Calculo - James Stewart - 7 Edição - Volume 2-355

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onde u é o ângulo entre 	f e u. O valor máximo de cos u é 1 e isso ocorre quando u � 0.
Logo, o valor máximo de Du f é �	f � e ocorre quando u� 0, ou seja, quando u tem a mesma
direção que 	f.
(a) Se f (x, y) � xey, determine a taxa de variação de f no ponto P(2, 0) na direção de P a 
Q( , 2).
(b) Em que direção f tem a máxima taxa de variação? Qual é a máxima taxa de variação?
SOLUÇÃO
(a) Primeiro calcularemos o vetor gradiente:
	f (x, y) � k fx, fyl� ke, xeyl
	f (2, 0) � k1, 2l
O vetor unitário na direção PQA � k�1,5, 2l é u � k� , l, logo a taxa de variação de f na
direção que vai de P a Q é
Du f (2, 0) � 	f (2, 0) � u � k1, 2l � k� , l
� 1(� ) � 2( ) � 1
(b) De acordo com o Teorema 15, f aumenta mais depressa na direção do gradiente 
	f (2, 0) � k1, 2l. A taxa máxima de variação é
�	f (2, 0)� � �k1, 2l� � √
–
5 
Suponha que a temperatura em um ponto (x, y, z) do espaço seja dada por 
T(x, y, z) � 80/(1 � x2 � 2y2 � 3z2), onde T é medida em graus Celsius e x, y e z em metros.
Em que direção no ponto (1, 1, �2) a temperatura aumenta mais rapidamente? Qual é a taxa
máxima de aumento?
SOLUÇÃO O gradiente de T é
1
2
EXEMPLO 6
EXEMPLO 7
4
5
3
5
4
5
3
5
4
5
3
5
844 CÁLCULO
FIGURA 7
Q
±f(2, 0)
0 1 3
1
2
P x
y
FIGURA 8
20
5
0 1 3
x
y
z 10
1
15
0
0
2
2
Em (2, 0) a função no Exemplo 6 aumenta mais
rápido na direção do vetor gradiente 
	f (2, 0) � k1, 2l. Na Figura 7 observe que
esse vetor parece ser perpendicular à curva de
nível que passa por (2, 0). A Figura 8 mostra o
gráfico de f e o vetor gradiente.
�
160
�1 � x 2 � 2y 2 � 3z2 �2 ��x i � 2y j � 3z k�
� �
160x
�1 � x 2 � 2y 2 � 3z2 �2 i �
320y
�1 � x 2 � 2y 2 � 3z2 �2 j �
480z
�1 � x 2 � 2y 2 � 3z2 �2 k
	T �
T
x
i �
T
y
j �
T
z
k
No ponto (1, 1, �2), o vetor gradiente é
Pelo Teorema 15, a temperatura aumenta mais rapidamente na direção do vetor gradiente 
	T(1, 1, �2) � (�i � 2j � 6k) ou, de forma equivalente, na direção de �i � 2j � 6k ou
o vetor unitário . A taxa máxima de aumento é o módulo do vetor gra-
diente
Portanto, a taxa máxima de aumento da temperatura é .
Planos Tangente às Superfícies de Nível
Suponha que S seja a superfície com a equação F(x, y, z) � k, ou seja, uma superfície de nível
de uma função F de três variáveis, e seja P(x0, y0, z0) um ponto em S. Seja C qualquer curva
na superfície S e que passe pelo ponto P. Lembremo-nos da Seção 13.1 que a curva C é des-
crita por uma função vetorial contínua r(t) � kx(t), y(t), z(t)l. Seja t0 o valor do parâmetro
5
8 s41 � 4�C�m
	T�1, 1, �2� � 160
256 ��i � 2 j � 6 k� � 5
8 ��i � 2 j � 6 k�
 	T �1, 1, �2� 
 � 5
8 
 �i � 2 j � 6 k 
 � 5
8 s41
��i � 2 j � 6 k��s41
5
8
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	14- Derivadas Parciais
	14.6 Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente
	Planos Tangente às Superfícies de Nível