111_APOSTILA_MECÂNICA_GERAL_II (v11_22022021)-14

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Prof.: Carlos Arthur Cavalcante 14 
2.4.1 Exemplo-Ilustrativo 01 – Movimento 3D 
Ver problema 11.178, pág. 685 – Beer, Johnston, Cornwell, 9a edição. 
 
O movimento tridimensional de uma partícula está determinado pelo 
seu vetor posição em função do tempo e dado por 𝑟 = Acos(2𝜋𝑡) 𝑖 +
B𝑡2𝑗 + A sin(2𝜋𝑡) �⃗⃗�. Adotando 𝐴 = 4 e 𝐵 = 3, 
a) Determinar as componentes 𝑥, 𝑦 e 𝑧 do vetor posição 𝑟, em 
função do tempo 𝑡; 
b) Determinar as componentes 𝑣𝑥, 𝑣𝑦 e 𝑣𝑧 do vetor velocidade 
�⃗�, em função do tempo 𝑡; 
c) Determinar o vetor velocidade �⃗�, em função do tempo 𝑡; 
d) Determinar a intensidade ou módulo 𝑣 do vetor velocidade �⃗�, em função do tempo 𝑡; 
e) Determinar as componentes 𝑎𝑥, 𝑎𝑦 e 𝑎𝑧 do vetor aceleração �⃗�, em função do tempo 𝑡; 
f) Determinar o vetor aceleração �⃗�, em função do tempo 𝑡; 
g) Determinar a intensidade ou módulo 𝑎 do vetor aceleração �⃗�, em função do tempo 𝑡; 
 
SOLUÇÃO: 
 
Está explícito no problema que o movimento está sendo descrito por um sistema de coordenadas retangulares 
𝑂𝑥𝑦𝑧 dextrogiro1. Além disso, não há nenhuma informação quanto ao “local do 
universo” onde o movimento ocorre, mas podemos imaginar que ele ocorre 
próximo à superfície de um planeta como o planeta Terra e, dessa forma, 
podemos considerar que a direção 𝑥 é horizontal positiva para a “direita”, que a 
direção 𝑦 é vertical positiva para “cima” e que a direção 𝑧 é horizontal positiva 
para a “frente”. 
 
Foi dado que o vetor posição 𝑟 em qualquer instante 𝑡 é, 
𝑟 = 4 cos(2𝜋𝑡) 𝑖 + 3𝑡2𝑗 + 4 sin(2𝜋𝑡) �⃗⃗� ou 𝑟 = [
4 cos(2𝜋𝑡)
3𝑡2
4 sin(2𝜋𝑡)
] 
 
Logo, as componentes retangulares (componentes 𝑥, 𝑦 e 𝑧) do vetor posição 𝑟 são dadas pelas seguintes 
expressões, 
 
𝑥 = 4 cos(2𝜋𝑡) 𝑦 = 3𝑡2 𝑧 = 4 sin(2𝜋𝑡) 
 
Sabemos que, 
 
�⃗� =
𝑑𝑟
𝑑𝑡
 �⃗� =
𝑑(𝑥𝑖+𝑦𝑗+𝑧𝑖)
𝑑𝑡
 
 
Portanto, 
 
�⃗� = (
𝑑𝑥
𝑑𝑡
) 𝑖 + (
𝑑𝑦
𝑑𝑡
) 𝑗 + (
𝑑𝑧
𝑑𝑡
) �⃗⃗� ou �⃗� =
[
 
 
 
 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑧
𝑑𝑡 ]
 
 
 
 
 
 
 
1 Sistema em que o sentido positivo do eixo 𝑧 (o sentido do vetor unitário �⃗⃗�) é obtido pela aplicação da regra da 
mão direita ao produto vetorial do vetor unitário 𝑖 (sentido positivo do eixo 𝑥) e do vetor unitário 𝑗 (sentido positivo 
do eixo 𝑦). Os alunos devem se valer dos conhecimentos adquiridos nas disciplinas básicas para desenvolver a 
habilidade de definir e aplicar corretamente sistemas de coordenadas adequados aos problemas em questão. 
𝑂 
𝑦 
𝑧 
𝑥