 35,10 1336,35 2842,14 1372,33 -128,44 
19 37,05 709,43 1504,16 725,11 -67,85 
20 39,00 0,00 0,00 0,00 0,00 
 
 
 
11
Envoltória de momentos fletores para diversascombinações. 
 Combinações 
Seção 
ELU Rara Freqüente Quase Permanente 
Mmáx Mmín Mmáx Mmín Mmáx Mmín Mmáx Mmín 
0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 
1 3118,27 1402,38 2229,27 1436,31 1866,71 1470,23 1721,69 1483,80 
2 5895,39 2649,48 4214,48 2713,70 3528,31 2777,92 3253,84 2803,61 
3 8331,36 3741,29 5955,64 3832,18 4984,80 3923,07 4596,46 3959,43 
4 10426,17 4677,81 7452,74 4791,74 6236,18 4905,68 5749,55 4951,25 
5 12186,69 5464,12 8710,88 5597,47 7287,53 5730,82 6718,19 5784,16 
6 13623,01 6107,70 9737,52 6256,85 8146,32 6405,99 7509,85 6465,64 
7 14742,61 6608,09 10537,66 6769,57 8815,10 6931,05 8126,07 6995,65 
8 15552,89 6964,75 11116,23 7135,30 9296,32 7305,85 8568,35 7374,07 
9 16039,06 7178,75 11463,38 7354,74 9585,05 7530,73 8833,71 7601,12 
10 16201,11 7250,08 11579,09 7427,88 9681,29 7605,69 8922,17 7676,81 
11 16039,06 7178,75 11463,38 7354,74 9585,05 7530,73 8833,71 7601,12 
12 15552,89 6964,75 11116,23 7135,30 9296,32 7305,85 8568,35 7374,07 
13 14742,61 6608,09 10537,66 6769,57 8815,10 6931,05 8126,07 6995,65 
14 13623,01 6107,70 9737,52 6256,85 8146,32 6405,99 7509,85 6465,64 
15 12186,69 5464,12 8710,88 5597,47 7287,53 5730,82 6718,19 5784,16 
16 10426,17 4677,81 7452,74 4791,74 6236,18 4905,68 5749,55 4951,25 
17 8331,36 3741,29 5955,64 3832,18 4984,80 3923,07 4596,46 3959,43 
18 5895,39 2649,48 4214,48 2713,70 3528,31 2777,92 3253,84 2803,61 
19 3118,27 1402,38 2229,27 1436,31 1866,71 1470,23 1721,69 1483,80 
20 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 
 
Envoltória de momento (ELU)
-18000,00
-16000,00
-14000,00
-12000,00
-10000,00
-8000,00
-6000,00
-4000,00
-2000,00
0,00
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Seção
M
o
m
en
to
s
Mmáx - ELU
Mmin - ELU
 
 
 
12
7. ENVOLTÓRIA DE ESFORÇOS CORTANTES (Viga 1) 
 
Envoltória de esforço cortante. 
 Combinações 
Seção 
Momentos Característicos(kN) ELU Freqüente 
Vg Vqmáx Vqmín Vmáx Vmín Vmáx Vmín 
0 813,97 391,82 -36,65 1686,59 758,99 1009,88 795,64 
1 728,76 362,30 -34,21 1527,27 677,44 909,91 711,65 
2 643,54 333,91 -32,89 1369,65 594,21 810,50 627,10 
3 558,33 306,65 -43,17 1213,71 493,57 711,65 536,74 
4 473,11 280,51 -54,67 1059,46 391,11 613,36 445,78 
5 393,71 255,49 -67,29 914,74 292,76 521,45 360,06 
6 314,96 231,61 -81,05 772,61 193,39 430,77 274,44 
7 236,22 208,84 -95,93 632,17 92,34 340,64 188,26 
8 157,48 187,21 -111,93 493,41 -10,41 251,09 101,52 
9 78,74 166,70 -129,06 356,35 -114,85 162,09 14,21 
10 0,00 147,32 -147,32 220,98 -220,98 73,66 -73,66 
11 -78,74 129,06 -166,70 114,85 -356,35 -14,21 -162,09 
12 -157,48 111,93 -187,21 10,41 -493,41 -101,52 -251,09 
13 -236,22 95,93 -208,84 -92,34 -632,17 -188,26 -340,64 
14 -314,96 81,05 -231,61 -193,39 -772,61 -274,44 -430,77 
15 -393,71 67,29 -255,49 -292,76 -914,74 -360,06 -521,45 
16 -473,11 54,67 -280,51 -391,11 -1059,46 -445,78 -613,36 
17 -558,33 43,17 -306,65 -493,57 -1213,71 -536,74 -711,65 
18 -643,54 32,89 -333,91 -594,21 -1369,65 -627,10 -810,50 
19 -728,76 34,21 -362,30 -677,44 -1527,27 -711,65 -909,91 
20 -813,97 36,65 -391,82 -758,99 -1686,59 -795,64 -1009,88 
 
Envoltória de cortante (ELU)
-2000,00
-1500,00
-1000,00
-500,00
0,00
500,00
1000,00
1500,00
2000,00
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Seção
V
 (
kN
)
Vmax
Vmin
 
 
 
13
8. ENVOLTÓRIA DE MOMENTO TORSOR (Viga 1) 
 
Envoltória de momento torsor. 
 Combinações 
Seção X Tg Tq, máx Tq, mín Limite Última Freqüente 
m kN.m kN.m kN.m Tmáx Tmín Tmáx Tmín 
0 0,00 11,12 37,25 -51,69 70,89 -66,42 29,74 -14,73 
1 1,95 10,00 34,75 -47,49 65,64 -61,23 27,38 -13,74 
2 3,90 8,89 32,50 -43,52 60,75 -56,39 25,14 -12,87 
3 5,85 7,78 30,48 -39,80 56,22 -51,92 23,02 -12,12 
4 7,80 6,67 28,71 -36,32 52,06 -47,82 21,02 -11,49 
5 9,75 5,56 27,17 -33,08 48,26 -44,07 19,14 -10,98 
6 11,70 4,45 25,88 -30,09 44,83 -40,69 17,39 -10,60 
7 13,65 3,33 24,83 -27,33 41,75 -37,67 15,75 -10,33 
8 15,60 2,22 24,03 -24,82 39,04 -35,01 14,24 -10,19 
9 17,55 1,11 23,46 -23,06 36,69 -33,47 12,84 -10,42 
10 19,50 0,00 23,14 -23,14 34,71 -34,71 11,57 -11,57 
11 21,45 -1,11 23,06 -23,46 33,47 -36,69 10,42 -12,84 
12 23,40 -2,22 24,82 -24,03 35,01 -39,04 10,19 -14,24 
13 25,35 -3,33 27,33 -24,83 37,67 -41,75 10,33 -15,75 
14 27,30 -4,45 30,09 -25,88 40,69 -44,83 10,60 -17,39 
15 29,25 -5,56 33,08 -27,17 44,07 -48,26 10,98 -19,14 
16 31,20 -6,67 36,32 -28,71 47,82 -52,06 11,49 -21,02 
17 33,15 -7,78 39,80 -30,48 51,92 -56,22 12,12 -23,02 
18 35,10 -8,89 43,52 -32,50 56,39 -60,75 12,87 -25,14 
19 37,05 -10,00 47,49 -34,75 61,23 -65,64 13,74 -27,38 
20 39,00 -11,12 51,69 -37,25 66,42 -70,89 14,73 -29,74 
 
ENVOLTÓRIA DE MOMENTO TORSOR (ELU)
-80,00
-60,00
-40,00
-20,00
0,00
20,00
40,00
60,00
80,00
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Seção
T
 (
kN
.m
)
Tmax (ELU)
Tmin (ELU)
 
 
 
14
9. ESTIMATIVA DA PROTENSÃO NECESSÁRIA 
 
� Protensão limitada, que deve atender as seguintes condições: 
 
Para a combinação quase permanente das ações, é respeitado o estado limite 
de descompressão (ELS-D), ou seja, estado no qual em um ou mais pontos da seção 
transversal a tensão normal é nula, não havendo tração no restante da mesma. 
 
( )
kN
ek
M
P
i
CQP 5336
15,037,1452,0
17,8922
=
−+
=
+
≥∞ 
 
Para a combinação freqüente das ações, é respeitado o estado limite de 
formação de fissura (ELS-F), ou seja, estado em que se inicia a formação de fissura. 
Admite-se que este estado é atingido quando a tensão normal de tração máxima é 
igual fct,f. 
 
( )
kN
ek
fWM
P
i
fctiCF 4983
15,037,1452,0
500,0270029,9681,
=
−+
⋅−
=
+
⋅−
≥∞ 
 
Adotando de 12,5 mm e considerando-se perdas de protensão de 25% (10% 
imediatas e 15% progressivas), podemos calcular a força útil de cada cordoalha. 
 
tracionada-pós Armadura740 ⇒=
ptkpi
f�σ 
kNAP ppii 8,1387,989,174,05,12,5,12, =⋅⋅== φφ σ 
kNPP iútil 1048,13875,075,0 5,12, =⋅== φ 
 
Com isso, podemos calcular a quantidade de cordoalhas necessárias: 
 
51
104
5336
==n , serão utilizados 5 cabos de 10φ12,5 mm. 
 
 
15
10. TRAÇADO DOS CABOS 
 
 
11. PERDAS DE PROTENSÃO NA SEÇÃO DO MEIO DO VÃO 
 
11.1. PERDAS POR ATRITO E ENCUNHAMENTO 
 
Dados: 
 
20�=µ coeficiente de atrito 
0020�=k coeficiente de perda por metro devido às curvaturas não 
intencionais do cabo. 
 
∆x
tg
 γ
=
 β
∆x
σB
σC
σA
A
B
1 2 ∆x∆x
C
A
B
1
C
2
 PERDAS POR ATRITO PERDAS POR ENCURTAMENTO
a
Ah
 
 
 
 
16
� Cabo 1 
 
Perdas por atrito 
( ) ( )kx
piex +Σ−= αµσσ 
 
18,0
18
59,1
222 ≅=
∆
∆
≅





∆
∆
=
x
y
x
y
arctgABα 
MPa
piA
 01406�== σσ 
( ) MPaeB 1,13091406 18002,0177,02,0 =⋅= ⋅+⋅−σ 
( )
MPaeC 8,13031406 20002,0177,02,0 =⋅= ⋅+⋅−σ 
 
Perdas por encunhamento 
 
� 1xa ∆≤ 
 
 MPa/m
x
BA 385
18
113091406
1
1
�
�
=
−
=
∆
−
=
σσ
β 
p
h
ppp E
A
dx
E
dxN
AE
=⋅=⋅= ∫∫ σδ
11
 
Para 
p
h
E
a
aAxa 1
2
1
2
1
β
δβ =⇒=⇒∆≤ 
)( 18 9,14
38,5
006,0200000
1
okmm
E
a
p
<=
⋅
=
⋅
=
β
δ
 
( )
ptC
AlP σ=2� 
( ) kNlP 85,1286
1000
7,98108,1303
2/ =
⋅⋅
= 
 
� Cabo 2 
 
Perdas por atrito 
 
MPa
A
 01406�=σ 
( ) MPaeB 7,13211406 15002,0159,02,0 =⋅= ⋅+⋅−σ 
( )
MPaeC 6,13081406 20002,0159,02,0 =⋅= ⋅+⋅−σ 
 
Perdas por encunhamento 
 
� 1xa ∆≤ 
 
)( 15 6,14
62,5
1200
okmma <== 
 
 
17
( ) kNlP 59,1291
1000
7,98106,1308
2/ =
⋅⋅
= 
 
 
� Cabo 3 
 
Perdas por atrito 
 
MPa
A
 01406�=σ 
( ) MPaeB 5,13311406 12002,0152,02,0 =⋅= ⋅+⋅−σ 
( )
MPaeC 4,13101406 20002,0152,02,0 =⋅= ⋅+⋅−σ 
 
Perdas por encunhamento 
 
� 1xa ∆≤ 
 
) ( 12 9,13
21,6
1200
oknãomma >== 
 
� 21
lax ≤<∆ 
 
( ) ( )
)( 20 1,16
63,2
63,221,6121200 2
2
21
2
1
okmm
xE
a
p
<=
−−
=
−∆−⋅
=
β
ββδ
 
( ) kNlP 36,1293
1000
7,98104,1310
2/ =
⋅⋅
= 
 
� Cabo 4 
 
Perdas por atrito 
 
MPa
A
 01406�=σ 
( ) MPaeB 3,13501406 10002,0102,02,0 =⋅= ⋅+⋅−σ 
( )
MPaeC 5,13231406 20002,0102,02,0 =⋅= ⋅+⋅−σ 
 
Perdas por encunhamento 
 
� 1xa ∆≤ 
 
) ( 10 7,14
57,5
1200
oknãomma >== 
 
� 21
lax ≤<∆ 
 
 
 
18
( )
)( 20 4,18
68,268,257,5101200 2
okmma <=
−−
= 
( ) kNlP 29,1306
1000
7,98105,1323
2/ =
⋅⋅
= 
 
� Cabo 5 
 
Perdas por atrito 
 
MPa
A
 01406�=σ 
( ) MPaeB 1,13791406 6002,00367,02,0 =⋅= ⋅+⋅−σ 
( )
MPaeC 0,13411406 20002,00367,02,0 =⋅= ⋅+⋅−σ 
 
Perdas por encunhamento 
 
� 21
lax ≤<∆ 
 
( )
) ( 20 4,20
72,2
72,248,461200 2
oknãomma >=
−−
= 
 
� ?2 =∆⇒= p
la σ 
 
( )
21
2
22212
2
11 2
 20
xx
xxxxE
ma
p
∆+∆
∆+∆∆+∆−
=∆∴=
βββδ
σ 
( )
MPa 4,2
20
1472,214672,22648,41200 22
=
⋅+⋅⋅⋅+×−
=∆σ 
( ) ( ) pC
AlP σσ ∆−=2� 
( ) ( )
kNlP 20,1321
1000
7,98104,20,1341
2/ =
⋅⋅−
= 
 
� Protensão total após perdas por atrito e encunhamento 
 
( ) kNlP 29,64992/ =∑ (6,4% de perda) 
 
11.2. PERDAS POR ENCURTAMENTO ELÁSTICO DO CONCRETO 
 
( )
n
n
cpgpp 2
1−
+=∆ σσασ 
 
MPae
I
M g
g 88,7
1000
85,0
685,0
74,36000
−=×−==σ 
 
 
19
MPae
I
P
A
P encatencat
cp 93,20
3884,0
85,0
735,0
1
1000
29,6499 2
2 =





+⋅=+= ++σ 
( ) MPap 53,31
10
15
88,793,2004,6 =
−
−⋅=∆σ 
kNP 69,63431000/7,9810553,3129,64990 =⋅⋅⋅−= 
 
Perdas imediatas no meio do vão: 
 
%6,8100
6940
69,6343
11001 =×





−=×





Σ
Σ
− +
i
encat
P
P
 
 
11.3. PERDAS PROGRESSIVAS 
 
( ) ( )
( )
pp
pgpcppcs
p t
tEt
ηρα
ϕ
χ
χσϕσαε
σ





 ∞
+++
−∞+∞
=∆
∞
∞
2
11 0
0000
�
��
� 
 
( )∞∞ −−= ψχ 1ln 
c
c
I
A
e
21+=η 
c
p
p A
A
=ρ 
28ci
p
p E
E
=α 
 
gpc 0,σ é a tensão no concreto adjacente ao cabo resultante, provocada pela 
protensão e pela carga permanente mobilizada no instante t0; 
( )0, t∞ϕ é o coeficiente de fluência do concreto; 
∞χ é o coeficiente de fluência do aço; 
 
Relaxação do aço 
 
10005,2 ψψ =∞ 
 
��� 3160
1000
=⇒ ψ
ptk
f 
��� 5270
1000
=⇒ ψ
ptk
f 
68,0
19007,98105
6343690
0
=
⋅⋅⋅
=
∑
ptk
p
f
nA
P
 
 
Por interpolação linear temos: 
 
%26,2
1,0
08,02,1
3,11000 =
⋅
+=ψ 
 
 
20
 
%65,526,25,2 =×=∞ψ 
( ) %6,5056,00565,01ln ==−−=∞χ 
 
Retração do concreto 
 
( ) ( )[ ]00 1, tt scscs βεε −=∞ ∞ 
 
Onde: 
 
fic
fic
cs
h
hUU
3208,0
233,0
1590484
16,610
2
4
+
+






+−−= −
∞ε 
( )
E
t
D
t
C
t
t
B
t
A
t
ts
+





+





+











+





+





=
100100100
100100100
23
23
β 
40=A 
8,4220282116 23 −+−= hhhB 
7,408,85,2 3 +−= hhC 
8,649658575 23 −++−= hhhD 
8,03958488169 234 +−++−= hhhhE 
h é a espessura fictícia da seção transversal 
t é a idade fictícia do concreto 
 
Considerando os seguintes dados: 
 
Umidade relativa do ar (U) de 75% 
Abatimento entre 5 cm e 9 cm 
Perímetro da seção transversal em contato com o ar (uar) é 5,8 m 
Temperatura ambiente média = 20° 
Cimento portland CP I 
Protensão aos 10 dias após a concretagem 
 
A espessura fictícia é dada por: 
 
ar
c
fic u
A
h
2
γ= 
 
Onde: 
 
 
 
21
( ) ���� 90 1 1087 ≤+= +− Uparae Uγ 
Logo 
 
mh fic 66,0
8,5
105,12
74,1 =
⋅
⋅= 
 
A idade fictícia do concreto é dada por: 
 
∑ ∆
+
=
i
ief
i t
T
t
�30
10
α 
Onde: 
 
α é o coeficiente dependente da velocidade de endurecimento do cimento, e 
podem ser empregados os valores da tabela a seguir. 
Ti é a temperatura média diária do ambiente, em graus Celsius. 
∆tef, i é o período, em dias, durante o qual a temperatura média do ambiente, 
Ti, pode ser admitida constante. 
 
Valores de α para o cálculo da idade fictícia. (NBR6118) 
Cimento portland (CP) 
α 
Fluência Retração 
De endurecimento lento (CP III e CP IV, todas as classes de resistência) 1 
1 De endurecimento normal (CP I e CP II, todas as classes de resistência) 2 
De endurecimento rápido (CP V-ARI) 3 
 
Logo, a idade fictícia do concreto para os cálculos da retração é igual a: 
 
diast 1010
30
1020
10 =
+
⋅= 
 
Com isso podemos calcular a deformação por retração do concreto: 
 
( ) 02,0
7,2221,08,5531,06,351,0
1,09,501,0401,0
10
23
23
=
+⋅+⋅+
⋅+⋅+
=sβ 
4
2
4 1009,2
66,03208,0
66,0233,0
1590
75
484
75
16,610 −−
∞ ×−=
⋅+
⋅+






+−−=csε 
 
 
22
( ) [ ] 44
0 1005,202,011009,2, −− ×−=−⋅−=∞ tcsε 
Coeficiente de fluência do concreto 
 
dfa ϕϕϕϕ ++= 
 
Onde: 
 
( )
( )




−=
∞tf
tf
c
c
a
0180�ϕ , é o coeficiente de deformação rápida. 
( ) ( )[ ]
00
1 tt
fff
βϕϕ −=∞
∞
� , é o coeficiente de deformação lenta 
irreversível. 
( )
fic
fic
f h
h
U
+
+
−=
∞ 200
420
0350454
�
�
��ϕ 
( )
DCtt
BAtt
t
f ++
++
=
2
2
β 
11358835042 23 ++−= hhhA 
2332343060768 23 −+−= hhhB 
183109013200 23 +++−= hhhC 
193135343319167579 23 ++−= hhhD 
∞d
ϕ , é o coeficiente de deformação lenta reversível. 
40�=
∞d
ϕ 
t é a idade fictícia do concreto 
h é a espessura fictícia da seção transversal 
 
A idade fictícia do concreto para os cálculos da fluência é igual a: 
 
diast 2010
30
1020
20 =
+
⋅= 
 
A relação entre a resistência na idade t0 e fc(t∞) pode ser calculada através da 
expressão abaixo: 
 
 
 
23
( )ts
ck
ckj
e
f
f
281 −= (NBR6118) 
onde: 
 
s = 0,38 para concreto de cimento CP III e IV; 
s = 0,25 para concreto de cimento CP I e II; 
s = 0,38 para concreto de cimento CP V-ARI; 
t é a idade efetiva do concreto em dias; 
 
Para calcular a relação desejada, basta considerar j no momento da protensão 
e j → ∞ e dividir os valores, ou seja: 
 
( )
( )
( )
( )
( )
s
s
ck
ck
ck
ck
ck
ck
e
e
f
jf
f
jf
jf
jf 10
281
10
10 −
=
∞→
=
=
∞→
=
 
( )
( )
( )
660
10
250
250
10
281250
��
�
�
==
∞→
=
⇒=
−
e
e
jf
jf
s
ck
ck 
 
Com isso podemos calcular o coeficiente de fluência do concreto: 
 
[ ] 270660180 ��� =−=aϕ 
( ) 29,2
66,020,0
66,042,0
75035,045,4 =
+
+
⋅−=∞fϕ 
( ) 278,0
70,135332056,85020
30,9992069,36020
20
2
2
=
+⋅+
+⋅+
=fβ 
( ) [ ] 6512780129220 ���� =−=∞
f
ϕ 
40�=
∞d
ϕ 
32240651270 ���� =++=++=
dfa ϕϕϕϕ 
 
Cálculo da perda progressiva 
 
%6,5=∞χ 
 
 
24
4,3
685,0
105,1
22,11 2 =+=η 
3
6
1047,4105,1
107,98105 −
−
×=⋅⋅⋅=pρ 
04633130
200000
28
�===
ci
p
p E
E
α 
MPap 98,13160 =σ 
MPa
A
P
e
I
M
c
p
g
gpc 66,54,3
105,1
34369,6
22,1
685,0
78349,70
0, −=−=−= ησ 
MPap 11,179
1047,44,304,6
2
32,2
1056,01
056,098,131632,266,504,62005,2
3
=
⋅⋅⋅





+++
⋅+⋅⋅+⋅
=∆
−
σ 
Com isso, podemos calcular a protensão após as perdas: 
 
%07,19100
1406
11,17998,1316
11001 0
=×




 −
−=×







 ∆−
−
pi
pp
σ
σσ
 
 
(ok) 533639,5615 87,1137 kNPMPap >=⇒= ∞∞σ 
 
12. ESTADO LIMITE ÚLTIMO NO ATO DA PROTENSÃO 
 
A NBR6118:2003 permite uma verificação simplificada realizada no estádio 
I, para tanto é necessário que a tensão máxima de compressão, em modulo, não 
ultrapasse 70% de fckj e a tensão máxima de tração não deve ultrapassar 1,2 vezes a 
resistência à tração fctmj. 
Assumindo que a protensão foi realizada antes da concretagem da laje, temos: 
 
A resistência é dada por: 
 
MPaeffef ckj
j
ck
t
ckj 5,293510
28125,01028125,0
=⋅=⇒=




 −=



 −
 
MPaf
ctmj
 87252930 3 2 ��� == 
 
As tensões nas fibras extremas são: 
 
 
 
25
( )
( )[ ]
MPa
W
ekPM
s
s
sg
s
 77,3
103904,0
138,0005,15312,069,634374,3600
3
00
=
×
−−+
=
−+
=
∑
σ
σ
 
 
( )
( )[ ]
(ok) 65,205,297,0 5,13
 5,13
103865,0
138,0005,15260,069,634374,3600
3
00
MPaMPa
MPa
W
ekPM
i
i
i
ig
i
=×<=
−=
×
−+⋅−
−=
+−
−=
∑
σ
σ
σ
 
 
13. VERIFICAÇÃO DAS TENSÕES EM SERVIÇO 
 
Os cálculos realizados até o momento, assumiram que o concreto tem uma 
relação linear entre tensão e deformação. Segundo a NBR6118, isto é possível para 
tensões de compressão menores que 0,5fck. Com isso é necessário que para a 
combinação freqüente das ações (uma vez que a protensão é limitada) a máxima 
tensão de compressão, em modulo, seja menor que 17,5 MPa. 
 
( )
( )[ ]
(ok) 5,17355,0 43,8
10825,0
138,037,1747,039,561529,9681
3
MPaMPa
W
ekPM
s
s
s
sCF
s
=×<=
×
−−⋅+
=
−+
=∞
σ
σ
σ
 
 
As tensões de tração não precisam ser verificadas, pois a protensão após as 
perdas é maior que a mínima necessária calculada no item 9. 
Vale lembrar que as verificações das tensões são apenas para o meio do vão, 
sendo necessário efetuar tais verificações ao longo do comprimento da viga. 
 
 
26
14. ESTADO LIMITE ÚLTIMO 
 
14.1. SEGURANÇA À FLEXÃO SIMPLES 
 
� Capacidade resistente sem armadura 
passiva: 
 
p
p
fpré
E
∞
≅
σ
γε 
31012,5
200
87,1137
9,0 −⋅=≅préε 
 
Hipótese: O aço de protensão está escoando, logo 
 
kNfAR pydppd 13,7338
15,1
171
35,49 === 
Do equilíbrio de forças temos: 
 
kNAfRR ccdpdcd
 137338850 �� =⇒= 
 
Assumindo y < 20 cm temos: 
 
kNyRcd 13,7338185
4,1
5,3
85,0 == 
(ok) 20 7,18
1855,385,0
13,73384,1
<=
××
×
= cmy 
cm
y
x 25,23
8,0
6,18
8,0
=== 
2 Dominio0,2590,11
2,206
25,23
⇒<==
pd
x
 
(ok) escoando Aço%1excessivo oalongamentpor Ruptura"" ⇒=∆⇒ pε 
 
Com isso: 
( ) ( ) mkNxdRM pcdrd . 144492325,04,0062,213,73384,0 =×−=−= 
9
21
13
20
70
20
13
1515
C
G
 =
 1
3.
8
 
 
27
passiva armadura de Necessita11,16201 ⇒=< sdrd MM 
 
� Cálculo da armadura passiva (CA-50), considerando que o ponto de 
aplicação da força de compressão no concreto que o braço de alavanca z 
não se altera: 
 
mkNM . 17521444916201 =−=∆ 
 
( )
2
2
 7,19
5,437,185,0214
101752
cm
fz
M
A
yd
s =
⋅⋅−
⋅
=
⋅
∆
≅ 
 
� Cálculo da armadura passiva (CA-50), por interpolação de duas 
configurações de equilíbrio: 
 
Os cálculos desta seção serão realizados impondo o valor de x/d (0,1, 0,2... 
0,5). A partir daí, para cada valor adotado, calculam-se as deformações, as tensões e 
os esforços resistentes. Sendo que a armadura necessária é calculada por interpolação 
linear. O procedimento de cálculo é elaborado a seguir. 
 
� Adotando x/d = 0,1, temos: 
 
Para x/d < 0,259, domínio 2, ou seja, εs = 1%, com isso podemos calcular as 
deformações no concreto e no aço protendido da seguinte forma: 
cmycmx 121742180 42121410 ����� =×=⇒=×= 
xy
εc
εs
∆εp εpré
dpd
 
 
 
 
28
��
��
�
��
��
740
960
421214
4212206
101111 3
≅>∆+=
=
−
−
×=
−
−
=∆ −
pydpprép
p
p
xd
xd
εεεε
ε
 
 
Do equilíbrio de forças temos: 
simples) (flexão0 ⇒==−− NRRR
pdsdcd
 
2 97,13A035,49
15,1
171
5,4312,17185
4,1
5,3
85,0 cmA ss =⇒=×−−× 
kNRsd 69,6075,4397,13 −=×−= 
 
Do equilíbrio de momentos temos: 
( ) ( ) ( )
ssdsppdscdrd
ydRydRxyRM −+−+−= 40� 
( ) ( )
( ) mkN
M rd
. 54,1325483,014,269,607
83,0062,213,7338214,04,083,030,6730
=−⋅−
−⋅+×−⋅=
 
 
� Adotando x/d = 0,2, temos: 
 
cmycmx 243484280 84221420 ����� =×=⇒=×= 
Domínio 2 95,0
8,42214
8,422,206
%1%1 =
−
−
=
−
−
=∆⇒
xd
xd p
pε 
forças) de o(equilibri0 ⇒=−−
pdsdcd
RRR 
LN
4 2
.8
0
42
38
.2
4
185
A=5645,44 cm²
 
kNR
kNR
pd
cd
 13,733835,49
15,1
171
 56,1199644,5645
4,1
5,3
85,0
=×=
==
 
kNR
cmA
sd
s
 42,46585,4309,107
 09,107
5,43
13,733856,11996 2
=×=
=
−
=
 
 
 
29
 
Do equilíbrio de momentos temos: 
( ) ( )
( ) mkN
M rd
. 44,2304683,014,242,4658
83,0062,213,7338428,04,083,056,11996
=−⋅+
−⋅+×−⋅=
 
 
� Interpolação linear: 
 
( )[ ] ( ) 2
, 46,2297,1397,1309,107
54,1325444,23046
54,1325411,16201
cmA necs =−+−−
−
−
= 
Armadura passiva: 8φ20 mm 
 
14.2. SEGURANÇA ÀS SOLICITAÇÕES TANGENCIAIS 
 
� Cálculo da componente tangencial da força de protensão 
 
O cálculo da perda de protensão na seção do apoio será feito de forma 
estimada. As perdas por atrito e encunhamento são calculadas de forma simples 
através das expressões do item 11.1, contudo, as perdas por encurtamento elástico e 
as progressivas serão consideradas iguais às que foram calculadas para a seção do 
meio do vão, ou seja, MPaprogenc 64,21011,17953,31 =+=∆ +σ . 
A figura a seguir mostra o estado de tensões no cabo 1 após as perdas por 
atrito e encunhamento. 
 
1406
1309,1
1303,8
1325,8
1245,6
CABO 1
σ
x (m)
(MPa)
18 2
14.9
 
 
A tabela a seguir mostra os resultados para todos os cabos. 
 
 
 
30
Cabo 
σp,at+em 
(MPa) 
σp∞ 
(MPa) 
P∞ 
(kN) 
αA 
(rad) 
SenαA 
P∞ SenαA 
(kN) 
1 1245,6 1035,0 1021,5 0,177 0,176 179,9 
2 1242,0 1031,4 1018,0 0,159 0,158 161,2 
3 1235,4 1024,8 1011,4 0,152 0,151 153,1 
4 1249,6 1039,0 1025,5 0,102 0,102 104,4 
5 1273,6 1063,0 1049,1 0,0367 0,0367 38,5 
∑ = 637,1 kN 
 
kNV máxsd 2,11131,6379,059,1686, =⋅−= 
 
� Seção vazada equivalente 
 
cmu
cmA
 890
 11780 2
=
= 
Cálculo de he: 
cmch
cm
u
A
h
e
e
 8422
 23,13
1 =⋅=≥
=≤
 
 
Sendo que c1 a distância entre o eixo da 
armadura longitudinal a face lateral da peça. 
Adotando he igual a 8 cm temos: 
cmu
cmA
e
e
 858
 8284 2
=
=
 
 
� Segurança ao esmagamento da 
diagonal comprimida 
 
Resistência da diagonal comprimida ao 
esforço cortante, considerando o modelo I da 
NBR6118. 
∑ =⋅−=−= cmbb bainhawefw 5,267
2
1
30
2
1
, φ 
185
32
20
12
16
3
25
70
30
 
 
31
kNdbfV wcdvrd 0,32922145,26
4,1
5,3
250
35
127,027,02 =⋅⋅⋅





−⋅=⋅⋅⋅⋅= α 
 
Resistência da diagonal comprimida à torção, considerando θ = 45°. 
mkNhAfT eecdvrd ⋅=
⋅
⋅⋅





−⋅=⋅⋅⋅⋅= 4,712
100
88284
4,1
5,3
250
35
15,05,02 α 
 
Condição de segurança para ação combinada de cortante e torção 
 
)(144,0
4,712
89,70
0,3292
2,1113
1
22
ok
T
T
V
V
rd
sd
rd
sd ⇒<=+⇒≤+ 
 
� Determinação das armaduras 
 
� Cortante 
 
Segundo o modelo I, a parcela do esforço cortante resistida pelo concreto é: 
0
,
01 c
máxd
c V
M
M
V 







+= , sendo 
kNdbfV wctdc 8,5462145,26
4,1
225,0
6,06,00 =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= 
( ) ( ) mkNkePM i ⋅=+−⋅=+= ∞ 3,9456452,0138,037,139,56150 
kNVc 8668,546
11,16201
3,9456
1 =⋅





+= 
 
A parcela que deverá ser resistida pelo aço é: 
kNVVV cmáxsdsw 2,2470,8662,1113, =−=−= 
 
Com isso, podemos calcular a armadura que é dada por: 
mcm
df
V
s
A
yd
swsw / 95,2100
5,432149,0
2,247
9,0
2=⋅
⋅⋅
== 
 
� Torção 
 
 
 
32
Para θ = 45°, as armaduras transversal e longitudinal são iguais e dadas por: 
mcm
fA
T
u
A
s
A
yde
sd
e
sl / 98,0
5,438284,02
89,70
2
290 =
⋅⋅
=== 
 
� Segurança à fadiga 
� Cortante 
Para essa análise é considerada a combinação freqüente das cargas. 
kNV máxCF 88,1009, = 
kNV mínCF 64,795, = 
kNVp 1,637−= 
kNVcVVV pmáxCFsw 49,300,43339,57388,10095,09,0,1, =−−=−+= 
075,21043339,57364,7955,09,0,2, <−=−−=−+= VcVVV pmínCFsw 
( )
MPa
dsA
V
sw
sw
sw 06,010
2149,095,2
49,3
9,0/
1
1 =⋅
⋅⋅
==σ 
(ok) 85 06,0006,0 MPaMPasw <=−=∆σ 
 
� Torção 
mkNT máxCF ⋅= 74,29, 
mkNT mínCF ⋅−= 73,14, 
kNTp 0≅ 
Como há mudança de sentido, será considerado o valor da torção máxima em 
modulo (T = 29,74 kN.m) e o valor mínimo igual à zero. 
( )
MPa
AsA
T
esw
máxsw 2,18310
98,08284,02
74,29
2/, =⋅
⋅⋅
==σ 
MPaMPasw 85 2,18302,183 >=−=∆σ 
Logo 
mcmA corrsw / 11,2
0,85
2,183
98,0 2
, =⋅= 
 
A armadura total por ramo é igual a: 
mcmA
A
A Ts
Vsw
sw / 56,311,2
2
95,2
2
2
,
,
=+=+= 
 
 
33
 
Armadura mínima: 
2
min, 84,330
500
2,3
2,01002,0 cmb
f
f
A w
yk
ctm
sw =⋅⋅=⋅








= 
Logo 
mcmAsw / 84,3 2= 
Escola Politécnica da 
Universidade de São Paulo 
 
 
 
PEF - Departamento de Estruturas e Fundações 
 
 
 
 
 
 
PEF2404 
Pontes e Grandes Estruturas 
 
2. Projeto da Infraestrutura 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professores : Fernando Rebouças Stucchi 
 Kalil José Skaf 
 
Editoração : Gregory Kwan Chien Hoo 
 Rodrigo de Souza Lobo Botti 
PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. 
No2 
1. Sistema Estrutural 
 
 
 
δ1δ1δ1δ1
1 Equação a 1 incógnita
δ2δ2δ2δ2 δ3δ3δ3δ3δ1δ1δ1δ1
δ4δ4δ4δ4 δ5δ5δ5δ5
5 Equações a 5 incógnitas
NOTA - Super em vãos Isostáticos -> Infra Estrutura mais ComplexaFig. 1.1 - Esquema do Sistema Estrutural 
 
 
 
2. Ações a Considerar 
 
 
 
V { g1, g2, G2, q, Q, recalques de apoio, hiperestático de protensão } 
 
Hl { frenação, aceleração, temperatura, retração, deformação lenta, protensão, empuxo de 
 terra, eventual vento } 
 
Ht { vento, força centrífuga, empuxo hidrodinâmico } 
 
 
 
Casos de Carga a Considerar : 
 
 1 - Nmín. , Mconcomitante 
 2 - Nmáx , Mconcomitante 
 3 - Mmáx , Nconcomitante 
PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. 
No3 
3. Determinação das Reações de Apoio 
 
 
 
3.1. Dados Geométricos da Ponte 
 
 
 
 
 
24,00 m 30,00 m 24,00 m
10,00 m
14,00 m
2
3
φ = 1,20φ = 1,20φ = 1,20φ = 1,20
 
 
Fig. 3.1 - Corte Longitudinal Esquemático 
 
 
 
 
Seção Transv. no Vão
Seção Transv. nos Apoios Centrais
0,15 0,30
0,20
1,05
0,10
0,15
0,10
1,35
0,20
0,20
0,60
0,40
0,90
1,000,10
0,55
1,50 2,43
0,52
0,60
5,60 m 5,60 m
1,0
2,80 m 0,70 0,70 2,80 m5,40 m 
 
Fig. 3.2 - Corte Transversal Esquemático 
 
 
 
 
 
 
PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. 
No4 
3.2. Características Geométricas 
 
 
A. Seção do vão B. Seção dos Apoios Centrais 
 
H = 1,75 m H = 1,75 m 
A = 5,463 m2 A = 6,072 m2 
I = 2,082 m4 I = 2,569 m4 
 
yi = 1,177 m yi = 1,082 m 
ys = 0,573 m ys = 0,668 m 
 
Wi = 1,769 m3 Wi = 2,373 m3 
Ws = 3,633 m3 Ws = 3,848 m3 
 
Ki = 0,324 m Ki = 0,391 m 
Ks = 0,665 m Ks = 0,634 m 
 
 
3.3. Cargas Permanentes 
 
-g1 
 apoios internos : g1 = 6,072⋅ 25,00 = 151,8 kN/m g1 = 151,8 kN/m 
 
 vão e apoios externos : g1 = 5,463⋅ 25,0 = 136,6 kN/m g1 = 136,6 kN/m 
 
-g2 
 pavimentação : g2 = 0,10⋅ 11,20⋅ 24,0 = 26,88 kN/m g2 = 26,88 kN/m 
 guarda rodas : g2 = 2⋅ 0,395⋅ 25,0 = 19,75 kN/m g2 = 19,75 kN/m 
 
 
3.4. Esquema das cargas permanentes 
 
 
Fig. 3.3 - Esquema das Cargas Permanentes 
 
 
 
 
PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. 
No5 
 
3.5. Cargas Variáveis (TT45) 
 
 
ϕm = 1,4 - 0,007⋅ (24,00 + 30,00)⋅ 0,5 = 1,211 
 
3.5.1. Todo tabuleiro carregado 
 
- trem tipo homogeneizado para flexão e cortante 
 
 Q = 1,211⋅ 2⋅ 60,0 = 145,32 kN Q = 145,32 kN 
 q = 1,211⋅ 5,0⋅ 11,20 = 67,816 kN/m q = 67,816 kN/m 
 
145,32 kN
67,816 kN/m
 
 
Fig. 3.4 - Esquema do TT homogeneizado 
para todo tabuleiro carregado 
 
- trem tipo de torção 
 
5,35 m
3,35 m
5,0 ϕ 5,0 ϕ 5,0 ϕ 5,0 ϕ 
60,0 ϕ 60,0 ϕ 60,0 ϕ 60,0 ϕ 
 
Fig. 3.5 - Esquema do Carregamento para o Trem Tipo de torção 
para todo tabuleiro carregado 
 
 T = 1,211⋅ 60⋅ (5,35 + 3,35) = 632,142 T = 632,142 kNm 
 t = 0,0 t = 0,0 kNm/m 
 
 
Fig. 3.6 - Esquema do Trem Tipo de torção para 
todo tabuleiro carregado 
 
 
 
PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. 
No6 
 
 
 
3.5.2. Meio tabuleiro carregado 
 
- trem tipo homogeneizado para flexão e cortante 
 
 Q = 1,211⋅ 2⋅ 60,0 = 145,32 kN Q = 145,32 kN 
 q = 1,211⋅ 5,0⋅ 5,60 = 33,908 kN/m q = 33,908 kN/m 
 
 
Fig. 3.7 - Esquema do TT homogeneizado para 
meio tabuleiro carregado 
 
- trem tipo de torção 
 
 
 
Fig. 3.8 - Esquema do Carregamento para o Trem Tipo de torção 
para meio tabuleiro carregado 
 
 
 T = 1,211⋅ 60⋅ (5,35 + 3,35) = 632,142 T = 632,14 kNm 
 t = 1,211⋅ 5,0⋅ 5,602/2 = 94,9424 t = 94,94 kNm/m 
 
 
 
Fig. 3.9 - Esquema do Trem Tipo de torção 
para meio tabuleiro carregado 
 
 
PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. 
No7 
 
 
 
3.7. Reações de Apoio 
 
 
- Peso Próprio 
 
Ro = 0,3716⋅ 24,00⋅ (136,6 + 46,63) + 15,2⋅ 5,00/2⋅ (0,4092) + 
 +15,2⋅ 6,00/2⋅ (-0,036) = 1648,026 kN 
R0 = 1.648,026 kN 
 
R1 = 1,2534⋅ 24,00⋅ (136,6 + 46,63) + 15,2⋅ 5,00/2⋅ (0,9884) + 
 +15,2⋅ 6,00/2⋅ (0,9878) = 5.594,454 kN 
R1 = 5.594,454 kN 
 
 
- Trem tipo para Todo Tabuleiro Carregado (TTC) 
 
R0máx = 145,32⋅ (1,000+0,923+0,846) + 67,816⋅ (0,4398+0,0167)⋅ 24,00 = 1.145,383 kN 
R0máx = 1.145,383 kN 
 
R1máx = 145,32⋅ (1,000+0,990+0,989) + 67,816⋅ (0,6217+0,7099)⋅ 24,00 = 2.600,199 kN 
R1máx = 2.600,199 kN 
 
R0mín = -145,32⋅ (0,1094+0,1076+0,1057) - 67,816⋅ 0,0849⋅ 24,00 = -185,077 kN 
R0mín = -185,077 kN 
 
R1mín = -145,32⋅ (0,1202+0,1150+0,1185) - 67,816⋅ 0,0783⋅ 24,00 = -178,840 kN 
R1mín = -178,840 kN 
 
 
- Trem tipo para Meio Tabuleiro Carregado (MTC) 
 
R0máx, 1/2 = 145,32⋅ (1,000+0,923+0,846) + 33,908⋅ (0,4398+0,0167)⋅ 24,00 = 773,887 kN 
R0máx, 1/2 = 773,887 kN 
 
R1máx, 1/2 = 145,32⋅ (1,000+0,990+0,989) +33,908⋅ (0,6217+0,7099)⋅ 24,00 =1.516,554 kN 
R1máx, 1/2 = 1.516,554 kN 
 
R0mín, 1/2 = -145,32⋅ (0,1094+0,1076+0,1057) - 33,908⋅ 0,0849⋅ 24,00 = -115,957 kN 
R0mín, 1/2 = -115,957 kN 
 
R1mín, 1/2 = -145,32⋅ (0,1202+0,1150+0,1185) - 33,908⋅ 0,0783⋅ 24,00 = -15,986 kN 
R1mín, 1/2 = -115,986 kN 
 
 
 
 
PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. 
No8 
 
 
 
Fig. 3.10 - Linha de Influência de R0 
 
 
Fig. 3.11 - Linha de Influência de R1 
 
3.8. Momentos Torçores 
 
24 m 24 m30 m
1,0
Desprezada a variação da inércia à torção no apoio central
632,142 kNm
1,0
T0
T1
632,142 kNm
 
 
Fig. 3.12 - Esquema do Cálculo dos Momentos Torçores 
 
 
 
- Todo Tabuleiro Carregado (TTC) 
 
T0 = 632,142⋅ (1,000 +0,9375 + 0,8750) = 1.777,899 kNm T0 = 1.777,899 kNm 
 
T1 = 632,142⋅ (1,000 +0,9375 + 0,9500) = 1.825,310 kNm T1 = 1.825,310 kNm 
 
 
 
- Meio Tabuleiro Carregado (MTC) 
 
T0, 1/2 = 632,142⋅ (1,000 +0,9375 + 0,8750) + 94,9424⋅ 1,000⋅ 24,00/2 = 2.917,208 kNm 
T0, 1/2 = 2.917,208 kNm 
 
PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. 
No9 
T1. 1/2 = 632,142⋅ (1,000+0,9375+0,9500)+94,9424⋅ (1,000⋅ 24,00/2+1,000⋅ 30,00/2 ) = 
T1, 1/2 = 4.388,755 kNm 
- Reações de Apoio Totais (Rg+ Rq) 
 
 
Apoio 0 : 
 
R0máx, TTC = 1.648,026 + 1.145,383 = 2.793,409 kN 
R0máx, MTC = 1.648,026 + 773,957 = 2.421,913 kN 
 
R0mín, TTC = 1.648,026 - 185,077 = 1.462,949 kN 
R0mín, MTC = 1.648,026 - 115,957 = 1.532,069 kN 
 
 
 MTC TTC 
R0máx (kN) 2.421,913 2.793,409 
R0mín (kN) 1.532,069 1.462,949 
T0 (kNm) 2.917,208 1.777,899 
 
 
 
Apoio 1 : 
 
R1máx, TTC = 5.594,454 + 2.600,199 = 8.194,653 kN 
R1máx, MTC = 5.594,454 + 1.516,554 = 7.111,008 kN 
 
R1mín, TTC = 5.594,454 - 178,840 = 5.415,614 kN 
R1mín, MTC = 5.594,454 - 115,986 = 5.478,468 kN 
 
 
 MTC TTC 
R1máx (kN) 7.111,008 8.194,653 
R1mín (kN) 5.478,468 5.415,614 
T1 (kN m) 4.388,755 1.825,310 
 
 
PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. 
No10 
 
Fig. 3.13 - Esquema das reações dos Neoprenes 
- Reações para Cálculo dos Neoprenes 
 
 
Apoio 0 : 
R
R T
d
kNmáx I
max
,
. , . ,
, , ,
. ,0 2
2 421 913
2
2 917 208
5 40 0 10 0 45
1812 443− = + = +
− −
= (MTC) 
 
R
R T
d
kNmáx II
max
,
. , . ,
, , ,
. ,0 2
2 793 409
2
1777 899
5 40 0 10 0 45
1763 282− = + = +
− −
= (TTC) 
 
R
R T
d
kNmín I
max
,
. , . ,
, , ,
,0 2
2 421 913
2
2 917 208
5 40 0 10 0 45
609 470− = + = −
− −
= (MTC) 
 
R
R T
d
kNmín II
max
,
. , .,
, , ,
. ,0 2
2 793 409
2
1777 899
5 40 0 10 0 45
1030 127− = + = −
− −
= (TTC) 
 
R
R
kNmín III
mín
,
. ,
,0 2
1462 949
2
731 475− = = = (TTC) 
 
 
 
 
Apoio 1 : 
R
R T
d
kNmáx I
max
,
. , . ,
, , ,
. ,1 2
8194 653
2
1825 310
5 40 0 10 0 45
4 473 679− = + = +
− −
= (TTC) 
 
R
R T
d
kNmáx II
max
,
. , . ,
, , ,
. ,1 2
7 111 008
2
4 388 755
5 40 0 10 0 45
4 460 402− = + = +
− −
= (MTC) 
 
R
R T
d
kNmín I
max
,
. , . ,
, , ,
. ,1 2
8194 653
2
1825 310
5 40 0 10 0 45
3720 974− = + = −
− −
= (TTC) 
 
PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. 
No11 
R
R T
d
kNmín II
max
,
. , . ,
, , ,
. ,1 2
7111 008
2
4 388 755
5 40 0 10 0 45
2 650 606− = + = −
− −
= (MTC) 
 
R
R
kNmín III
mín
,
. ,
. ,1 2
5 415 614
2
2 707 807− = = = (TTC) 
 
 
 
 
Portanto: 
Rmáx,0 = 1.812,443 kN Rmáx,1 = 4.473,679 kN 
Rmín,0 = 609,470 kN Rmín,1 = 2.650,606 kN 
 
 
3.10. Cálculo das Máximas Rotações de Apoio 
 
 
 
 Admite-se numa primeira aproximação, que a rotação de peso próprio é igual e 
contrária à da protensão. Muitas vezes, na prática, isto é próximo da verdade, mas é preciso 
sempre verificar. 
E = 31.000.000 kN/m2 I = 2,082 m4 
 
0 1 2 3
67,816 kN/m
145,320 kN
67,816 kN/m
Carregamento 1
0 1 2 3
67,816 kN/m
145,320 kN
Carregamento 2
M = -2.591,6 kNm M = -1.512,2 kNm
M = -4.405,6 kNm M = -4.405,6 kNm 
Fig. 3.8 - Esquema dos Carregamentos a serem considerados 
 
 
1a Situação 
ϕ0
3
467 816 24 00
24
2 591 6 24 00
6
3 145 320 24 00 14 40
6
8 337 10=
⋅
⋅
−
⋅
⋅
+
⋅ ⋅ ⋅
⋅
= ⋅ −, , . , , , , ,
,
EI EI EI
rad 
 
ϕϕϕϕ0000 = 8,337 = 8,337 = 8,337 = 8,337 ⋅ 10 10 10 10−4−4−4−4 rad 
 
PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. 
No12 
ϕ1
3
467 816 24 00
24
2 591 6 24 00
3
3 145 320 9 60 24 00
6
5 434 10=
⋅
⋅
−
⋅
⋅
+
⋅ ⋅ ⋅
⋅
= ⋅ −, , . , , , , ,
,
EI EI EI
rad 
 
ϕϕϕϕ1111 = 5,434 = 5,434 = 5,434 = 5,434 ⋅ 10 10 10 10−4−4−4−4 rad 
 
 
2a Situação 
ϕ1
3
467 816 30 00
24
4 405 6 15 00 3 145 320 15 00 30 00
6
6 648 10=
⋅
⋅
−
⋅
+
⋅ ⋅ ⋅
⋅
= ⋅ −
, , . , , , , ,
,
EI EI EI
rad 
 
ϕϕϕϕ1111 = 6,648 = 6,648 = 6,648 = 6,648 ⋅ 10 10 10 10−4−4−4−4 rad 
 
 
3.11. Pré-dimensionamento dos Aparelhos de Neoprene 
 
 
 
- Apoio 0 : 
 
Ro, máx = 1.812,443 kN ϕϕϕϕ0, 0, 0, 0, máx = 8,337 = 8,337 = 8,337 = 8,337 ⋅ 10 10 10 10−4−4−4−4 rad 
 
Neoprene = 300 x 400 ( 3* 0,008 neo ; 4*0,003 aço); e = 41 mm 
 
 
- Apoio 1 : 
 
R1, máx = 4.473,679 kN ϕϕϕϕ1, 1, 1, 1, máx = 6,648 = 6,648 = 6,648 = 6,648 ⋅ 10 10 10 10−4−4−4−4 rad 
 
Neoprene = 500 x 600 ( 3* 0,011neo ; 4*0,004aço); e = 54 mm 
 
 
 
 
4. Ações Horizontais 
 
 
 
4.1. Longitudinais 
 
 
- Frenação : 
 
Fig. 4.1 - Esquema de cargas de frenação 
 
PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. 
No13 
 
F1 = ( 30% do TT ) = 0,3⋅ 450,0 = 135,0 kN 
F2 = 5% da carga total de multidão sobre a ponte = 0,05⋅ 5,00⋅ 11,20⋅ 78,00 = 218,4 kN 
 
Máx( F1; F2 ) = mais desfavorável = 218,4 kN 
 
F = 218,4 kN 
 
 
 
 
 
 
 
- Empuxo de Terra nos Encontros 
 
Fig. 4.2 - Esquemas das cargas devido ao empuxo 
 
ϕ = 30o ( )atrito γ solo = 18 0, kN / m3 c = 0 ( )coesão KA =
1
3
( )coef . empuxo ativo 
 
E kN= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
1
3
18 00 3 00
3 00
2
12 40 334 8, ,
,
, , 
( Empuxo total devido ao aterro na cortina + travessa) 
 
 
- Sobrecarga nos Aterros ( 5,0 kN/m2222 ) concomitante com frenação 
 
 
Fig .4.3 - Esquema das cargas devido à sobrecarga 
 
Es K q h lA= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =0 33 5 00 3 00 12 40 61 38, , , , , kN 
 
PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. 
No14 
Es = 61,4 kN 
 
- Temperatura (NBR 6118) ∆t C
o= ±15 
 
 
- Retração (NBR 7197) 
 
 Ac = área da seção de concreto = 5,463 m2 ; 
 u = perímetro em contato com o ar = 23,41 m; 
γ = coef. f ( umidade relativa U) , em geral 0,70 ⇒ γ = 1,5 
 
h
A
u
mfic
c
=
⋅
⋅ =
⋅
⋅ =
2 2 5 463
23 41
15 0 70γ
,
,
, , 
 
tomando a idade de desfoma da obra como sendo td = 5 dias tem-se : 
 
Ecs ( td ; hfic) ⇒ Ecs = -0,22⋅ 10−3 m ⇒ Temperatura equivalente à retração 
 
ε α= = ⋅ ⇒ − ⋅ = ⋅ ⇒ = −− −∆
∆ ∆ ∆
l
l
t t t Cc
o0 22 10 10 223 5, 
∆∆∆∆t = -22οC 
 
 
- Deformação Imediata e deformação Lenta devido à protensão (NBR 7197) 
 
 
Tensão média no concreto = Somatória dos Esforços de protensão = 3.000 kN/m2 
 Área 
com t0 = 30 dias ⇒ ϕ = ϕa + ϕf + ϕd = 2,0 
E = 31.000.000 kN/m2 
ε
σ
ϕ α= = ⋅ + = ⋅ ⇒ ⋅ + = ⋅−
∆
∆ ∆
l
l E
t t
M
c( )
.
. .
( , )1
3000
31000 000
1 2 0 10 5 
⇒ ∆t C
o≈ 28 ( temperatura equivalente ao efeito de protensão ) 
 
Logo : Σ∆Σ∆Σ∆Σ∆t = 15 + 22 + 28 = 65oC 
 
4.2. Transversais 
 
- Vento 
 
Vm = 40 m/s (gráfico das isopletas da velocidade básica de vento NBR-6123 para um 
 período de retorno de 50 anos). 
Velocidade característica do Vento 
 
Vk = S1⋅S2⋅S3⋅V0 
S1 = fator topográfico = 1,0 (Variações na superfície do terreno); 
S2 = rugosidade do terreno, dimensões da edificação e altura sobre o terreno; 
PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. 
No15 
 
Considerando : 
 - Rugosidade 4 : terreno coberto por numerosas e grandes construções com h > 25m; 
 - Classe C : maior dimensão superior a 50m; 
 - Altura sobre o terreno ~ 10m. 
 
 S2 = 0,58 
 
S3 = fator estatístico = 1,00 (segurança requerida ; vida útil da obra ); 
 
Vk = 1,00⋅ 0,58⋅ 1,00⋅ 40,00 = 23,20 m/s 
 
q = pressão dinâmica = Vk
2 = 23,202 = 34 kgf/m2 = 0,34 kN/m2 
 16 16 
 
 
5. Distribuição Longitudinal das Ações 
 (ver deduções na apostila teórica) 
 
 
5.1. Determinação das Rigidezes dos Apoios 
 
 
5.1.1. Apoio 0 
 
 
- Rigidez do Tubulão 
 
Fig. 5.1. - Esquema do Tubulão para cálculo 
 
 
Coeficiente de mola = K⋅ b = 15000⋅ 1,20 = 18.000 kN/m2 
(Ref. Vigas em apoio elástico. Renato Teramoto e C. Alberto Soares) 
PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. 
No16 
 
 S
K b
E I
=
⋅
⋅ ⋅
=
⋅ ⋅
⋅
=
4
18 000
4 27 400 000
1 20
64
0 2004
4
4
.
. .
,
,
π
 
 
 S⋅ l = 0,200⋅ 14,00 = 2,80 
 p
P
b l
kN mp= ⋅
⋅
= ⋅
⋅
=η 5 34
1 00
1 20 14 00
0 32 2,
,
, ,
, / δ = = = ⋅ −p
K
m
0 32
15000
2 1 10 5,
.
, 
 K
P
kN mTub = =
⋅
=−δ
1 00
2 1 10
46875 05
,
,
. , / (rigidez de um tubulão) 
 
 
PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. 
No17 
- Rigidez do Neoprene 
 
Dureza Shore 60 ⇒ G = 1.000 kN/m2 
 
 K
G A
h
kN m K para neopreneN
N
N
N=
⋅
=
⋅ ⋅
⋅ + ⋅
=
∑
1000 0 30 0 40
3 0 008 2 0 0025
4137 9 1
. , ,
, ,
. , / ( ) 
 
1 1
2
1
2
7 604 5
0
0K K K
K kN m
T Tub N
T=
⋅
+
⋅
→ = . , / 
 
 
 
5.1.2. Apoio 1 
 
 
- Pré-dimensionamento da Sapata 
 
 
Rmáx,1 = 8.194,653 kN (Superestrutura) 
 
Rg,PILAR = 0,70⋅ 5,40⋅ 8,00⋅ 25,0 = 756,0 kN 
 
RTotal = 1,04⋅ (8.194,653 + 756,0) = 9.308,679 kN 
 (Nota : 1,04 é para considerar o pp da sapata ) 
 
Tensão média no solo : 850 kN/m2 
 
A mS = =
9.308,679
850
10 95 2, 
 
dimensão transversal = 7,40 m dimensão longitudinal = 10,95/7,40 = 1,48 m 
 
como não foram considerados os momentosLongitudinais e Transversais para verificar a 
tensão no solo, consideraremos a dimensão longitudinal = 2,50m para posterior verificação 
de σσσσsolo. 
 
Fig. 5.2. - Dimensões da sapata 
PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. 
No18 
- Rigidez do Pilar 
K
E I
h
kN mP =
⋅ ⋅
=
⋅
⋅
⋅
=
3 3 27 400 000
10
0 70 5 40
12
12 687 6
3 3
3. . , ,
. , / 
 
 
- Rigidez da Sapata 
K
K I
h
kN mS
V Sapata
=
⋅
= ⋅
⋅
=2 2
330 000
10
7 40 2 50
12
2 890 6
. , ,
. , / 
Kv = coef. de reação vertical do solo = 30.000 kN/m3 
 
 
- Rigidez do Neoprene 
K
G A
h
kN mN
N
N
=
⋅
=
⋅ ⋅ ⋅
⋅ + ⋅
=
∑
1000 0 50 0 60 2
3 0 011 2 0 0025
15 789 5
. , ,
, ,
. , / 
 
 
- Rigidez Total do Apoio 1 
1 1 1 1
2 048 8
1
1
K K K K
K kN m
T P S N
T= + + → = . , / 
 
 
 
5.1.3. Apoio 2 
 
 
Aparelho de Apoio = Articulação Freyssinet 
1 1 1 1
2 354 3
2
2
K K K K
K kN m
T P S Apoio
T= + +
→ ∞
→ = . , / 
 
 
 
5.1.4. Apoio 3 
 
 
K K kN mT T3 0 7 585 3= = . , / 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. 
No19 
 
6. Distribuição Longitudinal das Ações 
 
 
6.1. Frenação 
 
ΣKTi = 19.573,7 kN/m 
 
i 0 1 2 3 
K
K
Ti
Ti∑
 
 
 
0,387525 
 
0,104671 
 
0,120279 
 
0,387525 
 
Frenação: F = 218,4 kN 
 
Apoio 0 1 2 3 
F F
K
K
i
Ti
Ti
= ⋅ =
∑
 
 
 
84,6 kN 
 
22,9 kN 
 
26,3 kN 
 
84,6 kN 
 
 
 
6.2. Empuxo 
 
Empuxo E = 334,8 kN 
 
⋅ lado esquerdo 
 
 
 
 
Fig. 6.1 - Modelos de resolução do empuxo 
 
 
 
 
PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. 
No20 
 
Ki K K K kN mT T T
1
3
1 2 3 2 048 8 2 354 3 7 585 3 11988 4∑ = + + = + + =. , . , . , . , 
 
1 1 1 1
8 275 8
1
11988 4
4 896 0
K K Ki
K kN m
EQ AP
EQ= + = + ⇒ =
∑ . , . ,
. , 
 
E E
K
K K
kN
EQ
EQ ENC
1 334 8
4 896 0
4 896 0 93 750 0
16 62= ⋅
+
= ⋅
+
=,
. ,
. , . ,
, 
E1 = 16,62 kN (empuxo transmitido para o neoprene) 
 
E2 = E - E1 = 334,8 - 16,62 
E2 = 318,18 kN (empuxo transmitido para o tubulão) 
 
 
Fig. 6.2 - Esquema da Distribuição de Cargas 
 
EA0= E1 = 16,6 kN 
E E
K
Ki
K
An
Tn Tn
= ⋅ = ⋅
∑
1 16 6
11988 4
,
. ,
 
 
Empuxo : 
 E kNA0 16 6= ←, E kNA1 2 8= →, E kNA2 3 3= →, E kNA3 10 5= →, 
 
 
•••• Lado Direito 
 
Pelo fato da rigidez dos tubulões e neoprenes do apoio 3 serem iguais aos do apoio 0 resulta : 
 
 
Fig. 6.3 - Esquema da Distribuição de Cargas 
 
Empuxo : 
 E kNA0 10 5= ←, E kNA1 2 8= ←, E kNA2 3 3= ←, E kNA3 16 6= →, 
 
 
 
 
PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. 
No21 
 
Composições : 
 
Lado Esquerdo
Lado Direito
 
 
Fig. 6.4 - Esquema da Composição de Esforços 
 
Logo nos apoios 0 e 3 as forças se somam e nos apoios 1 e 2 se subtraem. 
 
E E kNA Total A Total0 3 16 9 10 8 27 7= = + =, , , 
E E kNA Total A Total1 2 0 0= = , 
 
 
6.3. Sobrecarga 
 
Sobrecarga nos Aterros Es = 61,4 kN 
 
A resolução da sobrecarga é identica ao do empuxo, portanto: 
E E
K
K K
kNS S
EQ
EQ ENC
1 61 4
4 896 0
4 896 0 93 750 0
3 05= ⋅
+
= ⋅
+
=,
. ,
. , . ,
, 
ES1 = 3,05 kN (sobrecarga transmitida para o neoprene) 
 
ES2 = ES - ES1 = 61,4 - 3,05 
ES2 = 58,35 kN (sobrecarga transmitida para o tubulão) 
 
EA0= ES1 = 3,1 kN 
E E
K
Ki
K
An S
Tn Tn= ⋅ = ⋅
∑
1 3 05
11988 4
,
. ,
 
 
Sobrecarga no lado esquerdo : 
 E kNA0 31= ←, E kNA1 0 5= →, E kNA2 0 6= →, E kNA3 1 9= →, 
 
Sobrecarga no lado direito: 
 E kNA0 1 9= ←, E kNA1 0 5= ←, E kNA2 0 6= ←, E kNA3 3 1= →, 
 
A sobrecarga nos aterros pode atuar só de um lado, ou, nos dois, logo : 
E kNA0 5 0= , E kNA1 0 5= , E kNA2 0 6= , E kNA3 5 0= , 
 
 
 
 
 
PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. 
No22 
 
 
6.4. Temperatura + retração + protensão 
 
 ∆t C
o=∑ 65 
 
 
 
 Fig.6.5. Esquema fictício para cálculo 
Fi = Ki . δi 
 
δ0 = 0 →F0= 0 
δ1 = 10-5 ⋅ 24,00 ⋅ 65 = 0,0156 m →F1= K1 ⋅ δ1 = 2048,8 ⋅ 0,0156 = 31,96 kN 
δ2 = 10-5 ⋅ (24,00+30,00) ⋅ 65 = 0,0351 m →F2= K2 ⋅ δ2 = 2354,3 ⋅ 0,0351 = 82,69 kN 
δ3 = 10-5 ⋅ (24,00+30,00+24,00) ⋅ 65 = 0,0507 m →F3= K3 ⋅ δ3 = 7585,3 ⋅ 0,0507 = 384,57 kN 
 
 
 
Fig.6.6 Resumo das forças aplicadas 
 
 
 A temperatura é gerada por forças internas portanto, sua somatória deve ser igual a 
zero. Assim sendo a resultante (R) deve ser reequilibrada pelos quatro apoios. 
 
 
Fig.6.7. Esquema do reequilíbrio de forças 
 
F
K
K
Ri
i
i
= ⋅
∑ 
Apoio 0 1 2 3 
K Ki i∑ 0,388 0,105 0,120 0,388 
 
F 
 
 
193,65 kN 
→→→→ 
 
52,41 kN 
→→→→ 
 
59,90 kN 
→→→→ 
 
193,65 kN 
→→→→ 
 
PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. 
No23 
 
 
 
A força total portanto é a soma destas duas, ou seja: 
 
F0 = 0 + 193,65 = 193 kN 
F1 = -31,96 + 52,41 = 20,45 kN 
F2 = -82,64 + 59,90 = -22,74 kN 
F3 = -384,57 + 193,65 = -190,92 kN 
 
Apoio 0 1 2 3 
 
F Ki Ti i= ⋅ =δ 
 
 
193,4 kN 
←←←← 
 
20,45 kN 
←←←← 
 
22,74 kN 
→→→→ 
 
190,92 kN 
→→→→ 
 
 
 
- Resumo 
 
 
Apoio Frenação 
(kN) 
Empuxo 
(kN) 
Sobrecarga 
(kN) 
Temperatura 
(kN) 
0 84,6 27,7 5,0 193,4 
1 22,9 0,00 0,5 20,45 
2 26,3 0,00 0,6 22,74 
3 84,6 27,7 5,0 190,92 
 
 
Os esforços estão sem sinal uma vez que a frenação pode inverter o sentido, a tendência dos 
esforços de (Sobrecarga + Empuxo) e Temperatura é de subtração uma vez que devido à 
protensão + retração a ∆Ttotal é negativa. 
PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. 
No24 
7. Análise da Distribuição Transversal - Vento 
 
 
 
- Determinação da Rigidez do Apoio 0 
 
 
Fig. 7.1 - Modelo de cálculo transversal do tubulão 
 
obs: Tenho por hipótese o tubulão engastado na travessa. 
 
Rotação no topo sem o engastamento 
 
 
 
 
( )ϕ ηφ= ⋅
⋅
⋅
S
K b
P
2
 
ϕ = ⋅ ⋅ = ⋅ −198
100
0 200
18 000
1 00 4 40 10
2
6( , )
.
, , rad
Momento que restitue a rotação 
 
 
 
PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. 
No25 
 
 
( )ϕ ηφ= ⋅
⋅
⋅
S
K b
M
3
 
4 40 10
399
100
0 200
18 000
6
3
,
( , )
.
⋅ = ⋅ ⋅− M 
 
M= 2,48 kNm 
Pressão no terreno 
 
 
 
 
 
p
l
kN m= ⋅
⋅
= ⋅
⋅
=ηφ
M
b 2 2
215 48
2 48
1 20 14 00
0 16,
,
, ( , )
, /
 
 
 
Deslocamento devido ao Momento (Lei de Hooke) 
 
δ = = = ⋅ −
p
K
0 16
15000
1 07 10 5,
.
, m 
 
 
 
Deslocamento Total (Devido a F e M) 
 
δ = (δH - δm) = (2,1 - 1,07)⋅ 10-5 = 1,03⋅ 10-5 m 
obs: δH foi calculado no item 5.1 
 
 
Rigidez de um Tubulão 
KTUB = =
⋅
=−
F
kN m
δ
1
1 03 10
97 087 05,
. , / 
 
 
Rigidez de um Neoprene KN = 4.137,9 kN/m 
 
 
 
Rigidez Total do Apoio 0 
1
K
=
1
2 K
1
2 K
K
T0 TUB N
T0⋅
+
⋅
→ = 7 937 5. , /kN m 
 
 
Rigidez Total do Apoio 1 
 
PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. 
No26 
Pilar (Rigidez transversal do pilar) 
 K =
3 E I
h
3 27.400.000
10P
T
3 3
⋅ ⋅
=
⋅
⋅
⋅
=
5 40 0 70
12
755039 9
3, ,
. , /kN m 
 
Neoprene KN = 15.789,5kN/m 
 
Sapata K =
K I
h
30.000
10S
V S
2 2
⋅
= ⋅
⋅
=
2 50 7 40
12
25 326 5
3, ,
. , /kN m 
 
Rigidez Total do Apoio 1 
1
K
=
1
K
1
K
1
K
K
T1 P N S
T1+ + → = 9 602 3. , /kN m 
 
Rigidez Total do Apoio 2
 
1
K
=
1
K
1
K
1
K
=
1
K
1
K
K
T2 P F S P S
T2+ + + → = 24 504 5. , /kN m 
 
 
Rigidez Total do Apoio 3 KT3 = KT0 = 7.937,5 kN/m 
 
 
Determinação do centro elástico admitindo a superestrutura como viga rígida sobre apoios 
eláticos. 
 
Centro elástico: 
a
K S
K
i i
i
=
⋅
=
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅∑
∑
7937 5 0 00 9602 3 24 00 24 504 5 54 00 7937 5 78 00
4 99316
, , , , . , , , ,
. ,
 
a = 43,47 m 
 
Fig 7.2 - Distâncias ao centro elástico 
 
Força Devido ao Vento por metro (Norma NBR XXX) 
 
p C q hx= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + =2 0 0 34 2 0 1 75 2 6, , ( , , ) , kN / m 
 TT Estr. 
 
 
Reação em cada apoio (Courbon) 
 
PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. 
No27 
R
K
K
P M
K e
K e
i
i
i
i i
i i
= ⋅ + ⋅
⋅
⋅∑ ∑ 2
 
 
R
K K e
i
i i i
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅
⋅
49 9818
2 6 78 00 2 6 78 00 4 48
30820 201 33. ,
, , , , ,
. . ,
 
 
 
 
Fig. 7.3 - Esquema das cargas 
 
R0 = 42,4 kN R1 = 44,5 kN R2 = 91,8 kN R3 = 24,1 kN 
 
 
PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. 
No28 
8. Dimensionamento dos Apoios 
 
 
8.1. Apoio 0 
 
- Transversal 
4,90
2,70 2,707,00
Rvento
Rsuper Rsuper
A B Rmuro de ala
Peso Prop da Travessa+Cortina+Lajede Aproximação
 
8.1 - Modelo estático transversal 
 
Reações da Superestrutura A (kN) B(kN) 
 
Peso Próprio 824,02 824,02 
Peso Próprio +Meio Tab. Carreg.(MTC) 1.812,44 609,47 
Peso Próprio +Todo Tab. Carreg.(TTC) 1.763,28 1.030,13 
 
R0vento = 42,4 kN 
 
 
0,80
3,50
3,00
e = 0,25
 
Fig. 8.2 - Esquema do muro de ala 
 
Rmuro de ala = Vol⋅ γc= (3,00+ 0,50)⋅ 0,5⋅ 3,5⋅0,25⋅ 25 = 38,3 kN 
 
0,25
4,00
0,30
1,20
1,80
1,20
 
Fig. 8.3 - Esquema da travessa, cortina e laje de aproximação 
 
g = Peso Próprio da Travessa + Cortina + Laje de aproximação = 
= ( 1,20⋅ 1,20 + 0,25⋅ 1,80 + 0,30⋅ 4,00)⋅ 25,0 = 77,3 kN/m 
 
PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. 
No29 
 Verificação dos Neoprenes do apoio 0 (Encontro) 
 
 
Rmáx = 1.812,44 kN Rmín = 609,47 kN ϕ = 8,34⋅ 10-4 rd 
 
Neoprene: 0,30 x 0,40 m 
3 placas de neoprene de 0,008 m 
 aço: 3 x 0,003 m 
 cobrimento: 2 x 0,0025 m 
 hneop= 0,029 m 
 
Esforços totais para 2 neoprenes: 
 
Hfrenação = 84,6 kN Hsobrecarga = -5,0 kN 
H∆t = 193,4 kN Hvento = 42,4 kN 
Hempuxo = -27,7 kN 
 
 
- Fator de Forma do Neoprene 
 
µ =
⋅
⋅ ⋅ +
=
⋅
⋅ ⋅ +
=
a b
h a b2
0 30 0 40
2 0 008 0 30 0 40
10 71
( )
, ,
, ( , , )
, 
 
 
 
- Verificação da Ligação Elastômero-aço 
 
 
τ τ ταN H G+ + ≤ 5 G: Módulo de elasticidade transversal do neoprene 
 
τ
σ
µN
N
= ⋅ = ⋅
⋅
⋅ =15 1 5
1812 44
0 30 0 40
1
10 71
2 115 36 2, ,
. ,
, , ,
. , /kN m ≤ 3G = 3000 kN/m2 
 
τH =
⋅
H
a b
 H = Hestático + 0,5 Hdinâmico 
 
Hestático = H∆t = 193,4 = 96,70 kN 
 2 
Hdinânico Long. = Hfrenação = 0,5 ⋅ 84,6 = 21,15 kN 
 2 
Hdinâmico Trans. = Hvento = 0,5 ⋅ 42,4 = 10,60 kN 
 2 
 
HTOTAL kN= + + =( , , ) ( , ) ,96 70 2115 10 60 118 332 2 
 
Adota-se 0,5 Hdinâmico porque verifica-se experimentalmente que G vale o dobro nestas 
situações. 
PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. 
No30 
 
τH =
⋅
=
⋅
=
H
a b
kN m
118 33
0 30 0 40
986 08 2,
, ,
, / > 0,7G = 700 kN/m2 
 
Portanto o neoprene deve ser redimensionado 
 
τ ϕα = ⋅
⋅
= ⋅
⋅
⋅ =−G a
h h
tg tg kN m
i2
1000
2
0 30
0 008 0 029
34 10 161 76
2 2
4 2( )
. ,
, ,
(8, ) , / 
 
τα = 161 76 2, /kN m ≤ 1,5G = 1.500 kN/m2 
 
 
τ = + + = < =∑ 2115 36 986 08 161 76 3 263 20 5 5000, , , . , kN / m kN / m2 2
G 
 (em geral OK) 
 
 
 
 
- Condição de Não Deslizamento 
 
 
f⋅ N > H 
 
f = 0,10 + _600_ (fator de atrito) 
 σNmin 
 
σ Nmín
=
⋅
=
609 47
0 30 0 40
5078 92
,
, ,
. , kN / m2 
 
 
f = 0,10 + _600____ = 0,22 
 5.078,94 
 
 
f⋅ N = 0,22⋅ 609,47 = 132,95 > HTOTAL = 118,33 kN (OK) 
 
 
σN ≥ 2.000 kN/m2 = 5.078,92 kN/m2 (OK) 
 
 
 
PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. 
No31 
- Condição de Não Levantamento do Bordo Menor Comprimido 
 
∆h
a
G
tg> ⋅ ( )ϕ 
 
a
G
tg⋅ ( )ϕ = 
0 30
34 10 4 18 104 5,
(8, ) ,
G
tg⋅ ⋅ = ⋅− − 
 
∆h
h hi i
=
⋅
⋅ ⋅ + ⋅
+ ⋅
⋅
⋅ ⋅ + ⋅
∑ ∑
σ
µ σ
σ
µ σ
N
i
2
N
N
i
2
N4 G 4 G3
1 4
31
3
1
2
,
'
'
 
 
hi = Altura dos neoprenes internos = 0,008 m 
h’i = Altura do combrimento = 0,0025 m 
µ = Fator de forma das camadas internas = 10,71 
µ’ = Fator de forma do cobrimento = 34,29 
σN
2
mín
kN / m= 15103 67. , 
 
Resulta 
∆h = 74,13⋅ 10-5 m > 4,18⋅ 10-5 m (OK) 
 
 
- Verificação da Resistência das Chapas de Aço 
 
c ≥ 2⋅σNmaxd ⋅ hi Fyk = 25.000 kN/m2 (A36) 
 Fyd 
 
c ≥ 2⋅ 15103,67 ⋅ 1,4 ⋅ 0,008 
 25000/ 1,15 
 
c ≥ 0,0156 
 
cmin = 2 mm 
 
 
- Verificação da Durabilidade 
 
1) tg γ ≤ 0,5 para cargas estáticas 
2) tg γ ≤ 0,7 para cargas estáticas + dinâmicas 
 
1) tg
G
γ
τ
= =
⋅ ⋅
⋅ = >
193 4
2 0 30 0 40
1
1000
0 806 0 5
,
, ,
, , (Não OK) 
2) tg
G
γ
τ
= =
⋅
⋅ = >
118 33
0 30 0 40
1
1000
0 986 0 7
,
, ,
, , (Não OK) 
 
Solução: Aumentar a altura do neoprene e proceder a redistribuição de esforços na 
infraestrutura. 
PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. 
No32 
- Análise do Pilar do Apoio 1 (70 x 540) 
 
hpilar = 8,00 m 
Rmax super = 8194,65 kN Rg pilar = 756,0 kN ΣR = 8.950,65 kN 
 
Mt =1.825,31 Knm (torçor da super p/ TTC) 
ec = erro construtivo do pilar na direção da menor inércia 
ec = Ll = 2 ⋅ 800 = 0,053 m Ll = comprimento de flambagem 
 300 300 
Fl = 43,45 kN (Força horizontal longitudinal) 
Fl = 42,30 kN (Força horizontal transversal) 
 
Kφ = Kv ⋅ Isapata = 7,40 ⋅ 2,503 ⋅ 30.000 = 289062,50 kNm/rad (mola a rotação na base) 
 12 
 
 
Modelo estático 
 
 Fig 8.4 - Modelo estático 
 
(analise não linear sempre com ações de cálculo) 
 
 
Momento Longitudinal Total de 1ª Ordem 
 
M1ªd = 1,4⋅ (43,45⋅ 8,00 + 8950,65⋅ 0,053) = 1.150,78 kNm 
 
observar que o peso próprio do pilar foi admitido aplicado na cabeça do pilar a favor da 
segurança 
 
Aplicação do Processo do Pilar Padrão 
 
a = Ll
2⋅ ( 1/r)base a = excentricidade de 2ª ordem 
 10 1/r = curvatura na base do pilar 
 Ll = 2⋅ L 
 
A expressão acima é obtida admitindo-se a linha elástica uma senóide 
 
ec 
Rd 
Fd 
8,00 m 
Kθ 
PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. 
No33 
 
y = a⋅ sen π x 
 Ll 
 
Fig. 8.5 - Linha elástica 
 
A fim de predimensionar a armadura, uma vez que a curvatura na base é função desta, será 
admitido em 1ª aproximação: 
 
Mtotal d = M1ª d + M2ª d = 1,2 M1ª d 
 
pelo ábaco de Montoya: 
 
Nd = 1,4⋅ 8.950,65 = 12.530,91 kN 
Md = 1,2⋅ 1.150,78 = 1.380,99 kNm 
 
ν = Nd = 12.530,91 = 0,258 
 Ac⋅ Fcd 0,70⋅ 5,40⋅ 18.000 
 1,4 
µ = Md = 1.380,93 = 0,041 
 Ac⋅ hp⋅ Fcd 0,702⋅5,40⋅18.000 
 1,4 
 
ω = 0,0 portanto As min 
 
Asmin = 0,8 ⋅ Ac = 0,8 ⋅ 70 ⋅ 5,40 = 302,40 cm2 ou 151,20 cm2/face 
 100 100 
 
que corresponde a ω = As⋅ Fyd = 0,27 
 Ac⋅ Fcd 
 
das tabelas momento/curvatura (livro do prof. Fusco) temos 
y 
x 
L 
L 
a 
PEF408 Projeto da Meso e Infraestrutura de uma Ponte Celular Contínua pag. 
No34 
 
µ,ν,ω → 1/r 
 
(1/r)base = 0,30⋅ 10-3 m-1 
 
resulta 
 
a = (2⋅ 8,0)2 ⋅ 0,00030 = 0,008 m 
 10 
 
M2ª d = 12.530,91⋅ 0,008 = 96,24 kNm 
Mtotal d = 1.150,78 + 96,24 = 1.274,02 kNm 
 
Acréscimo de excentricidade no topo do pilar devido a rotação da base 
 
∆e = Mtotal d ⋅ l = 1.247,02 ⋅ 8,00 = 0,035 m 
 Kθ 289.082,50 
 
Acréscimode momento da base 
 
∆Md = 0,035⋅ 12.530,91 = 432,47 kNm 
 
Momento total na base 
 
Mtotal d = 1.150,78 + 96,24 + 432,47 = 1.679,49 kNm 
 
Caberia agora mais um ciclo de interação calculando-se novamente a nova excentricidade de 
2ª ordem, ∆e, etc, porem, como o pilar foi armado com As min vamos verificar qual é o seu 
momento resistente para Nd atuantes. 
 
com ω = 0,27 e ν = 0,258 pelo ábaco de Montoya → µ = 0,15 → Md = 6.212,35 kNm 
 >>>Md total = 1.679,49 kNm 
 
portanto não é necessária nova inteiração 
 
Análise da Flexo Compressão Obliqua 
 
Nd = 12.530,91 kN → ν = 8,258 
 
Md = 1.679,49 kNm → µ = 0,060 
 
MTd = 1,4⋅ (1.825,31 + 42,30⋅ 10,00) = 3.147,63 kNm → µt = 0,012 
 
→ ω ≅ 0,00 → As min OK! portanto 98 φ20 mm CA-50 
 04 φ20 c/ 12,5 cm