Estudo de Quadriláteros

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MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
QUADRILÁTEROS 
Prof. Wellington Nishio 
QUADRILÁTEROS 
Definição 
Sejam A, B, C e D quatro ponto de um mesmo plano, 
todos distintos e três não colineares. Se os segmentos 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ 𝑒 𝐷𝐴̅̅ ̅̅ interceptam-se apenas nas 
extremidades, a reunião desses quatro segmentos é 
um quadrilátero. 
 
Nosso objeto de estudo será o quadrilátero convexo. 
 
Elementos de um Quadrilátero 
 
 
 
 
 
 
 
Soma dos Ângulos Internos e Externos 
Em um quadrilátero, a soma dos ângulos internos e 
externos é igual a 360º. 
 
Quadriláteros Notáveis 
São os principais quadriláteros objetos de nosso 
estudo, pois possuem características específicas que 
os diferenciam dos demais. 
São eles: paralelogramo, retângulo, quadrado, losango 
e trapézio. 
 
Paralelogramo 
Quadrilátero convexo que possui os lados opostos 
paralelos. 
 
Propriedades do Paralelogramo 
• Os lados paralelos são iguais. 
• Os ângulos opostos são iguais. 
• A soma de dois ângulos consecutivos é igual a 
180º. 
• As diagonais possuem encontram-se no ponto 
médio delas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Retângulo 
Um quadrilátero plano convexo é um retângulo se, e 
somente se, possui os lados paralelos e quatro ângulos 
congruentes, ou seja, possui 4 ângulos retos. 
 
Propriedades do Retângulo 
• Todas do paralelogramo 
• As diagonais possuem o mesmo tamanho. 
 
Losango 
Um quadrilátero plano convexo é um losango se, e 
somente se, possui dois pares de lados paralelos e os 
quatro lados congruentes. 
 
Propriedades do Losango 
• Todas do paralelogramo. 
• As diagonais são bissetrizes dos ângulos 
internos e perpendiculares entre si. 
 
Quadrado 
Um quadrilátero convexo é um quadrado se, e somente 
se, possui os quatro ângulos congruentes e os quatro 
lados congruentes. 
 
Propriedades do Quadrado 
• Todas do paralelogramo. 
• As diagonais são iguais.(Propriedade do 
Retângulo) 
• As diagonais são bissetrizes dos ângulos 
internos e perpendiculares entre 
si.(Propriedade do Losango) 
 
Observação 
• Todo retângulo é um paralelogramo. 
• Todo losango é um paralelogramo. 
• Todo quadrado é um paralelogramo, retângulo 
e losango. 
 
• 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ 𝑒 𝐷𝐴̅̅ ̅̅ são os lados. 
• �̂�, �̂�, �̂�, �̂� são os ângulos internos. 
• �̂�, 𝑓, �̂�, ℎ̂ são os ângulos externos. 
• 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 𝑒 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ são as diagonais. 
Maneiras de traçar a altura do paralelogramo. 
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Trapézio 
Um quadrilátero plano convexo é um trapézio se, e 
somente se, possui dois lados paralelos. 
 
Em qualquer trapézio, temos o seguinte: 
• Os lados paralelos são as bases do trapézio. 
• �̂� + �̂� = �̂� + �̂� = 180º. 
 
Classificação de um Trapézio quanto ao tamanho 
dos lados 
 
Trapézio Escaleno: Os lados não paralelos não são 
congruentes. 
Trapézio Isósceles: Os lados não paralelos são 
congruentes e os ângulos das bases são congruentes. 
Trapézio Retângulo: Um dos lados não paralelos é 
perpendicular às bases. 
 
Base Média do Trapézio 
Chamamos de base média do trapézio ao segmento 
paralelo às bases, que une os pontos médios dos lados 
não paralelos do trapézio. 
Para calcular a base média, basta calcular a média 
entre as bases. 
 
 
 
Mediana de Euler 
A Mediana de Euler é o segmento que une os pontos 
médios das diagonais de um trapézio e fica localizada 
sobre sua base média. 
Para calcular a Mediana de Euler, basta calcular a 
diferença entre as bases e dividir por 2. 
 
 
Quadrilátero Inscritível 
Todo quadrilátero é inscritível quando a soma dos 
ângulos internos opostos é igual a 180º. 
 
 
Quadrilátero Circunscritível 
Um quadrilátero convexo é circunscrito a uma 
circunferência se, e somente se, seus quatro lados são 
tangentes à circunferência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema de Ptolomeu 
Num quadrilátero inscritível, o produto das diagonais é 
igual à soma dos produtos dos lados opostos. 
 
Teorema de Hiparco 
Num quadrilátero inscritível, a razão das diagonais é a 
razão entre a soma dos produtos dos lados que 
concorrem com as respectivas diagonais. 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. Um polígono convexo ABCD é tal que apenas dois 
de seus lados são paralelos entre si e os outros dois 
lados são congruentes. Dessa forma, pode-se dizer que 
ABCD é um 
a) losango 
b) paralelogramo 
c) trapézio isósceles 
d) trapézio retângulo 
 
2. Um trapézio de bases x + 3 e 4x – 3, tem base média 
2x + 2. A menor base mede 
a) 7 
b) 8 
c) 9 
d) 10 
 
𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑀é𝑑𝑖𝑎(𝑀𝑁̅̅ ̅̅ ̅) =
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ + 𝐶𝐷̅̅ ̅̅
2
 
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝐸𝑢𝑙𝑒𝑟(𝑃𝑄̅̅ ̅̅ ) =
𝐶𝐷̅̅ ̅̅ − 𝐴𝐵̅̅ ̅̅
2
 
𝛼 + 𝛾 = 180º 
𝛿 + 𝛽 = 180º 
 
 
Teorema de Pitot: Se um quadrilátero convexo é 
circunscrito a uma circunferência, a soma de dois 
lados opostos é igual à soma dos outros dois. 
𝑨𝑩̅̅ ̅̅ + 𝑪𝑫̅̅ ̅̅ = 𝑨𝑫̅̅ ̅̅ + 𝑩𝑪̅̅ ̅̅ 
pq = ac + bd 
𝒑
𝒒
=
𝒂. 𝒅 + 𝒃. 𝒄
𝒂. 𝒃 + 𝒄. 𝒅
 
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3. Seja o paralelogramo ABCD. Sabendo que AP e DP 
são bissetrizes dos ângulos internos  e D̂ , 
respectivamente, o valor de x é 
 
a) 55º b) 45º c) 30º d) 15º 
 
4. Seja ABCD um trapézio isósceles da figura. A soma 
das medidas dos ângulos ˆ ˆA e C é 
 
a) 90º b) 120º c) 150º d) 180º 
 
5. Os ângulos da base maior de um trapézio são 
complementares, e a diferença entre suas medidas é 
18º. O maior ângulo desse trapézio mede 
a) 100º b) 126º c) 144º d) 152º 
 
6. No paralelogramo ABCD, AD DE= . A medida de 
ˆDEA é 
 
a) 50º 
b) 55º 
c) 60º 
d) 65º 
 
7. Dois quadrados são tais que um deles tem como lado 
a diagonal do outro, que por sua vez tem o lado 
medindo 10 cm. O módulo da diferença entre as 
medidas de suas diagonais, em cm, é 
a) ( )2210 − 
b) ( )1210 − 
c) ( )225 − 
d) ( )125 − 
 
8. A figura ABCD é um quadrado, e ABE é um triângulo 
equilátero. Nessas condições, a medida do ângulo ˆCDE
é 
 
a) 5°. b) 10°. c) 15°. d) 20°. 
 
9. Num quadrilátero convexo, a soma de dois ângulos 
internos consecutivos é 190º. O maior dos ângulos 
formados pelas bissetrizes internas dos outros dois 
ângulos desse quadrilátero mede 
a) 105º 
b) 100º 
c) 95º 
d) 85º 
 
10. Em um losango, uma diagonal forma um ângulo de 
58º com um de seus lados. A medida do menor ângulo 
desse losango é 
a) 58º 
b) 64º 
c) 116º 
d) 122º 
 
11. Seja ABCD um quadrado, ABE um triângulo 
equilátero e E um ponto interior ao quadrado. O ângulo 
A

E D mede, em graus, 
a) 55 
b) 60 
c) 75 
d) 90 
 
12. Considere um paralelogramo retângulo em que a 
base, a altura e a diagonal formam uma progressão 
aritmética de razão igual a 2. Com base nessa 
informação, conclui-se que a diagonal desse 
paralelogramo mede, em unidades de comprimento: 
a) 5 
b) 9,5 
c) 10 
d) 12,5 
e) 15 
 
13. Em um trapézio, a base média mede 6,5 cm e a 
base maior, 8 cm. A base menor desse trapézio mede, 
em cm, 
a) 4. 
b) 5. 
c) 6. 
d) 7. 
 
14. Se a base média de um trapézio mede 30 cm e a 
base maior mede 3/2 da menor, então o módulo da 
diferença entre as medidas das bases é: 
a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 
 
15. Dadas as afirmações: 
I- Quaisquer dois ângulos opostos de um quadrilátero 
são suplementares. 
II- Quaisquer dois ângulos consecutivos de um 
paralelogramo são suplementares. 
III- Se as diagonais de um paralelogramo são 
perpendiculares entre si e se cruzam no seu ponto 
médio, então este paralelogramo é um losango. 
Pode-se garantir que 
a) todas são verdadeiras. 
b) apenas I e II são verdadeiras. 
c) apenas I e III são verdadeiras. 
d) apenas II e III são verdadeiras. 
 
 
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16. É correto afirmar que 
a) todo quadrilátero de lados congruentes é um 
quadrado. 
b) os ângulos opostos de qualquer paralelogramo são 
suplementares. 
c) as bissetrizes dos ângulos opostos de qualquer 
paralelogramo são perpendiculares entre si. 
d) os pontos médios doslados consecutivos de todo 
quadrilátero convexo são vértices de um 
paralelogramo. 
 
17. Num trapézio isósceles ABCD as bases AB e CD 
medem, respectivamente, 16 cm e 4 cm. 
Traçando-se EF paralelo às bases, sendo E  AD e F 
 BC, obtém-se os segmentos AE e DE, de modo que 
5
1
DE
AE
= . O comprimento de EF, em cm, é 
a) 8. 
b) 10. 
c) 12. 
d) 14. 
 
18. Se de um retângulo de perímetro 4 e dimensões “x” 
e “y”, x < y, retira-se um quadrado de lado “x”, então a 
área remanescente em função de “x” é 
a) 1 – 2x 
b) 2x – x2 
c) x – 2x2 
d) 2x – 4x2 
 
19. A área de um retângulo, cujas diagonais medem 20 
m cada uma e formam entre si um ângulo de 60º, em 
m2, é 
a) 100 
b) 200 
c) 100 3 
d) 200 3 
 
20. Um trapézio de bases x + 3 e 4x -3 tem base média 
2x + 2. A menor base mede 
a) 7 
b) 8 
c) 9 
d) 10 
 
21. Seja um retângulo de comprimento C e largura L. 
Aumentando-se o comprimento em 1/10 do seu valor, 
para que a área não se altere, a sua largura deverá ser 
igual a: 
a) 
1
10
𝐿 
b) 
10
11
𝐿 
c) 
9
11
𝐿 
d) 
9
10
𝐿 
 
22. Os ângulos da base maior de um trapézio são 
complementares, e a diferença entre suas medidas é 
18°. O maior ângulo desse trapézio mede: 
a) 100° 
b) 126° 
c) 144° 
d) 152° 
 
23. A área de um quadrado, cuja diagonal mede 2√3 
cm, em cm², é igual a: 
a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 
 
24. As bases MQ e NP de um trapézio medem 42 cm e 
112 cm respectivamente. Se o ângulo MQP é o dobro 
de ângulo ˆPNM , então o lado PQ mede: 
a) 154 cm 
b) 133 cm 
c) 91 cm 
d) 77 cm 
e) 70 cm 
 
25. Na figura, ABCD é um quadrado, ADE e ABF são 
triângulos equiláteros. Se os pontos C, A e M são 
colineares, então o ângulo ˆFAM mede: 
a) 75º 
b) 80º 
c) 82º 30’ 
d) 85º 
e) 87º 30’ 
 
 
 
 
26. Na figura abaixo AM = MD e CM = MB. Assinale as 
medidas de  e  , respectivamente: 
a) 50º e 80º 
b) 54º e 80º 
c) 50º e 84º 
d) 54º e 84º 
e) 50º e 76º 
 
 
27. Na figura ABCD é um quadrado e BCE é um 
triângulo equilátero. A medida do ângulo AEB, em 
graus, é: 
a) 30 
b) 49 
c) 60 
d) 75 
e) 90 
 
 
28. A área do quadrado menor, da figura abaixo, vale: 
a) 2 
b) 2 
c) 5 
d) 8 
 
 
 
 
29. Dois vértices de um triângulo equilátero pertencem 
a dois lados de um quadrado cuja a área é 1 m². Se o 
terceiro vértice do triângulo coincide com um dos 
vértices do quadrado, então, a área do triângulo, em m2, 
é: 
a) 2√3 − 1 
b) 2√3 + 1 
c) −3 + 2√3 
d) 3 + 2√3 
 
 
 
 
 
 
 
 
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30. As bases de um trapézio medem 3 cm e 9 cm. Os 
segmentos determinados pelas diagonais do trapézio 
sobre a base média, são proporcionais aos números: 
a) 1, 1, 1 
b) 1, 2, 1 
c) 1, 3, 1 
d) 1, 4, 1 
e) 2, 3 ,4 
 
31. A, B, C e D são vértices consecutivos de um 
quadrado e PAB é um triângulo equilátero, sendo P 
interno ao quadrado ABCD. Qual é a medida do ângulo 
PCB? 
a) 30° 
b) 45° 
c) 60° 
d) 75° 
e) 90° 
 
32. Considere um quadrado ABCD e dois triângulos 
equiláteros ABP e BCQ, respectivamente, interno e 
externo ao quadrado. A soma das medidas dos ângulos 
ADP, BQP e DPQ é igual a: 
a) 270° 
b) 300° 
c) 330° 
d) 360° 
e) 390° 
 
33. Um trapézio retângulo tem bases 4 e 6. A distância 
do ponto de interseção das diagonais ao lado que é 
perpendicular às bases vale: 
a) 2 
b) 2,2 
c) 2,4 
d) 2,6 
e) 2,8 
 
34. OS lados de um paralelogramo medem 4 cm e 6 cm 
e uma de suas diagonais mede 8 cm. O comprimento 
da outra diagonal é: 
a) 2√10 
b) 8 cm 
c) 10 cm 
d) 11 cm 
e) 12 cm 
 
35. Um trapézio ABCD retângulo possui bases AB e CD 
de medidas iguais a 10 e 6 respectivamente. Sabendo 
que a bissetriz do ângulo A intercepta BC no seu ponto 
médio M, a altura do trapézio é igual a: 
 
a) 2√15 
b) 8√15 
c) 6√15 
d) 4√15 
e) 5√15 
36. O número de trapézios distintos que se pode obter 
dispondo de 4, e apenas 4, segmentos de reta 
medindo, respectivamente, 1 cm, 2 cm, 4 cm e 5 cm é: 
a) nenhum 
b) um 
c) dois 
d) três 
e) quatro 
 
37. Um retângulo é obtido unindo-se os pontos médios 
dos lados de um trapézio retângulo ABCD de bases 
AB 32= e CD 8= . A altura BC é igual a: 
a) 8 
b) 10 
c) 12 
d) 16 
e) 20 
 
38. Num trapézio retângulo circunscritível, a soma dos 
dois lados paralelos é igual a 18cm e a diferença dos 
dois outros lados é igual a 2cm. Se r é o raio da 
circunferência inscrita e a é o comprimento do menor 
lado do trapézio, então a soma a + r (em cm) é igual a: 
a) 12 
b) 11 
c) 10 
d) 9 
e) 8 
 
39. Considere um Losango de lado L e área S. A área 
do quadrado inscrito no losango, em função de L e S é: 
a) 
S2L
S4
2
2
+
 
b) 
SL4
S16
2
2
+
 
c) 
SL
S
2
2
+
 
d) 
SL4
S4
2
2
+
 
e) 
S2L
S
2
2
+
 
 
40. Dado um trapézio qualquer, de bases 6 e 8 , traça-
se paralelamente às bases um segmento de medida x 
que o divide em outros dois trapézios equivalentes. 
Podemos afirmar que: 
a) 5,6x = 
b) 34x = 
c) 7x = 
d) 25x = 
e) 5,7x = 
 
41. Numa circunferência inscreve-se um quadrilátero 
convexo ABCD tal que ABC=70°. Se x = ACB + BDC, 
então: 
a) 120° 
b) 110° 
c) 100° 
d) 90° 
e) 80° 
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42. Um trapézio ABCD, retângulo em A e D, possui 
suas diagonais perpendiculares. Sabendo-se que os 
lados AB e CD medem, respectivamente, 2 cm e 18 cm, 
então a área, em desse trapézio mede 2 cm, 
a) 120 
b) 60 
c) 180 
d) 30 
e) 240 
 
43. 
 
O trapézio representado na figura tem bases medindo 
12 cm e 4 cm, e os ângulos internos de base maior 
medem 60º e 30º. 
Seu perímetro, em cm, é igual a: 
a) 16 4 2+ 
b) 16 4 3+ 
c) 20 3 2+ 
d) 20 4 2+ 
e) 20 4 3+ 
 
44. O trapézio ABCD da figura é retângulo de bases AB 
de medida 10 e CD de medida 6. A bissetriz do ângulo 
 intercepta BC no seu ponto médio M. A altura do 
trapézio é igual a: 
a) 2 15 
b) 8 15 
c) 6 15 
d) 4 15 
e) 5 15 
 
 
 
 
 
45. Observe a figura a seguir: 
 
Ela apresenta um trapézio retângulo com bases AB e 
CD. Sabe-se também que as bissetrizes internas com 
vértices em A e em D e o lado BC, se intersectam em 
P. Sendo assim, analise as afirmações a seguir. 
(i) 𝐴�̂�𝐷 = 90º 
(ii) BP = CP 
(iii) AD2 = BP2 + CP2 
(iv) AD = AB + CD 
São verdadeiras: 
a) i, ii e iii apenas 
b) i, ii e iv apenas 
c) i, iii e iv apenas 
d) ii, iii, e iv apenas 
e) i, ii, iii e iv 
 
46. Se um ponto P está no interior de um retângulo 
ABCD, como ilustrado abaixo, e PA = 41 , PB = 5 e 
PC = 13 , quanto mede PD? 
a) 3 3 b) 2 7 c) 26 d) 29 e) 5 
 
47. Seja ABCD um trapézio isósceles com base maior 
AB medindo 15, o lado AD medindo 9 e o ângulo ADB 
reto. A distância entre o lado AB e o ponto E em que as 
diagonais se cortam é 
a) 21/8 
b) 27/8 
c) 35/8 
d) 37/8 
e) 45/8 
 
48. No paralelogramo ABCD da fi gura, os pontos M e 
N são pontos dos lados BC e CD, respectivamente. As 
áreas a, b, c e d são conhecidas. Qual é o valor da área 
x? 
 
a) c + d - a 
b) a + c + d - b 
c) a + c + d - 2b 
d) a + d - b 
e) a + c - d 
 
49. Um trapézio possui diagonais perpendiculares e 
altura 10. Determine a área do trapézio se uma 
diagonal mede 13. 
 
50. A diagonal de um trapézio isósceles mede 16 
metros e forma com a base maior do trapézio um 
ângulo de 45°. Quanto mede a área do trapézio? 
 
GABARITO 
49. 
𝟖𝟒𝟓√𝟔𝟗
𝟔𝟗
 
50. 128 m2 
A) 2, 7, 20, 23, 25, 34, 48 
B) 3, 10, 13, 18, 21, 28, 30, 32, 36, 41, 42, 45, 47 
C) 1, 5, 8, 9, 11, 12, 14, 19, 22, 26, 29, 33, 38, 39 
D) 4, 6, 15, 16, 17, 27, 31, 35, 37, 40, 44, 46 
E) 24, 43