Máximo de Área em Cercado

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Situação 2
Cerca para cavalos
Um fazendeiro deseja construir um cercado em for-
ma de retângulo para colocar cavalos. Ele dispõe de 
200 metros de cerca e deseja utilizar toda a cerca, por-
tanto, a medida de perímetro do cercado deverá ser 
200 metros. Além disso, ele deseja que a medida de 
área cercada seja a maior possível. Então, ele analisa 
algumas possibilidades.
•	 1a opção: Construir uma área retangular com 2 la-
dos com medidas de comprimento iguais a 10 m e 
2 lados com medidas de comprimento iguais a 90 m.
•	 2a opção: Construir uma área retangular com 2 la-
dos com medidas de comprimento iguais a 20 m e 
2 lados com medidas de comprimento iguais a 80 m.
•	 3a opção: Construir uma área retangular com 2 lados com medidas de comprimento iguais a 30 m e 
2 lados com medidas de comprimento iguais a 70 m.
	a) Qual opção apresentada proporciona a maior medida de área? Qual é a medida dessa área?
	b) Existe algum par de medidas de comprimento dos lados do cercado tal que a medida de área seja máxima? 
Para responder a essa questão, faça no caderno testes com alguns pares possíveis, além das opções dadas. 
Quanto mede essa área máxima?
	 c) Qual é o formato do cercado quando ele tem área máxima?
A 3a opção. 2 100 m2.
Sim. No cercado com lados de medidas de comprimento de 50 m 
e 50 m. A medida de área máxima é 2 500 m2.
Quadrado.
Situação 3
Preço da gasolina
Um posto de combustível, no qual o preço do litro da ga-
solina é R$ 4,00, costuma vender 10 000 litros de gasolina por 
dia. Diante das variações econômicas do país, o posto pre-
cisará aumentar o preço do litro da gasolina, mas sabe que, 
para cada 1 centavo de aumento, o posto vende 100 litros a 
menos por dia. Ao analisar o caso, o setor financeiro observa 
que o valor total recebido com as vendas da gasolina em fun-
ção do aumento no preço do litro, em centavos, corresponde 
a uma função obtida pelo produto do preço do litro e a quan-
tidade de litros vendidos.
	a) Qual expressão indica o preço do litro?
	b) Qual expressão indica a quantidade de litros vendidos por 
dia?
	 c) Escreva no caderno a lei da função que indica o valor total 
recebido com as vendas por dia nesse posto.
4 1 0,01x
10 000 2 100x
F(x) 5 2x
2 2 300x 1 40 000
A flutuação dos preços em postos de combustível 
reflete não só a busca por valores que aumentem 
o lucro, como também as variações de preço da 
matéria-prima dos combustíveis, como cana-de-
açúcar e petróleo.
K
a
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n
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Natchapon Srihon/Shutterstock
Não escreva no livro.
As imagens não 
estão representadas 
em proporção
Cavalo em fazenda. O cálculo de medidas de área é 
importante na determinação do espaço necessário para 
melhor circulação e vivência de animais criados em 
fazendas.
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Explorando a ideia de função quadrática
Você já viu, no Ensino Fundamental, que o número d de diagonais em um polígono 
convexo depende do número n de lados desse polígono. Vamos relembrar.
1. Quantas diagonais tem:
	a) um triângulo?
	b) um quadrilátero?
	c) um pentágono?
	d) um hexágono?
2. Quantas diagonais partem de cada vértice de:
	a) um triângulo?
	b) um quadrilátero?
	c) um pentágono?
	d) um hexágono?
	e) um polígono convexo de n lados?
3. Em um polígono convexo de n lados, se multiplicarmos o número de vértices pelo número de diagonais que partem 
de cada vértice, obteremos o número de diagonais desse polígono? Se sim, justifique. Caso contrário, indique como 
obter a expressão correta da função d que expressa o número d de diagonais em função de n.
4. Teste a expressão obtida na atividade anterior com os valores obtidos na atividade 1 e, observando os valores de d(3), 
d(4), d(5) e d(6), responda: a função d é afim? Por quê?
Nenhuma.
2 diagonais.
5 diagonais.
9 diagonais.
Nenhuma.
1 diagonal.
2 diagonais.
3 diagonais.
(n – 3) diagonais.
d(3) 5 0, d(4) 5 2, d(5) 5 5 e d(6) 5 9. Professor, espera-se que 
o estudante perceba que, como d(n) não tem uma variação linear, d não é uma função afim.
Explore para descobrir
Não escreva no livro.
3. Não. Espera-se que os estudantes respondam que o produto n ? (n 2 3) fornece o dobro do 
número de diagonais do polígono, pois, nesse cálculo, cada diagonal está sendo considerada 2 
vezes. Por isso, a expressão correta para obter o número de diagonais de um polígono de n lados é 
d(n) 5 
( 2 )n n 3
2
.
A expressão que relaciona o número d de diagonais em um polígono convexo em 
função do número n de lados desse polígono é a lei de uma fun•‹o quadr‡tica dada 
por:
d(n) 5 
n n n n3
2 2
3
2
2( 2 )
5 2 , sendo n um número natural maior do que ou igual a 3.
Neste caso, o domínio da função é D (d) 5 {n é N; n . 3}.
Fique atento
As situações apresentadas nas páginas 78 e 79 também são modeladas por fun-
ções quadráticas, assunto que você estudará ao longo deste capítulo.
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A diagonal de um polígono convexo é um segmento de reta que liga dois vértices não 
consecutivos do polígono.
Fique atento
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