Matemática Interligada Afim, Quadrática, Exponencial e Logaritmica (53)

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2x
x
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4 cm
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103
 33. Realize o estudo do sinal das funções quadráticas 
definidas a seguir.
a ) f ( x ) 5 x
2
2 6x 1 5 
 34. Determine os valores de k para que a função f
dada por f ( x ) 5 x
2
2 4x 2 k seja positiva para 
todo x real.
 35. Observem os quadros abaixo com valores 
para x e seus correspondentes para y.
 36. Resolva em R as inequações a seguir.
a ) 4 x
2
1 3x 2 1 > 0 
b ) 2 x
2
2 6x 2 8 , 0 
c ) 9 > 3 x
2
d ) ( x 1 2 ) 
2
, 3x 1 2 
 37. Determine o menor número natural que satisfaz a 
condição 2x( x 1
1―
2 ) 1 1 . 2( x 1 1 ) .
38. Entre as inequações a seguir, qual é aquela cujo 
conjunto solução é S 5 {x [ R |2 2 , x ,
1―
5 }?
a ) 2 5 x 
2
 1 9x 2 2 . 0 
b ) 5 x
2
1 9x 2 2 > 0 
c ) 5 x
2
2 9x 1 2 < 0 
d ) 5 x
2
1 9x 2 2 , 0 
 40. Escreva uma inequação do tipo ax
2
, c 2 bx . 
Depois, entregue a um colega e peça a ele que 
determine o número de soluções inteiras da 
inequação que você escreveu. Depois, verifi-
que se a resposta dele está correta.
a ) Qual é a relação entre os números x e y ex-
pressos em cada quadro? Representem-nos 
em planos cartesianos. 
b ) Escrevam, para cada quadro, a lei de forma-
ção de uma função que representa os valores 
de x e seus valores correspondentes para y. 
c ) De acordo com com as leis de formação 
que escreveram, de quais quadros repre-
sentam uma função quadrática?
d ) Analisando os valores de x e y nos quadros 
que caracterizam uma função quadrática em 
qual caso a variável y corresponde ao quadra-
do de x? Justifique sua resposta.
e ) Realize o estudo dos sinais das funções 
quadráticas determinadas no item b.
 41. Nas imagens estão representadas as regiões 
limitadas por um triângulo e um retângulo res-
pectivamente.
Qual deve ser o valor de x para que a área da região 
limitada pelo retângulo seja maior do que a área da 
região limitada pelo triângulo?
42. Resolva em R as inequações.
a ) 2 1 1 2 x
2
< 2 x
2
1 x , 2 x
2
2 5x 1 9 
b ) 6 < 2 x
2
2 4x < 5x 2 4 
 43. (UFU-MG) A solução da inequação simultânea 
x 2 1 < 2 x
2
2 1 < 2x 2 1 é:
a ) {x [ R | 2 1 < x , 0 } 
b ) {x [ R | x 5 0 } 
c ) {x [ R | x , 2 } 
 44. Calcule a soma das soluções inteiras da desigual-
dade: x
2
2 7x 2 6 < 2 x
2
1 4x , 2 2 x
2
1 6x 1 15. 
 45. (Vunesp) O conjunto solução da inequação
( x 2 2 )2
, 2x 2 1, considerando como universo o 
conjunto R, está definido por:
a ) 1 , x , 5 
b ) 3 , x , 5 
c ) 2 , x , 4 
d ) 1 , x , 4 
e ) 2 , x , 5 
 46. Em cada item, determine os valores de x [ R que 
satisfazem o sistema.
a ) {
2 2 x
2
2 5x 1 3 . 0
 2―
3
 x 2 1 < 0
 b ) {2 x
2
1 2x 1 8 , 0
 
2 x
2
2 x 2 3 , 0
 
 39. Sejam as funções reais f e g, definidas respectiva-
mente, por f ( x ) 5 23x
2
1 5x e g( x ) 5 4 1 12x . 
Determine os valores de x que tornam f ( x ) , g( x ) .b ) f ( x ) 5 2 x 
2
 1 x 1 2 
xx yy
24 16
23 12
22 8
21 4
0 0
1 24
2 28
3 212
4 216
Quadro
xx yy
24 20
23 13
22 8
21 5
0 4
1 5
2 8
3 13
4 20
Quadro
xx yy
24 16
23 9
22 4
21 1
0 0
1 1
2 4
3 9
4 16
Quadro
d ) {x [ R | 2 2 < x < 2 1 } 
e ) {x [ R | x > 0 } 
33. Veja as respostas na Resolução dos problemas e exercícios na Assessoria pedagógica.
k , 2 4 
Veja a resposta na Resolução 
35. b) Espera-se que os alunos 
respondam que as leis de 
formação que representam 
os quadros A, B e C são, 
respectivamente, 
y 5 2 4x , y 5 x
2
 e 
y 5 x
2
1 4 .
Dos quadros 
B e C.
35. d) Do quadro 
B, pois os valores 
correspondentes 
de y são iguais a x
2
 .
Veja a resposta na Resolução dos problemas e 
exercícios na Assessoria pedagógica. 
36. Veja a resposta na Resolução dos problemas e exercícios na 
Assessoria pedagógica.
dos problemas e exercícios na Assessoria pedagógica. 
2
d
S 5 {x [ R | x , 2 
4―
3
 ou x . 2 1 }
Resposta pessoal. Possível resposta: x
2
 , 9 2 8x
S 5 {x [ R | 2 1 < x , 1 }
S 5 {x [ R | 3 < x < 4 }
b
10
a
S 5 {x [ R | 2 3 , x , 
1―
2
 }
S 5 [
S 5 {x [ R
1
*
 | x . 2 √
―
 2 }
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104
Função quadrática e progressão aritmética
Como vimos no capítulo anterior, uma propriedade da função afim é que ela “trans-
forma” uma progressão aritmética (PA) de razão r, no domínio, em uma PA de razão 
a ?? r , no contradomínio.
Essa propriedade não é válida para funções quadráticas, como podemos verificar no 
exemplo a seguir:
 Propriedade
Uma propriedade da função quadrática é que, dada uma PA de razão r no domínio, as 
diferenças entre os termos consecutivos no conjunto imagem também formam uma PA 
de razão 2 ?? a ?? r 
2
 .
Seja a função f : R é R dada por f ( x ) 5 x 
2
 e a PA ( 1, 4, 7, 10, 13, … ) de razão 3, calcu-
lando f ( 1 ) , f ( 4 ) , f ( 7 ) , f ( 10 ) , f ( 13 ) , … , temos:
Nesse caso, a sequência obtida ( 1, 16, 49, 100, 169, ... ) não caracteriza uma PA, pois a 
diferença entre dois termos consecutivos não é constante.
No entanto, se calcularmos essas diferenças, temos:
• 16 2 1 5 15 • 49 2 16 5 33 • 100 2 49 5 51 • 169 2 100 5 69 
Note que, para esse exemplo, a sequência ( 15, 33, 51, 69, … ) é uma PA de razão 18.
xx 1 4 7 10 13 … 
 ff ( xx ) 1 16 49 100 169 … 
Seja a função g: R é R dada por g ( x ) 5 2 x 
2
 1 3x 1 2 e a PA ( 2 6, 2 2, 2, 6, 10, … ) 
de razão 4, calculando g ( 2 6 ) , g ( 2 2 ) , g ( 2 ) , g ( 6 ) , g ( 10 ) , … , temos:
• ( 2 8 ) 2 ( 2 52 ) 5 44 
• 4 2 ( 2 8 ) 5 12 
• ( 2 16 ) 2 4 5 2 20 
• ( 2 68 ) 2 ( 2 16 ) 5 2 52 
A sequência ( 44, 12, 2 20, 2 52, … ) é uma PA de razão 2 ?? ( 2 1 ) ?? 4 
2
 5 2 32 .
xx 2 6 2 2 2 6 10 … 
 g ( xx ) 2 52 2 8 4 2 16 2 68 … 
 47. Demonstre que dada uma função quadrática f : R é R definida por f ( x ) 5 a x 
2
 1 bx 1 c e uma PA ( x 
1
 , x 
2
 , x 
3
 , … , x 
i
 , … ) 
de razão r, ( f ( x 
2
 ) 2 f ( x 
1
 ) , f ( x 
3
 ) 2 f ( x 
2
 ) , … , f ( x 
i
 ) 2 f ( x 
i21
 ) , … ) é uma PA de razão 2 ?? a ?? r 
2
 .
 48. Dada a PA ( 2 8, 2 5, 2 2, 1, … ) e a função quadrática f dada por f ( x ) 5 x 
2
 2 2x 1 4 , responda:
a ) ( f ( 2 8 ) , f ( 2 5 ) , f ( 2 2 ) , f ( 1 ) , … ) é uma PA?
b ) ( f ( 2 5 ) 2 f ( 2 8 ) , f ( 2 2 ) 2 f ( 2 5 ) , f ( 1 ) 2 f ( 2 2 ) , … ) é uma PA?
Veja a resposta na Resolução dos problemas e exercícios na Assessoria pedagógica.
não
sim
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