dia de aula -AC

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97. \( \log_{4}(x^2 - 3x) = 1 \). Qual é o valor de \( x \)? 
 - **Resposta e explicação:** \( x = 3 \) ou \( x = 2 \). 
 
98. \( \log_{3}(x^2 - 1) = 2 \). Descubra \( x \). 
 - **Resposta e explicação:** \( x = 2 \) ou \( x = -2 \). 
 
99. \( \log_{5}(x + 1) = 2 - \log_{5}(x - 1) \). Calcule \( x \). 
 - **Resposta e explicação:** \( x = 2 \). 
 
100. \( \log_{2}(x^2 - 7x + 12) = 1 \). Encontre \( x \). 
 - **Resposta e explicação:** \( x = 4 \) ou \( x = 3 \). 
 
Espero que essa lista de problemas e soluções te ajude a praticar logaritmos de maneira 
abrangente! 
Claro, vou gerar uma série de problemas matemáticos desafiadores para você. Aqui estão 
100 problemas únicos, cada um com resposta e explicação: 
 
1. **Problema**: Determine o valor de \( \sqrt{2024} \) arredondado para o inteiro mais 
próximo. 
 - **Resposta**: \( \sqrt{2024} \approx 45 \) 
 - **Explicação**: Calculando \( \sqrt{2024} \approx 44.94 \), o inteiro mais próximo é 45. 
 
2. **Problema**: Qual é o valor de \( \frac{2024!}{2023!} \)? 
 - **Resposta**: \( 2024 \) 
 - **Explicação**: Simplificando \( \frac{2024!}{2023!} = 2024 \). 
 
3. **Problema**: Se \( x^3 - 4x^2 + 5x - 2 = 0 \) possui uma raiz \( \alpha \), determine \( 
\alpha^2 + \frac{1}{\alpha} \). 
 - **Resposta**: \( 3 \) 
 - **Explicação**: Pelo teorema de Vieta, \( \alpha^3 - 4\alpha^2 + 5\alpha - 2 = 0 \), 
então \( \alpha^2 + \frac{1}{\alpha} = 3 \). 
 
4. **Problema**: Calcule o valor de \( \sin 15^\circ \). 
 - **Resposta**: \( \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \) 
 - **Explicação**: Utilizando a fórmula de ângulo médio, \( \sin 15^\circ = \sin(45^\circ - 
30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ \). 
 
5. **Problema**: Determine o valor de \( \int_0^\infty \frac{x^3}{e^x - 1} dx \). 
 - **Resposta**: \( 6 \cdot \frac{\pi^4}{15} \) 
 - **Explicação**: Utilizando a série de Taylor para \( \frac{x^3}{e^x - 1} \) e a relação com 
a função zeta de Riemann. 
 
6. **Problema**: Encontre todos os valores de \( x \) que satisfazem \( \log_2(x-3) + 
\log_2(x-1) = 2 \). 
 - **Resposta**: \( x = 5 \) 
 - **Explicação**: Convertendo a equação logarítmica em forma exponencial e 
resolvendo para \( x \). 
 
7. **Problema**: Determine o número de divisores de \( 2024 \) que são múltiplos de \( 4 
\). 
 - **Resposta**: \( 8 \) 
 - **Explicação**: Fatorando \( 2024 = 2^3 \times 3 \times 13^2 \) e contando os divisores 
múltiplos de \( 4 \). 
 
8. **Problema**: Se \( \tan \theta = \frac{1}{2} \) e \( \sin \theta > 0 \), encontre \( \cos 
\theta \). 
 - **Resposta**: \( \frac{\sqrt{5}}{5} \) 
 - **Explicação**: Utilizando a identidade \( \tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta \) e a 
informação sobre \( \sin \theta > 0 \). 
 
9. **Problema**: Se \( a + b + c = 5 \), \( ab + bc + ca = 10 \), e \( abc = 4 \), determine \( a^2 
+ b^2 + c^2 \). 
 - **Resposta**: \( 21 \) 
 - **Explicação**: Utilizando identidades simétricas e as relações entre as somas e 
produtos. 
 
10. **Problema**: Se \( \log_{10} (x+1) + \log_{10} (x-1) = 2 \), determine \( x \). 
 - **Resposta**: \( 10 \)