Operações com Matrizes

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1. (Faculdade Albert Einstein – Medicina) Uma matriz 
B possui i linhas e j colunas e seus elementos são 
obtidos a partir da expressão b
ij
 5 i 2 2j. Seja uma 
matriz A 5 (a
ij
)
2 3 3
 cujos elementos da primeira co-
luna são nulos e I
2
 a matriz identidade de ordem 2, 
tal que AB 5 I
2
. O valor numérico do maior elemen-
to da matriz A é igual a
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3
2. (UEA-AM) Considere as matrizes 
A (a ) ,com a i ,B 5
2
e C
a
b
c
ij 2 3 ij
j 











5 5 5 5
3
, com a, b 
e c números reais.
Sabendo que A ? C 5 B e que b 1 c 5 0, o valor de 
a ? b ? c é igual a
a) 240. b) 220. c) 210. d) 0. e) 5.
3. (Unicamp-SP) Sendo a um número real, considere 
a matriz A 1 a
0 1




5
2
. Então, A2017 é igual a
a) 1 0
0 1




. c) 1 1
1 1




.
b) 1 a
0 1



2
. d) 1 a
0 1
2017


2
.
4. (UEG-GO) Tatiana e Tiago comunicam-se entre si 
por meio de um código próprio dado pela resolução 
do produto entre as matrizes A e B, ambas de or-
dem 2 3 2, onde cada letra do alfabeto correspon-
de a um número, isto é, a 5 1, b 5 2, c 5 3, ...,
z 5 26. Por exemplo, se a resolução de A ? B for 
igual a 1 13
15 18





 , logo a mensagem recebida é 
amor. Dessa forma, se a mensagem recebida por 
Tatiana foi flor e a matriz B 1 1
2 1




5
2 , então a ma-
triz A é
a) 8 7
8 10




2
2
 c) 8 5
7 11






2
2
b) 6 6
7 11




2
2
 d) 6 7
6 11




2 2
5. (EFOMM) Determine uma matriz invertível P que 
satisfaz a equação P A 5 0
0 2
1 




? 5
2
2 , sendo 
A 1 2
3 3





5
2
a) P
5
3
10
9
2
3
2
9












5
2
 d) P
2
9
2
3
10
9
5
3












5
2 2
2
b) P 2 10
6 15





5
2
 e) P
1
5
1
3
5
3
2












5
2
c) P
1
10
2 10
3 3





5
2
6. (Fatec-SP) Uma tela de computador pode ser repre-
sentada por uma matriz de cores, de forma que cada 
elemento da matriz corresponda a um pixel na tela. 
Numa tela em escala de cinza, por exemplo, pode-
mos atribuir 256 cores diferentes para cada pixel, 
do preto absoluto (código da cor: 0) passando pelo 
cinza intermediário (código da cor: 127) ao branco 
absoluto (código da cor: 255).
Suponha que na figura estejam representados 
25 pixels de uma tela.
A matriz correspondente às cores da figura apre-
sentada é dada por
255
0
127
0
255
0
255
0
127
0
127
0
255
0
127
0
127
0
255
0
255
0
127
0
255














Uma matriz M 5 (a
ij
), quadrada de ordem 5, em que 
i representa o número da linha e j representa o 
número da coluna, é definida da seguinte forma:
a
0,se i j
127,se i j
255,se i j
ij




5
5
.
,
A matriz M corresponde a uma matriz de cores em 
escala de cinza, descrita pelo texto, em uma tela.
Sobre essa matriz de cores, pode-se afirmar que ela
a) terá o mesmo número de pixels brancos e cinza.
b) terá o mesmo número de pixels brancos e pretos.
c) terá o mesmo número de pixels pretos e cinza.
d) terá uma diagonal com cinco pixels brancos.
e) terá uma diagonal com cinco pixels cinza.
R
e
p
ro
d
u
ç
ã
o
/F
a
te
c
, 
2
0
1
7
1 Menor elemento em uma tela ao qual é possível atribuir-se uma cor.
CAPêTULO 16 • MATRIZES E DETERMINANTES 521521
Contexto e Aplicacoes Matematica_U7_C16_502a524.indd 521 8/22/18 2:54 PM
7. (IFPE) Rodrigo, Otavio e Ronaldo gostam muito de 
comida japonesa e saíram para comer temaki, tam-
bém conhecido como sushi enrolado à mão, cujo o 
formato lembra o de um cone. Foram, então, visi-
tando vários restaurantes, tanto no sábado quanto 
no domingo. As matrizes a seguir resumem quan-
tos temakis cada um consumiu e como a despesa 
foi dividida:
S
3 2 0
1 1 2
0 3 2
eD
2 3 0
0 2 1
1 0 2
















5 5
S refere-se às quantidades de temakis de sábado e 
D às de domingo. Cada elemento a
ij
 nos dá o núme-
ro de cones que a pessoa i pagou para a pessoa j, 
sendo Rodrigo o número 1, Otávio, o número 2 e 
Ronaldo, o número 3 ((a
ij
) representa o elemento da 
linha i e da coluna j de cada matriz).
Assim, por exemplo, no sábado, Rodrigo pagou 3 
temakis que ele próprio consumiu (a
11
), 2 temakis 
consumidos por Otávio (a
12
) e nenhum por Ronaldo 
(a
13
), que corresponde à primeira linha da matriz S. 
Quantos temakis Otávio ficou devendo para Rodrigo 
neste fim de semana?
a) nenhum c) 2 e) 4
b) 1 d) 3
8. (UEA-AM) Considere as matrizes A
x 3
y 4




5 5 
eB
1 1 2
y 1 1
x 0 5








5 5
2
, com x e y números reais. Sabendo 
que det A 5 det B e que x 1 y 5 5, o valor de xy é 
igual a
a) 1. b) 2. c) 6. d) 8. e) 9.
9. (Udesc) Considere a matriz A
x 1 4 x
2 x








5
2 2
2
, onde 
x [ R. A quantidade de números inteiros que per-
tencem ao conjunto solução da inequação
48 < det(A) < 116 é igual a:
a) 13 b) 22 c) 8 d) 10 e) 6
10. (ESCS-DF) Em determinado fim de semana, o ser-
viço de inspeção sanitária examinou 1 800 passa-
geiros de voos internacionais que chegaram ao 
Brasil. Os passageiros foram separados da seguin-
te forma: os saudáveis (S); aqueles com alguns sin-
tomas, sem, contudo, confirmação de estarem com 
doenças contagiosas (D); e aqueles com casos con-
firmados de possuírem alguma doença contagio-
sa (C). Após a análise dos resultados, descobriu-se 
que os números referentes a S, D e C satisfazem à 
seguinte relação matricial:
2 4 2
1 1 1
1 3 1
S
D
C
300
1800
0


























2 2
2 2
5 
O determinante da matriz quadrada apresentada no 
texto é
a) superior a 10.
b) inferior a 220.
c) superior a 220 e inferior a 25.
d) superior a 25 e inferior a 10.
e) superior a 25 e inferior a 220.
11. (Unioeste-PR) Um número k é chamado de autova-
lor de uma matriz quadrada A, se este número for 
uma raiz da equação det(A 2 kI) 5 0, isto é, se o 
determinante da matriz(A 2 kI) for igual a zero. I é 
a matriz identidade de mesma ordem de A. Com 
relação ao(s) autovalor(es) da matriz A 2 1
4 2




5
2
 
podemos afirmar que:
a) é igual zero.
b) é igual ao determinante da matriz A.
c) são dois números reais distintos.
d) apenas um deles não é número real.
e) são dois números complexos conjugados.
12. (UFGD-MS) Uma matriz A 5 [a
ij
]
3 3 3
 é construída 
obedecendo à lei de formação dada por 
a
sen j
3
2
,se i j
cos(i ), se i j
ij
5
5
p



p




 Þ
.
De acordo com esses dados, pode-se afirmar que
a) o determinante da matriz A é igual a 1.
b) a soma dos elementos da diagonal principal da 
Matriz A é igual a 3.
c) o produto dos elementos da diagonal secundária 
da Matriz Transposta (AT) é igual a 2.
d) o determinante da matriz transposta (AT) é igual a 2.
e) o determinante da Matriz A é igual a zero.
13. (Ifsul-RS) Utilize o fragmento de texto abaixo para 
responder à questão.
Uma empresa de informática constatou que o cus-
to total C(x) em reais para produzir seus equipa-
mentos é dado pela função
C(x) 5 det A 1 det B 2 10x 1 2, na qual x é o núme-
ro de equipamentos produzidos, com 
A x 2x
1 2
eB
0 2 x 1
0 1 0
1 x 2x
2
2
















5
2
5
2 2
2 .
A quantidade de unidades que devem ser fabrica-
das para que o custo seja mínimo é
a) 1 unidade. c) 3 unidades.
b) 2 unidades. d) 4 unidades.
14. (UFC-CE) A matriz quadrada M, de ordem n . 1, 
satisfaz a equação M2 5 M 2 I, onde I é a matriz 
identidade de ordem n . 1. Determine, em termos 
de M e I, a matriz M2003. 
UNIDADE 7 • MATRIZES E SISTEMAS LINEARES522522
Contexto e Aplicacoes Matematica_U7_C16_502a524.indd 522 8/22/18 2:54 PM
15. (Vunesp) Determine os valores de x, y e z na igual-
dade abaixo, envolvendo matrizes reais 2 3 2:
0 0
x 0
0 x
0 0
x y 0
x z
z 4 0
y z 0
5
2
1
2
2




























16 . (Ufop-MG) Observe a matriz 
1 2 3
0x 4
0 0 y










. Chama-se 
traço de uma matriz quadrada a soma dos elemen-
tos de sua diagonal principal. Determine x e y na 
matriz acima de tal forma que seu traço valha 9 e 
x seja o triplo de y. 
17. (Fuvest-SP) Diz-se que a matriz quadrada A tem 
posto 1 se uma de suas linhas é não nula e as ou-
tras são múltiplas dessa linha. Determine os valo-
res de a, b e c para os quais a matriz
A
2
1
2
0
3a b 2c 1 6
b c 3a
1
2
c 2a b
5 2 1
1 2 2 1
















, 3 3 3, tem posto 1. 
18. (ITA-SP) Sejam A e B matrizes 2 3 2 tais que
AB 5 BA e que satisfazem à equação matricial
A2 1 2AB 2 B 5 0. Se B é inversível, mostre que:
a) AB21 5 B21A;
b) A é inversível.
19. (ITA-SP) Sejam as matrizes 




































5
2
2 2
2
2
5
2
2 2
2
2
A
1 0
1
2
1
2 5 0 3
1 1 2 1
5 1
3
2
0
eB
1 3
1
2
1
1 2 2 3
1 1 1 1
5 1
1
2
5
.
Determine o elemento c
34
 da matriz C 5 (A 1 B)21.
20. (Uerj) Três barracas de frutas, B
1
, B
2
 e B
3
, são pro-
priedade de uma mesma empresa. Suas vendas 
são controladas por meio de uma matriz, na qual 
cada elemento b
ij
 representa a soma dos valores 
arrecadados pelas barracas B
i
 e B
j
, em milhares 
de reais, ao final de um determinado dia de feira.










5B
x 1,8 3,0
a y 2,0
d c z
Calcule, para esse dia, o valor, em reais:
a) arrecadado a mais pela barraca B
3
 em relação 
à barraca B
2
; 
b) arrecadado em conjunto pelas três barracas.
21. (UFC-CE) As matrizes A e B são quadradas de or-
dem 4 e tais que AB
9 0 0 0
0 9 0 0
0 0 9 0
0 0 0 9












5 . Determine a ma-
triz BA.
22. (FGV-SP) A e B são matrizes e At é a matriz trans-
posta de A. Se A
2 3
1 y
x 2
eB
1
2
1


















5
2
5 , então a ma-
triz At ? B será nula para:
a) x 1 y 5 23. d) x ? y2 5 21.
b) x ? y 5 2. e) 
y
x
852 .
c) 
x
y
452 .
23. (Fuvest-SP) Uma matriz real A é ortogonal se
AAt 5 I, onde I indica a matriz identidade e At indica 
a transposta de A. Se A
1
2
x
y z










5 é ortogonal, en-
tão x2 1 y2 é igual a:
a) 
1
4
. c) 
1
2
. e) 
3
2
.
b) 
3
4
. d) 
3
2
.
24. (UFC-CE) O valor de a para que a igualdade matri-
cial 2 1
1 1
1 1
1 a
1 0
0 1


















2
2
5 seja verdadeira é:
a) 1. b) 2. c) 0. d) 22. e) 21.
25. (UFF-RJ) Em uma plantação, as árvores são clas-
sificadas de acordo com seus tamanhos em três 
classes: pequena (P), média (M) e grande (G).
Considere, inicialmente, que havia na plantação p
0
 
árvores da classe P, m
0
 da classe M e g
0
 da classe G.
Foram cortadas árvores para venda. A fim de man-
ter a quantidade total de árvores que havia na flo-
resta, foram plantadas k mudas (pertencentes à 
classe P). Algum tempo após o replantio, as quan-
tidades de árvores das classes P, M e G passaram 
a ser, respectivamente, p
1
, m
1
 e g
1
, determinadas 
segundo a equação matricial 










































5 1
'
p
m
g
0,8 0 0
0,2 0,9 0
0 0,1 0,95
p
m
g
k
0
0
1
1
1
0
0
0
.
Observando-se que p
1
 1 m
1
 1 g
1
 5 p
0
 1 m
0
 1 g
0
, 
pode-se afirmar que k é igual a:
a) 5% de g
0
. d) 20% de g
0
.
b) 10% de g
0
. e) 25% de g
0
.
c) 15% de g
0
.
CAPêTULO 16 • MATRIZES E DETERMINANTES 523523
Contexto e Aplicacoes Matematica_U7_C16_502a524.indd 523 8/22/18 2:54 PM