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- **Resposta e Explicação:** A integral é \( -\sqrt{1 - x^2} + C \). Utilizamos uma 
substituição trigonométrica para resolver a integral. 
 
18. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x) - x}{x^3} \). 
 - **Resposta e Explicação:** O limite é \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x) - x}{x^3} = \frac{1}{3} 
\). Utilizamos a expansão de Taylor para resolver esse limite. 
 
19. **Problema:** Determine a derivada de \( y = \ln(\sin(x)) \). 
 - **Resposta e Explicação:** A derivada de \( y \) é \( y' = \cot(x) \). Aplicamos a regra da 
derivada para a função logarítmica composta. 
 
20. **Problema:** Encontre a área da região delimitada por \( y = e^x \), \( y = 1 \), \( x = 0 \) 
e \( x = 1 \). 
 - **Resposta e Explicação:** A área é \( e - 1 \). Calculamos a área utilizando integração 
para encontrar a área entre a curva exponencial e as retas. 
 
21. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + x} - x \right) \). 
 - **Resposta e Explicação:** O limite é \( \frac{1}{2} \). Utilizamos técnicas de 
simplificação para resolver esse limite. 
 
22. **Problema:** Determine a derivada de \( f(x) = \frac{\ln(x)}{x} \). 
 - **Resposta e Explicação:** A derivada de \( f(x) \) é \( f'(x) = \frac{1 - \ln(x)}{x^2} \). 
Aplicamos a regra do quociente para derivar a função logarítmica. 
 
23. **Problema:** Encontre a integral \( \int_1^2 \frac{1}{x} \, dx \). 
 - **Resposta e Explicação:** A integral definida \( \int_1^2 \frac{1}{x} \, dx = \ln(2) - \ln(1) 
= \ln(2) \). Calculamos a integral e avaliamos nos limites de integração. 
Entendi! Vou gerar uma série de 100 problemas de Cálculo 2 com respostas e 
explicações. Aqui estão: 
 
1. **Problema:** Calcule a integral indefinida \( \int (3x^2 + 2x - 5) \, dx \). 
 **Resolução:** Aplicando as regras básicas de integração, obtemos \( \int (3x^2 + 2x - 5) 
\, dx = x^3 + x^2 - 5x + C \), onde \( C \) é a constante de integração. 
 
2. **Problema:** Determine a derivada de \( f(x) = \frac{1}{x} + \ln(x) \). 
 **Resolução:** Aplicando a regra do quociente e a regra da derivada do logaritmo, 
temos \( f'(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} \). 
 
3. **Problema:** Encontre a área da região limitada pelas curvas \( y = x^2 \) e \( y = 2x - 
x^2 \). 
 **Resolução:** A área é dada pela integral \( \int_{0}^{2} [(2x - x^2) - x^2] \, dx = 
\frac{16}{3} \). 
 
4. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} \). 
 **Resolução:** Usando a definição de limite fundamental, \( \lim_{x \to 0} 
\frac{\sin(3x)}{x} = 3 \). 
 
5. **Problema:** Determine a série de Taylor da função \( f(x) = e^x \) centrada em \( x = 0 
\). 
 **Resolução:** A série de Taylor é \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \). 
 
6. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( y' + 2y = 3e^{-2x} \). 
 **Resolução:** A solução é \( y(x) = Ce^{-2x} + \frac{3}{2}e^{-2x} \), onde \( C \) é uma 
constante a ser determinada pelas condições iniciais. 
 
7. **Problema:** Calcule \( \int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx \). 
 **Resolução:** A integral \( \int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx = \ln(e) - \ln(1) = 1 \). 
 
8. **Problema:** Determine o raio de convergência da série \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n! 
x^n}{n^n} \). 
 **Resolução:** Aplicando o critério da razão, o raio de convergência é \( e \). 
 
9. **Problema:** Encontre o volume gerado pela rotação da região limitada por \( y = x^2 \) 
em torno do eixo \( y \). 
 **Resolução:** O volume é \( \pi \int_{0}^{1} (x^2)^2 \, dx = \frac{\pi}{5} \). 
 
10. **Problema:** Determine os pontos críticos da função \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \). 
 **Resolução:** Os pontos críticos são \( x = 1 \) e \( x = 3 \).