Matemática Interligada Matrizes e Geometria Analítica (37)

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 Escalonando um sistema linear
Neste tópico, iremos estudar algumas maneiras de obter um sistema linear escalonado a 
partir de um sistema linear dado. Para isso, faremos uso de algumas operações básicas e de 
propriedades vistas anteriormente.
1. Vamos escalonar e resolver o sistema 
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
x 1 y 1 z 5 23
 2x 1 y 1 3z 5 9 
3x 1 y 2 2z 5 214
.
Nesse caso, o 
sistema 
escalonado obtido 
é equivalente ao 
sistema inicial. 
Assim, ao 
resolvermos o 
sistema 
escalonado, 
também estamos 
resolvendo o 
sistema dado 
inicialmente.
Além disso, vale 
lembrar que a 
cada etapa do 
escalonamento de 
um sistema, 
obtemos sistemas 
equivalentes ao 
inicial.
Para escalonar um sistema linear, as operações básicas são:
• trocar a ordem das equações do sistema;
• substituir uma equação do sistema por outra equação, resultante de sua soma com 
um múltiplo de outra equação do sistema.
• multiplicar qualquer equação por um número diferente de zero.
Podemos verificar que esse sistema é possível e determinado. Dessa forma, basta 
determinar o valor de z, y e x.
• 2y 1 4z 5 6 ä 2y 1 4 ?? ( 2 1 ) 5 6 ä y 5 5 
• x 1 y 1 z 5 2 3 ä x 1 5 1 ( 2 1 ) 5 2 3 ä x 5 2 7 
 Logo, a solução do sistema é a terna ( 2 7, 5, 2 1 ) . 
x y z
x y
x y z
x y+ +x y+ +x y = −
− +x y− +x y + =
= −

















⇒
+x y+x y3
3 9+ =3 9+ =z+ =3 93 9+ =
3 2x y3 2+ −3 2x y+ −x y3 2+ − 14
+ =++ =+ −
+ =
= −

















+ =z+ =
y z+ =y z+ =
x y z
3
2 4+ =2 4+ =y z2 4+ =y z2 4+ =2 4y z 6
3 2+ −3 2x y3 2+ −x y+ −3 2x y 14
1
Inicialmente, anulamos o coeficien-
te da incógnita x da 2a equação. Para 
isso, substituímos a 2a equação pela 
soma dela com a 1a.
x y z
y z
x y z
x y z
y z
y z
3 3
2 4 6
3 2 14
3
2 4 6
2 5 5
( )+ + = − ⋅ −
+ =
+ − = −




⇒
+ + = −
+ =
− − = −




1
Agora, anulamos o coeficiente 
da incógnita x da 3a equação. 
Para isso, substituímos a 3a equa-
ção pela soma dela com a 1a, mul-
tiplicada por ( 2 3 ) .
x y z
y z
y z
x+ + = −
+ =
− − = −





⇒
3
2 4 6
2 5 5
++ + = −
+ =
− =
(I)
(II)
y z
y z
z
3
2 4 6
1 ((III)




1
Para terminar de escalonar o sistema, 
anulamos o coeficiente da incógnita y
da 3a equação. Para isso, substituí-
mos a 3a equação pela soma dela 
com a 2a.
2. Vamos verificar se o sistema 
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
x 2 2y 2 z 5 10
 2 3x 1 y 2 z 5 2 5 
2x 2 3y 2 3z 5 9
 tem solução.
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
 x 2 2y 2 z 5 10 ? ( 3 ) 
 2 3x 1 y 2 z 5 2 5 
2x 2 3y 2 3z 5 9
 ä 
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
x 2 2y 2 z 5 10
 2 5y 2 4z 5 25 
2x 2 3y 2 3z 5 9 
 ä
ä 
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
x 2 2y 2 z 5 10
 2 5y 2 4z 5 25 ? ( 2 1 ) 
 2 5y 2 4z 5 19 
 ä 
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
x 2 2y 2 z 5 10
 2 5y 2 4z 5 25 
 0y 1 0z 5 2 6
 
1
1
1
A 3a equação obtida é falsa para quaisquer valores de x, y e z. Portanto, temos um sis-
tema impossível, ou seja, que não admite solução.
• 2z 5 1 ä z 5 2 1 
Após os alunos lerem 
o exemplo 1, peça a 
eles que substituam 
os valores de x ,
 y e z no sistema 
inicial e verifiquem 
que essa terna 
também é solução 
desse sistema. Dessa 
maneira, eles podem 
verificar a afirmação 
da Observação.
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Não escreva no livro.
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 30. (Fuvest-SP) Uma agência de turismo vendeu um to-
tal de 78 passagens para os destinos: Lisboa, Paris e 
Roma. Sabe-se que a quantidade de passagens 
vendidas para Paris foi o dobro da quantidade de 
passagens vendidas para os outros dois destinos 
conjuntamente. Sabe-se também que, para Roma, 
foram vendidas duas passagens a mais que a metade 
das vendidas para Lisboa. Qual foi o total de passa-
gens vendidas, conjuntamente, para Paris e Roma?
a ) 26
b ) 38
c ) 42
d ) 62
e ) 68
 29. Um copo cheio de água tem 530 g. Após ser re -
tirada metade da água, ele passa a ter 355 g. Deter-
mine quantos gramas tem o copo.
3. Vamos escalonar e resolver o sistema 
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
x 1 y 1 z 5 15
 2x 2 y 2 z 5 20 
3x 2 3y 2 3z 5 25
.
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
 x 1 y 1 z 5 15 ?? ( 22 )
 2x 2 y 2 z 5 20 
3x 2 3y 2 3z 5 25
 ä
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
 x 1 y 1 z 5 15 ?? ( 23 )
 23y 2 3z 5 210 
3x 2 3y 2 3z 5 25
 ⇒
1
1
ä 
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
x 1 y 1 z 5 15
 2 3y 2 3z 5 2 10 ?? ( 2 2 ) 
2 6y 2 6z 5 2 20 
 ä 
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
x 1 y 1 z 5 15
 2 3y 2 3z 5 2 10 
 0y 1 0z 5 0
 
1
Nesse sistema, a 3a equação é verdadeira, porém, não traz informações acerca dos valores 
das incógnitas. Assim, ela pode ser retirada e o sistema fica da seguinte maneira:
{
x 1 y 1 z 5 15
 
2 3y 2 3z 5 2 10
Obtemos um sistema escalonado com duas equações e três incógnitas.
Vimos que um sistema desse tipo é possível e indeterminado (SPI) e, nesse caso, com grau 1 
de indeterminação.
Temos que z é a incógnita livre. Fazendo z 5 α , com α real temos:
{
x 1 y 1 α 5 15
 
2 3y 2 3α 5 2 10
ä {
x 1 y 1 α 5 15 (I)
 
y 5 
10
―
3
 2 α (II)
Substituindo II em I, temos:
x 1 y 1 α 5 15 ä x 1 ( 
10
―
3
 2 α ) 1 α 5 15 ä x 5 15 2 
10
―
3
 5 
35
―
3
 
Portanto, para α real a solução geral do sistema é ( 
35
―
3
 , 
10
―
3
 2 α, α ) .
28. Resolvam os sistemas por escalonamento.
a ) {
x 1 4y 5 0
3x 1 2y 5 5
b ) {
4x 2 2y 5 10
 
2 2x 1 y 5 2 5
c ) {
x 1 2y 5 3
2 2x 2 4y 5 2
d ) {
3x 2 2y 5 6
x 1 3y 5 10
 
SI
d
( 2, 2 
1
―
2
 ) 
( 
5 1 y
―
2
 , y )
180g
( 
38
―
11
 , 
24
―
11
 ) 
g21_scp_lt_4mat_c2_p072a081.indd 72g21_scp_lt_4mat_c2_p072a081.indd 72 9/17/20 3:23 PM9/17/20 3:23 PM