Problemas Geométricos Diversos

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31. Os triângulos retângulos abaixo possuem um ca-
teto em comum.
Encontre a medida de comprimento da altura h.
45° 30°
12
h
32. Em um dos lados de um rio, é possível ver 2 ár-
vores, A e B. Um observador marca 2 pontos, P e 
Q, na margem em que está, distantes 500 m um 
do outro. Usando instrumentos apropriados, ele me-
de a abertura dos ângulos ° °AP̂B 30 ,BP̂Q 505 5 , 
° °AQ̂P 65 e AQ̂B 355 5 . Qual é a medida da distân-
cia entre A e B? 
A
B
Q
P 30°
35°65°
50°
500 35°
33. Um paralelogramo tem lados com comprimentos 
medindo 6 cm e 8 cm. Sabendo que o comprimen-
to da diagonal menor mede 52 cm, calcule a me-
dida do comprimento da diagonal maior.
34. Os comprimentos das diagonais de um paralelo-
gramo medem 10 cm e 8 cm e formam um ângu-
lo de medida de abertura de 60°. Determine a 
medida da área dessa região limitada pelo para-
lelogramo. 
35. Em uma fazenda, o galpão fica 50 m distante da 
casa. Sejam x e y, respectivamente, as medidas 
das distâncias da casa e do galpão ao transfor-
mador de energia, conforme a figura abaixo. Cal-
cule o valor de x 1 y em função de a e b.
50
x
y
a
b
36. O triângulo ABC está inscrito em uma circunfe-
rência, sendo °Â 120 ,BC 4 3 e AC 45 5 5 . Quais 
são as medidas de B̂ e do raio da circunferência?
37. O trapézio abaixo é isósceles. Calcule a medida x, 
sabendo que °sen75
6 2
4
 
5
1
. 
60°
75°
6
x
38. Na figura abaixo, calcule x. 
x 1 1
120°x x 2 1
39. Considerando a fi-
gura dada, calcule o 
valor da expressão 
x2 1 5y. 105°
45°
y
4
4
5
x
40. Usando a lei dos senos e a propriedade da área, 
demonstre que, em um triângulo ABC qualquer, 
a medida da área da região triangular pode ser 
dada por S
a senB̂ senĈ
2 sen Â
2
5
? ?
?
.
41. (Enem) Para determinar a distância de um barco 
até a praia, um navegante utilizou o seguinte pro-
cedimento: a partir de um ponto A, mediu ângulo 
visual a fazendo mira em um ponto fixo P da 
praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele 
seguiu até um ponto B, de modo que fosse possível 
ver o mesmo ponto P da praia, no entanto, sob um 
ângulo visual 2a. A figura ilustra essa situação:
A B
2 trajetória do barco
P
a a
Suponha que o navegante tenha medido o ângulo 
a 5 30° e, ao chegar ao ponto B, verificou que o 
barco havia percorrido a distância AB 5 2 000 m. 
Com base nesses dados e mantendo a mesma 
trajetória, a menor distância do barco até o pon-
to fixo P será:
a) 1 000 m. d) 2 000 m.
b) 1000 3 m. e) 2000 3 m.
c) 2000
3
3
m.
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CAPêTULO 12 • RESOLUÇÃO DE TRIÂNGULOS QUAISQUER 389
Contexto e Aplicacoes Matematica_U6_C12_374a394.indd 389 8/22/18 2:31 PM
1. N (UFPA) Considere as seguintes informações:
2 De dois pontos, A e B, localizados na mesma 
margem de um rio, avista-se um ponto C, de difícil 
acesso, localizado na margem oposta.
2 Sabe-se que B está distante 1 000 metros de A.
2 Com o auxílio de um teodolito (aparelho usado 
para medir ângulos), foram obtidas as seguintes 
medidas: °BÂC 30 e AB̂C 80°5 5 .
Deseja-se construir uma ponte sobre o rio, unindo 
o ponto C a um ponto D entre A e B, de modo que 
seu comprimento seja mínimo. Podemos afirmar 
que o comprimento da ponte será de aproximada-
mente:
a) 524 metros. d) 500 metros.
b) 532 metros. e) 477 metros.
c) 1 048 metros.
Dados: sen 80° 5 0,985, sen 70° 5 0,940,
cos 80° 5 0,174 e cos 70° 5 0,340.
2. CO (UnB-DF) Um observador, situado no ponto A, 
distante 30 m do ponto B, vê um edifício sob um 
ângulo de 30°, conforme a figura.
A
B
C
D
30°
75°
60°
Baseado nos dados da figura, determine a altura 
do edifício em metros e divida o resultado por 2 .
° °(Dados: AB 30 m;med(CÂD) 30 ;med(CÂB) 75 ;5 5 5 5
° °med(AB̂C) 60 ;med(DĈA) 90 .)5 5 5
a) 10 m c) 12 m e) 15 m
b) 11 m d) 14 m
3. NE (UFPB) A prefeitura de certa cidade vai cons-
truir, sobre um rio que corta essa cidade, uma pon-
te que deve ser reta e ligar dois pontos, A e B, 
localizados nas margens opostas do rio. Para medir 
a distância entre esses pontos, um topógrafo loca-
lizou um terceiro ponto, C, distante 200 m do pon-
to A e na mesma margem do rio onde se encontra 
o ponto A. Usando um teodolito (instrumento de 
precisão para medir ângulos horizontais e ângulos 
verticais, muito empregado em trabalhos topográ-
ficos), o topógrafo observou que os ângulos ACB e 
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BAC mediam, respectivamente, 30° e 105°, confor-
me ilustrado na figura abaixo.
rio
B
A
C
2
0
0
 m
30°
105°
Com base nessas informações, é correto afirmar que 
a distância, em metros, do ponto A ao ponto B é de:
a) 200 2 m. c) 150 2 m. e) 50 2 m.
b) 180 2 m. d) 100 2 m.
4. NE (Uespi) Do topo de uma montanha se avistam 
os pontos A e B de uma planície. As linhas de visão 
do topo aos pontos A e B formam entre si um ângu-
lo de 30°, em relação à horizontal.
A
B
30°
30°
Se AB 2 3 km5 , qual a altura da montanha?
a) 2,8 km c) 3,0 km e) 3,2 km
b) 2,9 km d) 3,1 km
5. SE (Unicamp-SP) Caminhando em linha reta ao 
longo de uma praia, um banhista vai de um ponto A 
a um ponto B, cobrindo a distância AB 5 1 200 m. 
Quando em A, ele avista um navio parado em N de 
tal maneira que o ângulo NÂB é de 60°; quando em 
B, verifica que o ângulo NB̂A é de 45°.
a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita.
b) Calcule a distância a que se encontra o navio da 
praia. 
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UNIDADE 6 ¥ TRIGONOMETRIA390
Contexto e Aplicacoes Matematica_U6_C12_374a394.indd 390 8/22/18 2:31 PM
6. SE (UPM-SP) Determine qual é o triângulo retân-
gulo cujos dados estão compatíveis.
a)
30°
4
2
b)
60°
√3
3
c)
60°
3
6
d)
45°
3
2
e)
60°
6
3
7. SE (ITA-SP) Um navio, navegando em linha reta, 
passa sucessivamente pelos pontos A, B e C. O co-
mandante, quando o navio está em A, observa um 
farol L e calcula o ângulo °LÂC 305 5 30°. Após 
navegar 4 milhas até B, verifica o ângulo °LB̂C 755 . 
Quantas milhas separam o farol do ponto B?
a) 4 c) 
8
3
 e) 1
b) 2 2 d) 
2
2
 
8. SE (PUC-MG) Uma porta retangular de 2 m de al-
tura por 1 m de largura gira 30°, conforme a figura.
30°
A
B
A distância entre os pontos A e B, em metros, é:
a) 5 . d) 4 3 1 .
b) 3 . e) 6 3 2 .
c) 2 3 1 .
9. SE (Vunesp) Duas rodovias A e B se cruzam for-
mando um ângulo de 45°. Um posto de gasolina se 
encontra na rodovia A, a 4 km do cruzamento. Pelo 
posto passa uma rodovia retilínea C, perpendicular 
à rodovia B. A distância do posto de gasolina à ro-
dovia B, indo através de C, em quilômetros, é:
a) 
2
8
. d) 2 .
b) 
2
4
. e) 2 2 .
c) 
3
2
.
10. SE (Vunesp) Para calcular a distância entre duas 
árvores situadas nas margens opostas de um rio, 
nos pontos A e B, um observador que se encontra 
junto a A afasta-se 20 m da margem, na direção da 
reta AB, até o ponto C e depois caminha em linha 
reta até o ponto D, a 40 m de C, do qual ainda pode 
ver as árvores. Tendo verificado que os ângulos 
DĈB eBD̂C medem, respectivamente, cerca de 15° 
e 120°, que valor ele encontrou para a distância en-
tre as árvores, se usou a aproximação 6 2,4. ?
A
C
B
D
11. S (UEM-PR) Um engenheiro precisa conhecer a 
medida de cada lado de um terreno triangular cujo 
perímetro é 20 m, porém a planta do terreno foi 
rasgada e o que restou foi um pedaço, como na fi-
gura a seguir.
60°
8 m
Os lados do triângulo que não aparecem totalmen-
te na planta do terreno medem:
a) ( )3 3 me 12 3 3 m.2
b) 5 m e 7 m.
c) 4,5 m e 7,5 m.
d) 8 m e 4 m.
e) 3 m e 9 m.
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CAPêTULO 12 • RESOLUÇÃO DE TRIÂNGULOS QUAISQUER 391
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