Resumo ALG

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Resumo de Matemática 1TP 
Álgebra Linear 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Al 2075 Silva Cabral 
i- Noção de Matriz 
Dado dois números m e n naturais não nulos, chama-se matriz m por n toda tabela 
formada por números reais distribuídas em m linhas e n colunas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em uma matriz qualquer M, cada elemento é representado por 𝑎𝑖𝑗 , onde i = linha e j= coluna. As linhas 
são sempre representadas de cima pra baixo, já as colunas da esquerda pra direita. 
ii- Tipos de matrizes 
a) matriz-linha: toda matriz do tipo 1 x n, que possui uma única linha. 
 
b) matriz-coluna: toda matriz do tipo m x 1, que possui uma única coluna 
 
 
c) matriz-nula: toda matriz que tem todos os elementos iguais a zero 
 
 
d) matriz-quadrada (ordem n): toda matriz do tipo n x n, onde número de linhas é igual ao 
de colunas. 
 
 
 
 
e) matriz-diagonal: toda MATRIZ QUADRADA em que os elementos fora da diagonal 
principal são iguais a zero. 
 
 
 
f) matriz identidade (unidade): toda matriz diagonal em que os elementos da diagonal 
principal são iguais a 1. 
 
 
 
g) matriz transposta: seja uma matriz A, tem-se que sua transposta 𝐴𝑡 tem como colunas as 
linhas de A. Tal que 𝑎′𝑗𝑖 = 𝑎𝑖𝑗 (𝑎12 = 𝑎′21 ; 𝑎32 = 𝑎′23) 
Diagonal principal: o conjunto de elementos que têm índices 
iguais (𝑎11 ,𝑎22 ,𝑎33 , . . ,𝑎𝑛𝑛 ). 
 
Diagonal secundária: conjunto de elementos que têm soma 
dos índices igual a n+1 (𝑎1𝑛 ,𝑎2 , 𝑛−1 ,𝑎3 , 𝑛−2 ,… ,𝑎𝑛1). 
Propriedades: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
h) matriz inversível: seja uma matriz quadrada A, de ordem n. A será inversível se houver 
uma matriz B (ou 𝐴−1), tal que AB = BA = 𝐼𝑛 (matriz identidade). Caso contrário, A é uma matriz 
singular. 
 
 
 
 
iii. Operações com matrizes 
Igualdade de matrizes: Duas matrizes A e B são iguais quando 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 , logo para serem 
iguais, precisam ser do mesmo tipo e apresentar todos os elementos correspondentes (i e j) 
iguais. 
Adição de matrizes: Dada duas matrizes A e B, tem-se a matriz C como sua soma, tal que C = 
 𝑐𝑖𝑗 𝑚𝑥𝑛, onde 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 . As matrizes PRECISAM ter o mesmo “m” e “n”. 
 
 
Propriedades: 
-matriz simétrica: toda matriz quadrada, de ordem n, tal que 𝐴𝑡 = 𝐴 ; (𝑎′𝑗𝑖 = 𝑎𝑖𝑗 ). Com isso, tem-
se que os elementos opostos em relação à diagonal principal são iguais. 
 
-matriz antissimétrica: toda matriz quadrada, de ordem n, tal que 𝐴𝑡 = −𝐴 ; (𝑎′𝑗𝑖 = −𝑎𝑖𝑗 ). Com 
isso, tem-se que os elementos opostos em relação à diagonal principal são simétricos. 
 
simétrica antissimétrica 
Diferença de matrizes: Para encontrar a diferença entre as matrizes A e B, basta somar A 
com a oposta de B (elementos com sinais trocados). As matrizes PRECISAM tem o mesmo “m” 
e “n”. 
Produto de um “k” real por uma matriz: Dado um número real k e uma matriz A, tal que é 
pedido o produto kA, basta multiplicar k por todos os elementos de A. 
Propriedades: 
 
Produto de matrizes: Dada duas matrizes A = 𝑎𝑖𝑗 𝑚𝑥𝑛 e B = 𝑏𝑖𝑗 𝑛𝑥𝑝, o produto AB é dado 
por C = 𝑐𝑖𝑗 𝑚𝑥𝑝. 
 
 
Para obter uma linha de C, precisa pegar a linha correspondente de A e multiplicar 
pelas colunas de B, ordenadamente. Os produtos obtidos pela linha e UMA coluna 
devem ser somados e assim, terá UM elemento da linha de C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades: 
 
 
 
 
-> Só haverá o produto AB se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B; 
-> C terá o número de linhas de A e o número de colunas de B (C = mxp). 
A multiplicação de matrizes NÃO É 
COMUTATIVA (AB≠BA), pode haver 
casos que ocorra, mas são específicos. 
 
3A =