IBEP - EM - Volume Único-214-216

Prévia do material em texto

EXERCíCIOS
15. Efetue:
a) (3x - 4) . (2x2 - 5x + 1)
b) (x - 1) . (x2 - 7x + 10)
c) (2a2 - 5a) . (3a2 - a)
Divisão
d) (y + 3) . (y - 3)
e) (y2 - 6y + 1) . (2y2 - 3y + 5)
f) (7x2 + 8x - 4) . (5x2 - 9)
Dados dois polinômios Pl(X) e P2(x) não identicamente nulos, dividir P1(x) por P2(x) consiste em obter dois polinômios Q(x) (quociente)
e R(x) (resto), tais que:
• P1(x) == P2(x) . Q(x) + R(x);
• o grau do resto é menor que o grau do divisor ou o resto é identicamente nulo.
Exemplo.:
1. Seja (10x2 - 23x + 12) : (5x - 4):
10x2 - 23x + 12
-10x2 + 8x
a) Dividimos 10x2 por 5x, obtendo 2x.
b) Multiplicamos 2x por 5x - 4 e adicionamos o produto 10x2 - 8x, com sinal trocado, ao dividendo.
c) Dividimos -15x por 5x, obtendo -3.
d) Multiplicamos - 3 por 5x - 4 e adicionamos o produto -15x + 12, com sinal trocado, a -15x + 12.
Então: Q(x) = 2x - 3 e R(x) = O
2. (18x4 - 36x3 + 19x2 - 15x): (3x2 - 5x)
18x4 - 36x3 + 19x2 - 15x 13x2 - 5x
-18x4 + 30x3 6x2 - 2x + 3
-6x3 + 19x2 - 15x
+6x3 - 10x2
9x2 - 15x
-9x2 + 15x
O
3. (2x3 + 7x2 - 12x + 1) : (2~
2x3 + 7x2 - 12x + 1 I 2x2 - 3x (grau 2)
- 2x3 + 3x2 X + 5
10x2 - 12x + 1
-10x2 + 15x
3x + 1 (grau 1)
~
a) Se Pl(X) é divisível por P2(x), a divisão é exata e R(x) = o.
b) Numa divisão, o quociente e o resto são únicos.
214
EXERCíCIOS
16. Determine o quociente e o resto das divisões:
a) (x2 + 2x - 15) : (x - 3)
b) (a3 + 5a2 - 3a - 12) : (a + 5)
c) (6x2 + x - 40) : (3x + 8)
d) (10y4 - 5y3 + 4y2 + 30y - 10) : (5y2 + 5y - 3)
"
215
e) (2x3 - 9x2 + 13x - 6) : (x2 - 3x + 2)
f) (12y3 - 14y2 + 8y - 10) : (4y - 2)
g) (x3 - 11 x2 + 15x - 5) : (x2 - 10x + 5)
h) (2a3 - 14a2 + 30a - 9) : (a2 - 5a + 3)
.. •.
DIVISAO DE POLlNOMIOS POR )( - a
Teorema do resto
Considere a divisão de um polinômio P(x) por (x - a), onde obtemos quociente Q(x) e resto R(x):
P(x)~
R(x) Q(x)
Evidentemente, temos
Observe, agora, que fazendo x = a, temos:
P(a) = ~ . Q(a) + R(a)
O
Exemplos:
1. Dividindo P(x) = x2 - 4x - 5 por x - 3, o resto será:
R(3) = P(3) = 32 - 4 . 3 - 5 = -8
2. O resto da divisão de P(x) = x2 + 3x =. 1 por x + 1 será:
R(-l) = P(-l) = (-1)2 + 3 . (-1) - 1 = -3
Observe que quando o binômio diviso r é x + a, devemos substituir no polinômio P(x) o x por -a, pois x + a = x - (-a).
Teorema de D'Alembert
"Um polinômio P(x) é divisível por x - a se e somente se P(a) = O."
Este teorema é uma conseqüência imediata do teorema do resto: R(a) = P(a), pois se P(x) é divisível por x - a, então R(a) = O, o que
é equivalente a P(a) = O.
Exemplos:
1. O polinômio P(x) = x2 - 4x - 5 é divisível por x - 5, pois: P(5) = 52 - 4 . 5 -5 = O
2. Qual o valor de m para que P(x) = x3 - x2 + mx + 7 seja divisível por x + 2?
Para que P(x) seja divisível por x + 2, basta impormos P( - 2) = O. Então:
5(-2)3 - (-2)2 + m . (-2) + 7 = O~ -8 - 4 - 2m + 7 = O m = --
2
Contra- xemplo:
O polinômio P(x) = x2 - 4x - 5 não é divisível por x - 3, pois:
P(3) = 32 - 4 . 3 - 5 = -8, ou seja, P(3) = -8 *- O.
EXERCíCIOS
17. Determine o resto das divisões sem efetuá-Ias, nos seguintes casos:
a) (x2 - 5x + 6) : (x + 3) b) (x5 - 3x2 + 2x + 6) : (x + 1)
216