Fórmula do Volume do Cone

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127
A
A
1
A
A
2
H
h
r
O
h
2
2
9
c
m
10 cm
r
O volume de um cone é igual à terça parte do produto da 
área da base pela altura.
 V cone 5 
 A 
b
 ?? h
 ― 
3
 
 Volume do cone
Neste tópico, vamos determinar uma fórmula para cal-
cular o volume de um cone, assim como feito para as outras 
figuras geométricas espaciais estudadas até o momento. 
Consideremos um cone qualquer de altura H e área da 
base A contida em um plano α . Agora, imagine um plano ho-
rizontal β paralelo a α que intersecta o cone a uma distância 
h de seu vértice, determinando nele uma seção de área A 
1
 . É 
possível demonstrar que A 
1
 e a base A do cone são regiões 
semelhantes, cuja razão de proporcionalidade é h
 ― 
H
 .
• Observando a imagem e considerando o que você estudou até o momento, que estra-
tégia poderia ser utilizada para calcular o volume desse cone?
• Junte-se a um colega e encontrem uma maneira de mostrar que o volume de um cone 
qualquer é igual à terça parte do produto da área da base pela altura.
De modo geral:
 R9. Calcule o volume de um cone cuja geratriz tem 2 √ 
―
 29 cm de comprimento e cuja altura 
é 10 cm.
Resolução
Com os dados do problema, podemos calcular o comprimento do raio da base 
por meio do teorema de Pitágoras.
 g 
2
 5 r 
2
 1 h 
2
 ä ( 2 √ 
―
 29 ) 
2
 5 r 
2
 1 10 
2
 ä r 
2
 5 4 ?? 29 2 100 ä
ä r 
2
 5 16 ⟨ 
 r 1 5 4
 
 r 2 5 2 4 (não convém)
 
Conhecido o comprimento do raio, calculamos o vo lume do cone.
 V 5 
p r 
2
 ?? h
 ― 
3
 5 
3,14 ?? 4 
2
 ?? 10
 ― 
3
 5 
502,4
 ― 
3
 . 167,47
 Portanto, o volume do cone é, aproximadamente, 167,47 cm3.
Na resolução das tarefas desta seção, quando necessário, foi considerado p 5 3,14 .
Visto que a base do cone é um círculo de raio r e área p r 2 , podemos 
escrever essa fórmula da seguinte maneira:
 V cone 5 
 A 
b
 ?? h
 ― 
3
 ä V cone 5 p r 2 ?? h
 ― 
3
 
Resposta pessoal. Espera-se 
que os alunos digam, com 
Partindo da estratégia apresentada na primeira questão, temos um cone e uma pirâmide apoiados em um plano α , 
ambos de altura H e área da base igual a A. Se um plano horizontal β paralelo a α intersecta o cone e a pirâmide a uma 
uma pirâmide com altura H 
e área da base igual a A.
distância h de seus vértices, determinando seções de áreas A 
1
 e A 
2
 , então temos: 
 A 
1
 
 ― 
A
 5 
 A 
2
 
 ― 
A
 5 ( 
h
 ― 
H
 ) 
2
 . Assim, 
 A 
1
 5 A 
2
 , e, pelo princípio de Cavalieri, o cone 
e a pirâmide possuem volumes iguais. Como vimos no capítulo 
anterior, o volume da pirâmide é igual a 
V 
pirâmide
 5 
 A 
b
 ?? h
 ― 
3
 . Dessa maneira, o volume do cone também é igual 
a V 
cone
 5 
 A 
b
 ?? h
 ― 
3
 , isto é, a terça parte do produto da área da base 
pela altura, como 
queríamos mostrar.
base no princípio de Cavalieri estudado anteriormente, 
que construiriam, ao lado do cone e apoiada no plano α , 
S
e
rg
io
 L
. F
il
h
o
S
e
rg
io
 L
. F
il
h
o
R
a
fa
e
l L
. G
a
io
n
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2
5
 c
m
17 cm
15 cm
12 cm
8 cm
8 cm
6 cm
6
 c
m
I II
128
 38. Calcule o volume dos cones retos indicados.
a ) 
 39. Determine a altura de um cone reto, sabendo que 
o comprimento de seu diâmetro é 20 cm e seu 
volume é igual ao de um cilindro reto com 19 cm de 
altura e cujo comprimento do raio da base é 5 cm.
 40. Qual é o volume de um cone equilátero cujo diâ-
metro da base tem 18 cm de comprimento?
 41. Na imagem, está represen-
tado um reservatório de 
água. Note que ele é com-
posto de uma parte cujo 
formato lembra um cilindro 
reto e de outra parte que 
lembra um cone reto. Consi-
derando as indicações da fi-
gura e desconsiderando a 
espessura das partes, calcule:
a ) o volume da parte cônica 
desse reservatório.
b ) a capacidade desse reservatório em litros.
c ) a área da superfície externa desse reservatório.
b ) 42. (UFMT) Admita que os interiores dos reci-
pientes I e II da figura tenham, respec-
tivamen te, as formas de um cilindro circular 
reto e de um cone circular reto, de áreas das 
bases iguais e alturas iguais. Sabe-se que o 
recipiente I está com a metade de sua capa-
cidade ocupada por água.
 R10. Qual é o volume do cone obtido pela rotação, em relação ao menor lado, de um triângulo 
re tângulo com catetos medindo 6 cm e 8 cm?
Resolução
Rotacionando esse triângulo em relação ao lado menor, obtemos um cone reto de altura 6 cm e 
raio 8 cm. Calculando o volume desse cone, temos:
 V 5 
p r
2
?? h
―
3
 5 
3,14 ?? 8 
2
?? 6
―
3
 5 401,92
Portanto, o volume desse cone é, aproximadamente, 401,92 cm3.
Não escreva no livro.
Na resolução das tarefas desta seção, quando necessário, considere p 5 3,14 .
Se toda a água do recipiente I for despejada 
no recipiente II, pode-se afirmar:
a ) Todo o recipiente II será preenchido e so-
brará água correspondente a 
1
―
3
 da capaci-
dade do recipiente I.
b ) Todo o recipiente II será preenchido e so-
brará água correspondente a 
1
―
6
 da capaci-
dade do recipiente I.
c ) Faltará água correspondente a 
1
―
6
 da capa-
cidade do recipiente I para preencher todo 
o recipiente II.
d ) Faltará água correspondente a 
1
―
3
 da capa-
cidade do recipiente I para preencher todo 
o recipiente II.
e ) Todo o recipiente II será preenchido e não 
sobrará água no recipiente I.
2 m
3 m
0,5 m
aproximadamente 5 978,36 cm 
3
aproximadamente 
565,2 cm 
3
aproximadamente 0,52 m 
3
 25,5 m 
2
9 940 L
aproximadamente 14,25 cm
aproximadamente 1 321,72 cm 
3
b
Se achar necessário, oriente os alunos a utilizar uma calculadora durante a 
resolução das tarefas desta seção, a fim de auxiliá-los na execução dos cálculos.
S
e
rg
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 L
. F
il
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Il
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s:
 S
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h
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R
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