Matemática Interligada Afim, Quadrática, Exponencial e Logaritmica (72)

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141
– 3
2
2
2
3
–
I
II
I II∩
Inequação logarítmica
Inequação logarítmica é toda inequação cuja incógnita está no logaritmando, na base ou 
em ambos. Alguns exemplos são:
Para resolver uma inequação logarítmica, reduzimos os dois membros a logaritmos de 
mesma base a ( a . 0 e a Þ 1 ) . Em seguida, aplicamos a seguinte propriedade:
• se a . 1 
 x 
1
 . x 
2
 ⇔ log 
a
 x 
1
 . log 
a
 x 
2
 
Note que o sentido da desigualdade se 
mantém.
• se 0 , a , 1 
 x 
1
 . x 
2
 ⇔ log 
a
 x 
1
 , log 
a
 x 
2
 
Note que o sentido da desigualdade é 
invertido.
1. log ( 2x ) . log 8 
2. log 
5
 ( x 2 12 ) , log 
5
 12 
3. log x 2 log 
1
 ― 
2
 < 
5
 ― 
8
 
4. 
3
 ― 
 log 
7
 ( 10x ) 
 1 log 
7
 ( 2x ) > 2 9 
 R18. Resolva as equações no conjunto dos números 
reais.
a ) log 
x21
 9 5 2 
b ) log 
2
 ( x 2 2 ) 5 3 
c ) log 
5
 ( x 
2
 1 x 2 6 ) 5 log 
5
 ( 3x 1 2 ) 
d ) log 
x22
 ( 3x 2 12 ) 5 1 
e ) log 
3
 
2
 x 1 2 log 
3
 x 5 3 
Resolução
a ) log 
x21
 9 5 2 
Condição de existência: x 2 1 . 0 ä x . 1 e 
x 2 1 Þ 1 ä x Þ 2 
Aplicando a definição de logaritmo:
 log 
x21
 9 5 2 ä ( x 2 1 ) 
2
 5 9 ä
ä x 
2
 2 2x 2 8 5 0 ⟨ 
 x 
1
 5 4
 
 x 
2
 5 2 2
 
A solução da equação deve satisfazer as duas 
condições de existência. Portanto, S 5 {4 } .
b ) log 
2
 ( x 2 2 ) 5 3 
Condição de existência: x 2 2 . 0 ä x . 2 
Aplicando a definição de logaritmo, temos:
 log 
2
 ( x 2 2 ) 5 3 ä 2 
3
 5 x 2 2 ä
ä 8 5 x 2 2 ä x 5 10 
Portanto, a condição de existência é x . 2 .
Agora, resolvemos a equação aplicando a pro-
priedade log 
a
 b 5 log 
a
 c ⇔ b 5 c :
 log 
5
 ( x 
2
 1 x 2 6 ) 5 log 
5
 ( 3x 1 2 ) ä
ä x 
2
 1 x 2 6 5 3x 1 2 ä
ä x 
2
 2 2x 2 8 5 0 ⟨ 
 x 
1
 5 2 2
 
 x 
2
 5 4
 
Somente x 5 4 satisfaz a condição de existên-
cia nesta solução. Portanto, S 5 {4 } .
Como x 5 10 satisfaz a condição de existência, 
S 5 {10 } .
c ) log 
5
 ( x 
2
 1 x 2 6 ) 5 log 
5
 ( 3x 1 2 ) 
Condição de existência:
• x 
2
 1 x 2 6 . 0 ä x , 2 3 ou x . 2 (I)
• 3x 1 2 . 0 ä 3x . 2 2 ä x . 2 
2
 ― 
3
 (II)
S
e
rg
io
 L
. F
il
h
o
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32
4
4
I
II
I II∩
–2
7
–2
7
I
II
I II∩
5
18
5
18
1
4
I
II
I II∩
142
d ) log 
x22
 ( 3x 2 12 ) 5 1 
Condição de existência:
• 3x 2 12 . 0 ä 3x . 12 ä x . 4 (I)
• x 2 2 . 0 ä x . 2 e x 2 2 Þ 1 ä x Þ 3 (II)
 R20. Resolva as inequações.
a ) log 
5
 ( 5x 1 10 ) < log 
5
 45 
b ) log 
 
1
 ― 
3
 
 ( 4x 2 1 ) < 2 
Resolução
a ) log 
5
 ( 5x 1 10 ) < log 
5
 45 
Condição de existência: 
 5x 1 10 . 0 ä x . 2 2 (I)
Nesse caso, as bases dos logaritmos são iguais. 
Como a base é 5 ( a . 1 ) , mantemos a desi-
gualdade e resolvemos a inequação.
 log 
5
 ( 5x 1 10 ) < log 
5
 45 ä 5x 1 10 < 45 ä
ä 5x < 35 ä x < 7 ( II ) 
A solução é dada pela interseção de I e II :
Portanto, a condição de existência é x . 4 .
Resolvendo a equação:
 log 
x22
 ( 3x 2 12 ) 5 1 ä ( x 2 2 ) 
1
 5 3x 2 12 ä 
ä 2 2x 5 2 10 ä x 5 5 
Como x 5 5 satisfaz a condição de existência, 
S 5 {5 } .
e ) ( log 
3
 x ) 
2
 1 2 log 
3
 x 5 3 
Condição de existência: x . 0 
Fazemos log 
3
 x 5 y e substituímos na equação.
 ( log 
3
 x ) 
2
 1 2 log 
3
 x 5 3 ä y 
2
 1 2y 5 3 ä 
ä y 
2
 1 2y 2 3 5 0 ⟨ 
 y 
1
 5 1
 
 y 
2
 5 2 3
 
Como log 
3
 x 5 y , temos:
• log 
3
 x 5 1 ä x 5 3 
1
 ä x 5 3 
• log 
3
 x 5 2 3 ä x 5 3 
23
 ä x 5 
1
 ― 
27
 
Como x 5 3 e x 5 
1
 ― 
27
 satisfazem a condição 
de existência, S 5 { 
1
 ― 
27
 , 3 } .
Não podemos confundir log x 
2
 , que é igual a 2 log x , 
com log 
2
 x , que é igual a ( log x ) ?? ( log x ) .
 R19. Admitindo log 2 5 0,30 e log 3 5 0,48 , calcule o 
valor de x em 10 
2x
 5 6 .
Resolução
Aplicamos o logaritmo decimal em cada membro 
da equação:
 10 
2x
 5 6 ä log 10 
2x
 = log 6 
Resolvendo a equação:
 log 10 
2x
 5 log 6 ä 2x ?? log 10 
 
 
⏟
 
1
 5 log ( 2 ?? 3 ) ä 
ä 2x ?? 1 5 log 2 
 
 
⏟
 
0,30
 1 log 3 
 
 
⏟
 
0,48
 ä 2x 5 0,78 ä x 5 0,39 
Assim, S 5 {x [ R | 2 2 , x < 7 } .
b ) log 
 
1
 ― 
3
 
 ( 4x 2 1 ) < 2 
Condição de existência: 
 4x 2 1 . 0 ä x . 
1
 ― 
4
 (I)
Como a base é 
1
 ― 
3
 ( 0 , a , 1 ) , devemos inver-
ter a desigualdade:
 log 
 
1
 ― 
3
 
 ( 4x 2 1 ) < 2 ä 
ä log 
 
1
 ― 
3
 
 ( 4x 2 1 ) < log 
 
1
 ― 
3
 
 ( 
1
 ― 
3
 ) 
2
 ä 
ä 4x 2 1 ( 
1
 ― 
3
 ) 
2
 ä 4x > 
10
 ― 
9
 ä 
ä x > 
10
 ― 
36
 ä x > 
5
 ― 
18
 (II) 
 desigualdade 
 invertida 
A solução é dada pela interseção de I e II :
Assim, S 5 {x [ R | x > 
5
 ― 
18
 } .
Peça aos alunos que 
esbocem em um mesmo 
plano cartesiano o 
gráfico das funções f ( x ) 5 log x 
2
 e f ( x ) 5 2logx e verifiquem, na 
prática, se os gráficos de f e g coincidem.
Se
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Ilu
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