Funções Injetivas, Sobrejetivas e Bijetivas

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Formalizando os conceitos de função injetiva, 
função sobrejetiva e função bijetiva
Como você já viu no capítulo anterior, dados dois conjuntos não vazios A e B, uma função F de A em B é 
uma relação que associa cada elemento x é A a um único elemento y é B. Nas situações das páginas 83 e 
84, dizemos que a função que relaciona os valores das grandezas é do tipo logarítmica.
Antes de explorar esse tipo de função, vamos conhecer as características de alguns tipos de função.
Função injetiva
Uma função F: A ñ B é injetiva (ou injetora) quando elementos diferentes de A são transformados por F 
em elementos diferentes de B, ou seja, não há elemento em B que seja imagem de mais de um elemento 
de A. Denotamos assim: 
F: A ñ B é injetiva quando: x1 = x2 em A ~ F(x1) = F(x2) em B.
Disso, obtemos:
F: A ñ B é injetiva quando: F(x1) 5 F(x2) em B ~ x1 5 x2 em A.
Você estudou que, na função exponencial F: R ñ R1
* dada por F(x) 5 ax, com a é R, a > 0 e a = 1, 
temos F(x1) 5 F(x2) ~ x1 5 x2, ou 5a ax x1 2 ~ x1 5 x2. Ou seja, a função exponencial é injetiva.
Fique atento
Veja alguns exemplos da ideia de injetividade de funções usando conjuntos.
A B A B A B
Função injetiva. Função injetiva. Função não injetiva.
Não há elemento em B que seja 
imagem de mais de um elemento de A.
Não há elemento em B que seja 
imagem de mais de um elemento de A.
Há 1 elemento em B que é imagem 
de 2 elementos distintos de A.
Agora, acompanhe o exemplo da função F: R ñ R dada por F(x) 5 2x. Essa função é injetiva, pois faz 
corresponder a cada número real x o dobro 2x, e não existem dois números reais diferentes que tenham o 
mesmo dobro. 
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Escolha alguns valores para x e mostre que a função F: R ñ R dada por F(x) 5 x2 2 1 não é injetiva. 
Explore para descobrir
Não escreva no livro.
Exemplo de resposta: Para x 5 1, temos F(1) 5 12 2 1 5 0, e para x 5 21, temos F(21) 5 (21)2 2 1 5 0. Nesse caso, para 2 valores 
diferentes de x encontramos um mesmo valor F(x) para a função.
Professor, se os estudantes apresentarem dificuldades em chegar a uma conclusão após as explorações que criarem, dê a eles uma 
dica: Escolha 2 números opostos e calcule o valor de F(x) para cada um deles. 85
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Também podemos verificar se uma função é injetiva olhando o gráfico dela em um 
plano cartesiano. Sabemos que, se a função é injetiva, não há elemento do conjunto 
imagem que seja imagem de mais de um elemento do domínio. Assim, imaginando 
linhas horizontais intersectando o gráfico, essas linhas só podem cruzar o gráfico uma 
única vez para cada valor de y. Acompanhe os exemplos.
	a) As linhas horizontais intersectam o 
gráfico mais de uma vez.
y
x
Então, a função não é injetiva.
	b) As linhas horizontais nunca intersec-
tam o gráfico mais de uma vez. 
y
x
Então, a função é injetiva.
Função sobrejetiva
Uma função F: A ñ B é sobrejetiva (ou sobrejetora) quando, para qualquer ele-
mento y é B, encontramos um elemento x é A tal que F(x) 5 y. Ou seja, F é sobreje-
tiva quando todo elemento de B é imagem de pelo menos um elemento de A, isto é, 
quando Im(F) 5 B. 
F: A ñ B é sobrejetiva quando Im(F) 5 B.
Veja alguns exemplos da ideia de sobrejetividade de funções usando conjuntos.
A B A B A B
Função sobrejetiva.
Im(F) 5 B
Função sobrejetiva.
Im(F) 5 B
Função não sobrejetiva.
Há elementos em B sem correspondente 
em A; logo, Im(F) = B.
Agora, acompanhe os exemplos. 
	a) A função F: R ñ R dada por F(x) 5 x 1 2 é sobrejetiva, pois todo elemento de R 
é imagem de um elemento de R por essa função. Por exemplo: para a imagem 
F(x) 5 5, temos que x 5 3; para a imagem F(x) 5 0, temos que x 5 22.
	b) A função F: R ñ R1
* dada por F(x) 5 2x é sobrejetiva, pois o domínio é R, o con-
tradomínio é R1
* e o conjunto imagem também é R1
* .
Toda função exponencial F: R ñ R1
* dada por F(x) 5 ax, com a é R, a > 0 e a = 1, é sobrejetiva.
Fique atento
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Observe as 
representações 
gráficas de funções 
exponenciais que você 
construiu no capítulo 
anterior. Imagine 
linhas horizontais e 
perceba que cada 
uma delas sempre 
intersecta o gráfico 
em um único ponto.
Reflita
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