Equações Polinomiais

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EQUAÇÕES POLINOMIAIS 
FRENTE B | CAPÍTULO 06
MATEMÁTICA
EQUAÇÕES 
POLINOMIAIS 
Uma equação polinomial é toda equação que pode ser 
escrita com a forma p (x) = 0, em que p(x) é um polinômio.
Exs:
 x2 – 3x + 2 = 0 
 2x3 – x2 + x – 5 = 0 
 x4 + x2 – 4x + 1 = 0
Os conceitos de coeficientes (entre eles o coeficiente 
líder e o termo independente) e de grau são herdados do 
estudo dos polinômios.
RAIZ DE UMA EQUAÇÃO POLINOMIAL 
Uma raiz (ou zero) de uma equação polinomial é um valor da 
variável que torna a equação verdadeira.
Exemplos:
• 5 é raiz da equação x2 – 7x + 10 = 0, pois 5² - 7.5 + 10 = 25 
– 35 + 10 = 0.
• 2 não é raiz da equação x4 + x³ + 2x² - 1 = 0, pois 24 – 2³ + 2.2² 
- 1 = 16 – 8 + 8 – 1= 15 ≠ 0. 
Resolver uma equação polinomial significa determinar todos 
os valores que tornam a equação verdadeira, ou seja, determinar 
as suas raízes.
QUESTÕES ORIENTADAS
QUESTÃO 01 
Determine o valor de k real para que 2 seja raiz da equação 2x³ - 
5x² + kx – 10 = 0.
OBSERVAÇÃO 
Duas equações são ditas equivalentes quando 
possuírem as mesmas raízes.
Exemplo:
São equivalentes as equações (x – 2) (1 -x) (x – 3) = 0 e 
x³ - 6x² + 11x – 6 = 0. Basta notar que a primeira equação 
admite como raízes x = 2, x =1 e x = 3 e que esses três 
valores também são raízes da segunda equação.
Realmente:
x = 2 → 2³ - 6.2² + 11.2 - 6 = 8 – 24 +22 – 6 = 0 
x = 1 → 1³ - 6.1² + 11.1 – 6 = 1 – 6 + 11 – 6 = 0 
x = 3 → 3³ - 6.3² + 11.3 – 6 = 27 – 54 + 33 – 6 = 0 
TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA 
Uma equação polinomial de grau n, com n ≥ 1, possui n raízes 
complexas.
OBSERVAÇÃO 
Note que as raízes da equação polinomial p(x) = 0 
são as mesmas raízes do polinômio p(x). Dessa forma, os 
conceitos de raiz de um polinômio e raiz de uma equação 
polinomial são um só, ou seja, se um número é raiz de um 
polinômio p(x), então esse número também será raiz da 
equação polinomial p(x) = 0 e vice-versa.
TEOREMA DA DECOMPOSIÇÃO PRIMÁRIA 
Um polinômio P(x) (ou equação polinomial), de grau n, que 
possua como uma de suas raízes x = a, com a Є R, pode ser escrito 
como P(x) = (x – a) . Q
1
(x), sendo Q1(x) um polinômio com de grau 
(n – 1).
• Em outras palavras, podemos dizer que cada raiz x = a de 
um polinômio está associada a um fator (x – a). 
• Dessa forma, se x1, x2, x3, ..., xn, são as raízes de um polinômio 
P(x) (ou equação polinomial) de grau n, podemos escrever 
P(x) na forma:
P (x) = a. (x -x
1
). (x -x
2
). (x – x
3
). ... (x – x
n
) 
em que a é o coeficiente líder.
QUESTÕES ORIENTADAS
QUESTÃO 02 
Escreva um polinômio de 3° grau que possua como raízes os 
números – 1, 2 e 3.
Note que podemos facilmente encontrar um polinômio (ou 
equação polinomial) tendo o conhecimento de suas raízes. O 
maior problema é fazer o inverso e, a partir do polinômio (ou 
equação polinomial) encontrar as suas raízes.
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MATEMÁTICA - FRENTE B - CAPÍTULO 06 EQUAÇÕES POLINOMIAIS 
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REDUÇÃO DO GRAU UTILIZANDO O DISPOSI-
TIVO DE RUFFINI 
Uma técnica amplamente utilizada na resolução de questões 
de equações polinomiais consiste em reduzir o grau de uma 
equação polinomial quando é conhecida uma ou mais raízes dessa 
equação. Para tal, utilizaremos o dispositivo de Briot-Ruffi ni 
embasado no teorema da decomposição primária visto no item 
anterior. Observe o exercício resolvido a seguir.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Resolva a equação 2x³ - 3x² - 11x + 6 = 0 sabendo que x = 3 é 
uma de suas raízes.
Resolução:
Inicialmente vamos considerar P(x) = 2x³ - 3x² - 11x + 6 e a 
informação que x = 3 é uma de suas raízes. Pelo teorema da 
decomposição primária, um dos fatores de P(x) será (x – 3) e, 
assim, podemos escrever P(x) com a forma P(x) = (x-3). Q (x), 
onde Q(x) possui grau 2. Assim:
(x – 3). Q (x) = 2x³ - 3x² - 11x + 6
Q(x) = 2x³ - 3x² - 11x + 6 / x – 3 
Vamos utilizar o dispositivo de Ruffi ni para efetuar a divisão 
de 2 x³ - 3x² - 11x + 6 por (x -3) e obter Q(x).
Assim, Q (x) = 2x² + 3x – 2 e as demais raízes de P(x) também 
são raízes de Q(x). Assim:
2 x² + 3x – 2 = 0 → x = -2 ou x = 1/2
Portanto, a solução da equação 2x³ - 3x² - 11x + 6 = 0 é o 
conjunto . 
QUESTÕES ORIENTADAS
QUESTÃO 03 
Decomponha o polinômio P(x) = x³ + 5x² - 2x – 24, sabendo que 
uma de suas raízes é – 3.
QUESTÃO 04 
Sabendo que 2 é raiz da equação x³ + 2x² - 5x + c = 0, determinar o 
valor de c e suas demais raízes.
QUESTÃO 05 
Resolva a equação x4 - 5x² - 10x – 6 = 0 sabendo que duas de suas 
raízes são – 1 e 3.
MULTIPLICIDADE DE UMA RAIZ 
• A multiplicidade de uma raiz em uma equação polinomial é a 
quantidade de vezes que esse valor é raiz da equação.
• Quando determinado número é raiz de uma equação 
polinomial somente uma vez, dizemos que esse número é uma 
raiz simples e terá multiplicidade 1.
• Quando determinado número é raiz de uma equação 
polinomial duas vezes, dizemos que esse número é uma raiz 
dupla e terá multiplicidade 2.
• Quando determinado número é raiz de uma equação 
polinomial três vezes, dizemos que esse número é uma raiz tripla 
e terá multiplicidade 3, e assim sucessivamente.
• Na prática, a multiplicidade de uma raiz x = a em um 
polinômio P(x) é a quantidade de vezes que o fator (x – a) fi gura 
na decomposição de P(x). Assim, por exemplo, se dizemos que x 
= 4 é uma raiz de multiplicidade 3 (raiz tripla) de um polinômio 
P(x), então, na decomposição do polinômio teremos um fator 
(x – 4)³, ou seja, o fator (x – 4) estará presente três vezes nessa 
decomposição. 
QUESTÕES ORIENTADAS
QUESTÃO 06 
Qual dos polinômios a seguir possui como únicas raízes x = 5 com 
multiplicidade 2, x = -1 como raiz simples e x= 0 como raiz tripla. 
A. P(x) = x³. (x – 5)² . (x – 1) 
B. P(x) = x³. (x – 5)² . (x +1) 
C. P(x) = x. (x – 2)5 . (x +1)³ 
D. P(x) = x.(x – 5) . (x + 1) 
E. P(x) x. (x – 5) . (x – 1)
QUESTÃO 07 
Resolva a equação 2x4- 7x³ +3x² + 8x – 4 = 0 sabendo que 2 é uma 
raiz dupla.
RELAÇÕES DE GIRARD 
As relações de Girard são relações entre as raízes de uma 
equação polinomial e os coefi cientes da mesma.
Relações para uma equação de 2º grau 
Considere a equação de 2º grau ax² + bx + c = 0. As relações (já 
estudadas em função de 2º grau) são:
SOMA = x
1
 + x
2
 = -b/a 
PRODUTO = x
1
.x
2
 = c/a
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Relações para uma equação de 3º grau 
Considere a equação ax³ + bx² + cx + d = 0, de 3º grau. As 
relações são:
SOMA = x
1
 + x
2
 + x
3
 = -b/a
PRODUTO = x
1
.x
2
.x
3
 = -d/a
SOMA
2a2 
= x
1
. x
2
 + x
1
.x
3
 + x
2
.x
3
 = c/a
RELAÇÕES PARA UMA EQUAÇÃO DE 4° GRAU
Considere a equação ax4 + bx³ + cx² + dx + e = 0, de 4º grau. As 
relações são:
SOMA = x
1
 + x
2
 + x
3
 + x
4
 = - b / a 
PRODUTO = x
1
.x
2
.x
3
.x
4
 = e / a
SOMA
2a2
 = x
1
.x
2
 + x
1
.x
3
 + x
1
.x
4
 + ... + x
3
.x
4
 = c/a
SOMA
3a3
 = x
1
.x
2
.x
3
 + x
1
.x
2
.x
4
 + x
1
.x
3
.x
4
 + x
2
.x
3
.x
4
 = - d/a
RELAÇÕES PARA UMA EQUAÇÃO DE GRAU n 
Observe as relações de Girard seguem um padrão de 
construção de modo que não será preciso “decorar” as relações 
para todos os graus.
Inicialmente perceba que todos os denominadores nas 
relações são o coefi ciente líder a, dessa forma, devemos apenas 
saber qual o numerador. Observe também que a soma, em todos 
os casos, temo como numerador o segundo coefi ciente (b) com o 
sinal trocado. Assim, generalizando para qualquer grau:
SOMA = x
1
 + x
2
 + ... + x
n
 = -b/a
A soma 2 a 2 é tem sempre como numerador o terceiro 
coefi ciente (c). Assim, generalizando para qualquer grau:
SOMA
2a2
 = x
1
.x
2
 + x
1
.x
3
 + ... + x
n-1
.x
n
 = c/a 
Da mesma forma, a soma 3 a 3 terá como numerador o quarto 
coefi ciente (d), como sinal trocado. Assim, generalizando para 
qualquer grau:
SOMA
3a3
 = x
1
.x
2
.x
3
 + x
1
.x2
.x
4
 + ... + x
n-2
. x
n-1.
 X
n
 = - d/a
Sucessivamente, cada vez que acrescentarmos um novo 
fator à soma, o numerador será o coefi ciente seguinte, sempre 
alternando entre manter o mesmo sinal ou trocar esse sinal, até 
que o produto de todas as raízes terá como numerador o último 
coefi ciente (termo independente), com o sinal trocado ou não.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Considere a equação:
2x7 + 5x6 – x5 + 2x4 + 8x3 – 4x2 + 7x – 10 = 0 
Determine:
A. a soma de todas as suas raízes;
B. o produto de todas as suas raízes;
C. a soma de todas as suas raízes tomadas dois a dois;
D. a soma de todas as suas raízes tomadas três a três;
a soma de todas as suas raízes tomadas quatro a 
quatro;
a soma de todas as suas raízes tomadas cinco a cinco;
a soma de todas as suas raízes tomadas seis a seis.
Resolução:
Inicialmente vamos colocar sinais sobre cada um dos 
coefi cientes da equação, alternando entre positivos e 
negativos, do primeiro ao último, iniciando por um sinal 
positivo.
Em seguida, vamos dividir cada um dos coefi cientes (com 
os sinais que estão em cima agregados) pelo primeiro 
coefi ciente (coefi ciente líder). A primeira divisão será a 
soma, a segunda será a soma dois a dois, a terceira será 
a soma três a três até que a última divisão será o produto 
de todas as raízes.
Assim:
A. 
B. 
C. 
D. 
E. 
 
 
G
F
E
G
F
QUESTÕES ORIENTADAS
QUESTÃO 08 
Considerando a equação 2x² - x + 5 = 0, cujas raízes são x
1
 e x
2
, 
calcule:
A. x
1
 + x
2
 
B. x
1
.x
2
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C. 1/ x
1
 + 1/x
2
 
D. (x1)² + (x2)² 
OBSERVAÇÃO 
Considere a equação:
a
n
.xn + a
n-1
. Xn-1 + a
n-2
. xn-2+ ... + a
1
.x +a
0
 = 0 
A soma dos inversos das raízes é dada pela expressão:
A soma dos quadrados das raízes é dada pela expressão:
Essas relações valem para qualquer grau.
QUESTÕES ORIENTADAS
QUESTÃO 09 
Considerando a equação x³ - 3x² - 2x – 7 = 0, cujas raízes são a, b 
e c, calcule:
A. a + b + c 
B. a. b. c
C. a.b + a.c + b.c
D. 1 / a + 1 / b + 1 / c 
E. a² + b² + c² 
A seguir temos alguns exercícios em que as relações de Girard 
são utilizadas para auxiliar a resolução das equações.
QUESTÕES ORIENTADAS
QUESTÃO 10 
Resolva a equação 2x³ + 11x² + 17x + 6 = 0, sabendo que a soma 
de duas de suas raízes é – 5.
QUESTÃO 11 
Resolva a equação 6x³ + 7x² - 12 = 0, sabendo que o produto de 
duas de suas raízes é igual a – 1.
TEOREMA DAS RAÍZES IMAGINÁRIAS 
Em uma equação polinomial, de coefi cientes reais, se um 
número imaginário Z = a + bi for raiz, o seu conjugado Z = a - bi, 
também será raiz.
Consequências:
• As raízes imaginárias vêm sempre aos pares.
• Uma equação polinomial com coefi cientes reais e grau ímpar 
sempre terá pelo menos uma raiz real.
QUESTÕES ORIENTADAS
QUESTÃO 12 
Qual o menor grau de uma equação polinomial de coefi cientes 
reais que admite 2, 3i e 1 + i como raízes?
TEOREMA DAS RAÍZES IRRACIONAIS 
Em uma equação polinomial, de coefi cientes racionais, se um 
número irracional da forma a + b √c for raiz, o seu “conjugado” 
a - b √c, também será raiz.
QUESTÕES ORIENTADAS
QUESTÃO 13 
Qual o menor grau de uma equação polinomial de coefi cientes 
inteiros que admite a raiz 1 + √2, , com multiplicidade 3?
INVESTIGAÇÃO DE RAÍZES INTEIRAS E RACIONAIS 
Em uma equação polinomial, de coefi cientes inteiros, as 
POSSÍVEIS raízes inteiras da equação são os divisores do termo 
independente.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Resolva a equação x³ - 4x² + 9 = 0.
Resolução:
Observe que a equação que devemos resolver é de 3º 
grau e não foi fornecida nenhuma informação adicional. 
Dessa forma, devemos tentar descobrir uma raiz da 
equação para, a partir dela, reduzir a equação para o 2º 
grau através do dispositivo de Briot-Ruffi ni.
Pelo teorema das raízes inteiras, as possíveis raízes 
inteiras são os divisores do termo independente, ou seja, 
os divisores de 9. Assim, as possíveis raízes inteiras são 1, 
–1, 3, –3, 9 e –9.
Iremos agora investigar se algum desses seis números é 
raiz da equação.
x = 1 não é raiz pois 1³ - 4.1² + 9 = 1 – 4 + 9 = 6. 
x = -1 não é raiz pois (-1)³ - 4.(-1)² + 9 = - 1 – 4 + 9 = 4.
x = 3 é raiz pois 3³ - 4.3² + 9 = 27 – 36 + 9 = 0.
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Uma vez que descobrimos uma raiz da equação, podemos 
usar o dispositivo de Briot-Ruffi ni.
As demais raízes da equação são a solução de x² - x – 3 = 0 
que são 
1 13x
2
+= ou . Assim, o 
conjunto solução da equação x³ - 4x² + 9 = 0 é 
.
A investigação sobre as possíveis raízes inteiras de uma 
equação polinomial de coefi cientes inteiros pode ser expandida 
para a investigação sobre as possíveis raízes racionais. Assim, 
todas as possíveis raízes racionais de uma equação polinomial, de 
coefi cientes inteiros, têm a forma p/q, em que p são os divisores 
inteiros do termo independente e q são os divisores inteiros do 
coefi ciente líder.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Resolva a equação 2x³ - 3x² + 8x – 12 = 0.
Resolução:
Observe que a equação que devemos resolver é de 3º 
grau e não foi fornecida nenhuma informação adicional. 
Dessa forma, devemos tentar descobrir uma raiz da 
equação para, a partir dela, reduzir a equação para o 2º 
grau através do dispositivo de Briot-Ruffi ni.
Pelo teorema das raízes racionais, as possíveis 
raízes racionais têm a forma p/q, em que p são os 
divisores inteiros de –12 (termo independente) 
e q são os divisores inteiros de 2 (coefi ciente 
líder). Ou seja, e 
. Assim, os possíveis valores de p/q são 
. 
A seguir, devemos investigar se algum desses quatorze 
números é raiz da equação. E percebemos que 
3x
2
= é uma 
das raízes já que 
.
Aplicando o dispositivo de Briot-Ruffi ni:
As demais raízes da equação são a solução de 2x² + 8 = 
0 que são x = 2i e x = - 2i. Assim, o conjunto solução da 
equação 2x³ - 3x² + 8x – 12 = 0 é S = S={3, -2i, 2i}.
OBSERVAÇÃO 
Perceba que a investigação das raízes inteiras e racionais 
é um processo trabalhoso devendo ser utilizado somente 
como último recurso na resolução de uma equação 
polinomial.
EQUAÇÕES COM A FORMA xn + k = 0 
Uma equação que tenha a forma xn + k = 0, onde n Є N e k Є R 
possui:
• apenas uma raiz real e as demais imaginárias, se n for ímpar.
• nenhuma ou duas raízes reais e as demais imaginárias, a 
depender do valor de k, se n for par.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Determine as raízes reais de cada uma das equações a 
seguir e a quantidade de raízes imaginárias.
x³ - 8 = 0 
Resolução:
A única raiz real é: 
x³ = 8 à 3x 8= → x = 2 
As duas demais raízes são imaginárias (um par de números 
complexos conjugados).
X5 + 7 = 0 
A única raiz real é: 
x5 = - 7 → à x = 2 
As quatro demais raízes são imaginárias (dois pares de 
números complexos conjugados).
X4 – 6 = 0 
Resolução:
A equação possui duas raízes reais:
X4 = 6 → 4x 6= ± → 4x 6= ou 
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As duas demais raízes são imaginárias (um par de números 
complexos conjugados).
x6 + 1 = 0 
Resolução:
A equação não possui raízes reais já que não há nenhum 
número real tal que x6 = -1. Todas as seis raízes dessa 
equação são imaginárias (três pares de números 
complexos conjugados).
AULAS 07
19. EQUAÇÕES ALGÉBRICAS 
APOSTILAS: 1 resumo + 20 questões
EXERCÍCIOS ONLINE: 30 questões
REVISÃO NA PLATAFORMA
SEÇÃO VESTIBULARES
QUESTÃO 01 
(UFRGS) As raízes do polinômio P(x) = x4 – 1 são 
A. {i; - i; 0}. 
B. {1; - 1; 0}. 
C. {1; - 1; i; - i}. 
D. {i; - i;1+ i; 1 – i}. 
E. {i; - i; -1+i; -1 – i}. 
QUESTÃO 02 
(FAMERP) Sabendo-se que uma das raízes da equação algébrica 
2x³ - 3x² - 72x – 35 = 0 é – 1/2, a soma das outras duas raízes é 
igual a 
A. – 3. 
B. 3. 
C. – 2. 
D. 1. 
E. 2.QUESTÃO 03 
(UNICAMP) Sejam p(x) e q(x) polinômios com coefi cientes reais. 
Dividindo-se p(x) por q(x), obtêm-se quociente e resto iguais a x² 
+ 1. Nessas condições, é correto afi rmar que 
A. o grau de p(x) é menor que 5. 
B. o grau de q(x) é menor que 3. 
C. p(x) tem raízes complexas. 
D. q(x) tem raízes reais. 
QUESTÃO 04 
(PUC-RJ) A soma das raízes da equação x³ - 2x² - 6x = 0 vale: 
A. 0 
B. 1 
C. 2 
D. 4 
E. 9 
QUESTÃO 05 
(PUC-RS) Os polinômios p(x), q(x), f(x), h(x) em C, nessa ordem, 
estão com seus graus em progressão geométrica. Os graus de p(x) 
e h(x) são, respectivamente, 16 e 2. A soma do número de raízes 
de q (x) com o número de raízes de f(x) é 
A. 24 
B. 16 
C. 12 
D. 8 
E. 4 
QUESTÃO 06 
(CPS) No século XVI, divertidos duelos intelectuais entre 
professores das academias contribuíram para o avanço da 
Matemática. Motivado por um desses duelos, o matemático 
italiano Niccólo Fontana (Tartaglia) (1500 – 1557) encontrou 
uma fórmula para resolver equações polinomiais de terceiro 
grau. No entanto, os outros matemáticos da época não tinham 
acesso a tal descoberta, tendo que encontrar formas alternativas 
para resolver aqueles problemas.
Uma dessas formas alternativas é a fatoração, que facilita a 
observação das raízes (soluções), pois transforma a adição dos 
termos da equação em uma multiplicação igualada a zero. Veja o 
exemplo.
x³ + 6x² +5x – 12 = 0  (x-1).(x+3).(x+4) = 0
Analisando o exemplo dado, é correto afi rmar que essa equação 
A. possui três raízes naturais distintas. 
B. possui três raízes inteiras distintas. 
C. possui duas raízes naturais distintas e uma raiz irracional. 
D. possui duas raízes irracionais distintas e uma raiz inteira. 
E. não possui raízes reais. 
QUESTÃO 07 
(IFAL) Podemos dizer que o polinômio p(x) = x³ - 2x² - 5x + 6 
A. tem três raízes reais. 
B. tem duas raízes reais e uma imaginária. 
C. tem uma raiz real e duas imaginárias. 
D. não tem raiz real. 
E. tem duas raízes reais e duas imaginárias. 
EXERCÍCIOSMATEMÁTICA - FRENTE B - CAPÍTULO 06
853
QUESTÃO 08 
(ACAFE) O gráfico a seguir, que passa pelos pontos A, B, C e D, 
representa o polinômio P(x). 
I. O polinômio P (x) é um polinômio do segundo grau.
ll. O polinômio é divisor de P (x). 
lll. A reta que passa pelos pontos A e C intercepta o eixo das 
ordenadas no ponto 
lV. 
Todas as afirmações corretas estão em: 
A. I – II – III 
B. II – III – IV 
C. III – IV 
D. II – III 
QUESTÃO 09 
(UEFS) Considerando-se que o polinômio P(x) = x³ + ax² + bx + c 
tem 1 como raiz dupla e 3 como raiz simples, é correto afirmar 
que o resto da divisão de P (x) por (x+1) é 
A. - 20 
B. - 18 
C. - 16 
D. - 14 
E. - 2 
QUESTÃO 10 
(FAC. ALBERT EINSTEIN) Um polinômio de quinto grau tem 2 
como uma raiz de multiplicidade 3. A razão entre o coeficiente do 
termo de quarto grau e o coeficiente do termo de quinto grau é 
igual a – 7. A razão entre o termo independente e o coeficiente do 
termo de quinto grau é igual a 96.
A menor raiz desse polinômio vale 
A. 0 
B. - 1 
C. - 2 
D. - 3 
QUESTÃO 11 
(UECE) O polinômio P(x) = ax³ + bx² + cx + d é tal que as raízes da 
equação P(x) = 0 são os números – 1, 1 e 2. Se 
P (0) = 24, então, o valor do coeficiente a é igual a 
A. 10. 
B. 8. 
C. 12. 
D. 6. 
QUESTÃO 12 
(UECE) Se os números de divisores positivos de 6, de 9 e de 16 são 
as raízes da equação x³ + ax² +bx + c = 0, onde os coeficientes a, b e 
c são números reais, então, o valor do coeficiente b é 
A. 41. 
B. 45. 
C. 43. 
D. 47. 
QUESTÃO 13 
(UPF) Sabe-se que 1+ i é uma das raízes da equação x4 – 2x³ +4x – 
4 = 0. Pode-se afirmar, dessa forma, que essa equação 
A. possui raízes racionais e iguais. 
B. possui raízes racionais e diferentes. 
C. possui raízes irracionais e iguais. 
D. não possui raízes reais. 
E. possui raízes irracionais e diferentes. 
QUESTÃO 14 
(UECE) Sejam P(x) = x5 + x4 + x³ + x² + x + 1 um polinômio e M 
o conjunto dos números reais K tais que P (k) = 0. O número de 
elementos de M é 
A. 1. 
B. 2. 
C. 4. 
D. 5. 
QUESTÃO 15 
(INSPER) Considere um polinômio P(x) do 4º grau, de coeficientes 
reais, tal que:
- P (-3) = P (1) = P (5) = 0; 
- P (O) e P (2) são, ambos, números positivos.
Nessas condições, os sinais dos números P (-5), P(4) e P(6) são, 
respectivamente, 
A. positivo, negativo e negativo. 
B. positivo, negativo e positivo. 
C. negativo, negativo e negativo. 
D. negativo, positivo e negativo. 
E. negativo, positivo e positivo. 
EXERCÍCIOSMATEMÁTICA - FRENTE B - CAPÍTULO 06
854
QUESTÃO 16 
(FGV) Um dos fatores do polinômio P(x) = x³ + 2x² - 5x – 6 é (x+3). 
Outro fator desse polinômio é 
A. (x + 8) 
B. (x - 5) 
C. (x + 4) 
D. (x – 1) 
E. (x + 1) 
QUESTÃO 17 
(UFJF) Considere as afirmações:
I. O polinômio p (x) = 2x5 – 8x4 + x + 1 possui, pelo menos, uma 
raiz racional.
II. Se r é raiz do polinômio t(x) x³ + 2x² + x + 15, então 2r é raiz do 
polinômio q(x) = 2x³ + 4x² + 2x + 30.
III. O polinômio s(x) = x + 1 é fator do polinômio u(x) = 7x8 + 2x4 – 
4x2 + 6x + 1. 
É CORRETO afirmar que: 
A. Apenas a afirmação I é verdadeira. 
B. Apenas a afirmação II é verdadeira. 
C. Apenas a afirmação III é verdadeira. 
D. Apenas as afirmações II e III são verdadeiras. 
E. Apenas as afirmações I e II são verdadeiras. 
QUESTÃO 18 
(INSPER) Se as raízes da equação x³ + 4x² - 7x – 10 = 0 são – 5, -1 
e 2, então a soma dos quadrados das raízes da equação (x – 3)³ + 
4(x – 3)² - 7 (x - 3) – 10 = 0 é igual a 
A. 16. 
B. 25. 
C. 29. 
D. 33. 
E. 41. 
QUESTÃO 19 
(PUC-SP) Se 2 é a única raiz da equação x³ - 4x² + 6x – 4 = 0, então, 
relativamente às demais raízes dessa equação, é verdade que são 
números complexos 
A. cujas imagens pertencem ao primeiro e quarto quadrantes do 
plano complexo. 
B. que têm módulos iguais a 2. 
C. cujos argumentos principais são 45º e 135º. 
D. cuja soma é igual a 2i. 
QUESTÃO 20 
(MACKENZIE) Na equação (x³ - x² + x – 1)20 = 0, a multiplicidade 
da raiz x = 1 é 
A. 1
B. 18 
C. 9 
D. 20 
E. 40 
QUESTÃO 21 
(UFJF) Sabendo-se que 1 + i é uma das raízes do polinômio p(x) = 
x5 – 2x4 + 2x³ - x² + 2x – 2, é correto afirmar que: 
A. O polinômio não possui raízes reais. 
B. O polinômio possui exatamente duas raízes racionais. 
C. O polinômio possui exatamente duas raízes distintas. 
D. O polinômio possui quatro raízes complexas não reais. 
E. O polinômio possui exatamente quatro raízes distintas. 
QUESTÃO 22 
(UDESC) Um polinômio do terceiro grau, cujo coeficiente do 
termo dominante é igual a 1, admite apenas raízes reais e distintas 
que quando multiplicadas resultam em 15 e quando somadas 
resultam em 1. Se o resto da divisão desse polinômio por g(x) = x 
+ 2 é igual a 7, então o quociente dessa divisão é igual a: 
A. x² - 3x – 11 
B. x² + 3x - 7 
C. x² - x – 15 
D. x² - x - 11 
E. x² + x + 15 
QUESTÃO 23 
(UFU) Considere o polinômio de variável real p(x) = x³ - kx + 150, 
com k sendo um número natural fixo não nulo.
Se o número complexo z = 3 +ai é uma raiz de p(x), em que a é um 
número real positivo e i é a unidade imaginária, então o valor do 
produto k.a é igual a 
A. 44. 
B. 66.
C. 24. 
D. 96. 
GABARITO
VESTIBULARES
1 C 11 C 21 D
2 E 12 D 22 A
3 C 13 E 23 A
4 C 14 A 24 •
5 C 15 D 25 •
6 B 16 E 26 •
7 A 17 C 27 •
8 D 18 D 28 •
9 C 19 A 29 •
10 D 20 D 30 •
	EXPLICAE_SEI_CADERNO_3_MATEMATICA_FRENTE_B_CAP_6