Estudo de Derivadas e Graficos

Prévia do material em texto

EP13 Cálculo I
EP13 - Cálculo I
Nesta semana, vocês estudarão as aulas 19 (“Pontos de inflexão. Derivadas de ordem
superior”) e 20 (“Exerćıcios resolvidos”). Na aula 19, vocês utilizarão o conceito de derivada
para identificar os pontos onde ocorrem mudanças de concavidade no gráfico de uma dada
função f : os pontos de inflexão de f . Ainda nesta mesma aula, vocês aprenderão como
a operação de derivação pode ser realizada repetidas vezes obtendo-se assim a derivada de
ordem n da função f em x. Na aula 20, vocês resolverão diversos exemplos que utilizam
como ferramentas os principais conceitos já estudados para realizar o esboço do gráfico de
funções. Ao final desses estudos vocês deverão ser capazes de:
• Identificar a concavidade do gráfico de uma função f , utilizando o conceito de derivada;
• Identificar os pontos de inflexão de uma função f ;
• Obter a derivada de ordem n de uma certa função f em x;
• Utilizar os principais conceitos já estudados para realizar o esboço do gráfico de uma
determinada função f .
1. Seja f : R→ R uma função cont́ınua tal que:
(i) f(x) = 0 ⇔ x = 1 ou x = −1;
(ii) f(0) = 1, f(−0.33) = 1.18 e f(0.33) = 0.59;
(iii) f ′(x) = 0 ⇔ x = 1 ou x = −0.33;
(iv) f ′(x) > 0 ⇔ x ∈ (−∞,−0.33) ou x ∈ (1,+∞) e f ′(x) < 0 ⇔ x ∈ (−0.33, 1);
(v)f ′′(x) > 0 ⇔ x ∈ (0.33,+∞) e f ′′(x) < 0 ⇔ x ∈ (−∞, 0.33);
(vi) lim
x→+∞
f(x) = +∞ e lim
x→−∞
f(x) = −∞.
Determine, caso existam:
(a) os intervalos onde f é crescente e os intervalos onde f é decrescente;
(b) os intervalos onde o gráfico de f tem concavidade para cima e os intervalos onde o
gráfico de f tem concavidade para baixo;
(c) os pontos de inflexão do gráfico de f ;
Finalmente, faça um esboço do gráfico de f .
2. Para cada função f definida abaixo, determine, caso existam:
Fundação CECIERJ 1 Consórcio CEDERJ
EP13 Cálculo I
(i) os intervalos onde f é crescente e os intervalos onde f é decrescente;
(ii) os intervalos onde o gráfico de f tem concavidade para cima e os intervalos onde o
gráfico de f tem concavidade para baixo;
(iii) os pontos de inflexão do gráfico de f .
(a) f(x) =
x4 + 1
x2
(b) f(x) = e−x
2
(c) f(x) = x3 − 3x2
(d) f(x) = x3 − 9x2 + 1 (e) f(x) = x3 + 6x2 − 1 (f) f(x) = 2x3 + 5x2
(g) f(x) =
x3
3
+
3x2
2
− 4x (h) f(x) =
x− 1
x + 2
(i) f(x) =
x + 3
x− 1
3. Determine, se existirem, os pontos de inflexão do gráfico de cada função abaixo:
(a) f(x) = x3 − 3x2 + 4x− 1 (b) f(x) =
x4
12
+
x3
6
− x2
4. Considere a função f(x) =
2
x− 1
. Determine os intervalos onde o gráfico de f tem
concavidade voltada para cima e onde o gráfico de f tem concavidade voltada para baixo.
O gráfico de f possui pontos de inflexão? Justifique sua resposta.
5. Para cada um dos gráficos abaixo, determine, caso existam, os intervalos onde temos
f ′(x) > 0, f ′(x) < 0, f ′′(x) > 0 e f ′′(x) < 0.
(a) (b)
Fundação CECIERJ 2 Consórcio CEDERJ
EP13 Cálculo I
(c) (d)
Desejamos que estes exerćıcios sirvam de est́ımulo para uma ativa seção de trabalho!
Procurem a tutoria mesmo que tudo esteja correndo bem com os seus estudos individuais.
Lembrem-se, a troca de informações com os tutores e com os colegas é fundamental para o
seu progresso pessoal. E não esqueçam: nós queremos o seu sucesso!
Mário Olivero e Cristiane de Mello
Coordenadores de Cálculo I
Fundação CECIERJ 3 Consórcio CEDERJ