Leis dos Senos e Cossenos

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Plano de Aula 1: Introdução à Lei dos Senos
Objetivo:
Compreender a Lei dos Senos e sua aplicação na resolução de triângulos.
Habilidades da BNCC:
- (EM13MAT201) Utilizar as relações métricas nos triângulos para resolver problemas práticos.
- (EM13MAT202) Resolver problemas envolvendo triângulos por meio da aplicação da Lei dos Senos.
Materiais:
- Quadro e marcadores
- Projetor (opcional)
- Folhas de exercícios
- Régua e transferidor
Atividades:
1. (5 min) Abertura
 - Apresentação do objetivo da aula.
 - Discussão rápida sobre situações do cotidiano que envolvem triângulos.
2. (15 min) Introdução Teórica
 - Definição de triângulo oblíquo (não retângulo).
 - Apresentação da Lei dos Senos:
 �rac{a}{\sin A} = �rac{b}{\sin B} = �rac{c}{\sin C}
 - Explicação de cada termo e quando usar a Lei dos Senos.
3. (10 min) Exemplificação
 - Resolução passo a passo de um exemplo de triângulo qualquer, encontrando um dos lados ou ângulos desconhecidos utilizando a Lei dos Senos.
 - Exemplo:
 - Dados: a = 7, A = 30°, B = 45°.
 - Encontrar b.
 - Solução:
 �rac{7}{\sin 30^\circ} = �rac{b}{\sin 45^\circ}
 �rac{7}{0,5} = �rac{b}{0,707}
 14 = �rac{b}{0,707}
 b �pprox 9,9
4. (10 min) Prática Guiada
 - Distribuição de uma folha com dois exercícios de aplicação da Lei dos Senos.
 - Resolução em conjunto com a turma.
 - Exercícios:
 1. Dados a = 8, A = 40°, B = 60°. Encontrar b.
 2. Dados b = 10, B = 50°, C = 70°. Encontrar c.
5. (5 min) Conclusão
 - Recapitulação dos pontos principais.
 - Lição de casa: Resolver três exercícios adicionais usando a Lei dos Senos.
Lição de Casa:
1. Dados a = 6, A = 25°, B = 55°. Encontrar b.
2. Dados b = 12, B = 40°, C = 80°. Encontrar c.
3. Dados a = 5, A = 35°, C = 95°. Encontrar c.
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Plano de Aula 2: Introdução à Lei dos Cossenos
Objetivo:
Compreender a Lei dos Cossenos e sua aplicação na resolução de triângulos.
Habilidades da BNCC:
- (EM13MAT201) Utilizar as relações métricas nos triângulos para resolver problemas práticos.
- (EM13MAT203) Resolver problemas envolvendo triângulos por meio da aplicação da Lei dos Cossenos.
Materiais:
- Quadro e marcadores
- Projetor (opcional)
- Folhas de exercícios
- Régua e transferidor
Atividades:
1. (5 min) Abertura
 - Revisão rápida da Lei dos Senos.
 - Apresentação do objetivo da aula sobre a Lei dos Cossenos.
2. (15 min) Introdução Teórica
 - Apresentação da Lei dos Cossenos:
 c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)
 - Explicação de cada termo e quando usar a Lei dos Cossenos, especialmente em triângulos oblíquos.
3. (10 min) Exemplificação
 - Resolução passo a passo de um exemplo de triângulo qualquer, encontrando um dos lados ou ângulos desconhecidos utilizando a Lei dos Cossenos.
 - Exemplo:
 - Dados: a = 5, b = 7, C = 60°.
 - Encontrar c.
 - Solução:
 c^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos(60^\circ)
 c^2 = 25 + 49 - 70 \cdot 0,5
 c^2 = 25 + 49 - 35
 c^2 = 39
 c �pprox 6,2
4. (10 min) Prática Guiada
 - Distribuição de uma folha com dois exercícios de aplicação da Lei dos Cossenos.
 - Resolução em conjunto com a turma.
 - Exercícios:
 1. Dados a = 6, b = 8, C = 45°. Encontrar c.
 2. Dados a = 10, b = 12, C = 30°. Encontrar c.
5. (5 min) Conclusão
 - Recapitulação dos pontos principais.
 - Lição de casa: Resolver três exercícios adicionais usando a Lei dos Cossenos.
Lição de Casa:
1. Dados a = 9, b = 10, C = 60°. Encontrar c.
2. Dados a = 7, b = 11, C = 75°. Encontrar c.
3. Dados a = 5, b = 8, C = 90°. Encontrar c.
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Plano de Aula 3: Aplicações Práticas e Integração das Leis
Objetivo:
Aplicar a Lei dos Senos e a Lei dos Cossenos na resolução de problemas complexos.
Habilidades da BNCC:
- (EM13MAT201) Utilizar as relações métricas nos triângulos para resolver problemas práticos.
- (EM13MAT204) Integrar diferentes conhecimentos matemáticos para resolver problemas em contextos variados.
Materiais:
- Quadro e marcadores
- Projetor (opcional)
- Folhas de exercícios complexos
- Calculadoras
Atividades:
1. (5 min) Abertura
 - Revisão das Leis dos Senos e dos Cossenos.
 - Apresentação do objetivo de integração das duas leis para resolver problemas mais complexos.
2. (10 min) Revisão dos Conceitos
 - Discussão interativa com a turma sobre quando usar cada lei.
 - Comparação e contraste entre as duas leis.
3. (10 min) Resolução de Problemas Complexos
 - Apresentação e resolução passo a passo de um problema complexo que requer o uso combinado das duas leis.
 - Exemplo ENEM:
 - Questão: Em um triângulo ABC, os lados a, b e c medem, respectivamente, 7 cm, 9 cm e 10 cm. Calcule o valor do ângulo θ oposto ao lado c.
 - Solução:
 - Usando a Lei dos Cossenos:
 10^2 = 7^2 + 9^2 - 2 \cdot 7 \cdot 9 \cdot \cos(	heta)
 100 = 49 + 81 - 126 \cos(	heta)
 100 = 130 - 126 \cos(	heta)
 126 \cos(	heta) = 30
 \cos(	heta) = �rac{30}{126}
 \cos(	heta) = �rac{5}{21}
 - Calculando o ângulo:
 	heta �pprox 76^\circ
4. (15 min) Prática Guiada
 - Distribuição de uma folha com dois problemas complexos.
 - Resolução em grupos, com auxílio do professor.
 - Exercícios:
 1. Em um triângulo ABC, os lados a, b e c medem 8 cm, 6 cm e 10 cm, respectivamente. Calcule o valor do ângulo oposto ao lado a.
 2. Em um triângulo PQR, os lados p, q e r medem 12 cm, 15 cm e 18 cm, respectivamente. Calcule o valor do ângulo oposto ao lado r.
5. (5 min) Conclusão
 - Discussão dos resultados dos grupos.
 - Recapitulação das aplicações práticas das duas leis.
 - Lição de casa: Pesquisa sobre aplicações reais das Leis dos Senos e dos Cossenos na engenharia e na navegação.
Lição de Casa:
1. Em um triângulo XYZ, os lados x, y e z medem 7 cm, 8 cm e 11 cm, respectivamente. Calcule o valor do ângulo oposto ao lado z.
2. Em um triângulo DEF, os lados d, e e f medem 9 cm, 12 cm e 15 cm, respectivamente. Calcule o valor do ângulo oposto ao lado f.
3. Faça uma pesquisa sobre como as Leis dos Senos e dos Cossenos são utilizadas na navegação e na engenharia civil.