UNIVESP Engenharias CALCULO 1 - GABARITO - 2º Bimestre Código da Prova P3

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AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
CADERNO DE PERGUNTAS 
curso: Engenharia de Produção/ Engenharia de Computação bimestre: 2
o bimestre ano: 2018 | 1sem P3 
• Preencha atentamente o cabeçalho de TODAS AS FOLHAS DE RESPOSTA que você utilizar. 
• Ao término da prova, entregue apenas a folha de resposta ao aplicador. Leve este caderno de 
perguntas consigo. 
Boa prova! 
 
disciplina MCA501 - Cálculo I 
 
• O aluno deve trazer o resumo téorico em formato impresso. O material está disponível no ava. 
 
Questão 1 (1,0 ponto) 
Seja 𝑓𝑓:ℝ∗ → ℝ∗, dada por 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1
𝑥𝑥
. Considere as afirmações: 
 I. lim
𝑥𝑥→0
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0 , 
II. lim
𝑥𝑥→+∞
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0 
III. 𝑓𝑓−1(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 
 
São verdadeiras as afirmações: 
a) Apenas II. 
b) Apenas II e III. 
c) Apenas I e II. 
d) I, II e III. 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
 
Questão 2 (1,0 ponto) 
Calcule os limites a seguir. 
 
I. lim
𝑥𝑥→0
2𝑥𝑥
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠5𝑥𝑥
 
II. lim
𝑥𝑥→4
𝑥𝑥−4
√𝑥𝑥−2
 
III. lim
𝑥𝑥→+∞
2𝑥𝑥4+𝑥𝑥−10
5𝑥𝑥4+𝑥𝑥+1
 
 
Encontramos, respectivamente: 
a) 2
5
, 0, 2
5
 
b) 5
2
, 4, +∞ 
c) 2
5
, ∄, 2
5
 
d) 2
5
, 4, 2
5
 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
 
CÓDIGO DA PROVA 
2 
 
Questão 3 (1,0 ponto) 
Sobre a função, cujo gráfico está a seguir, considere as afirmações. 
 
I. A função é contínua em 𝑥𝑥 = 1 
II. lim
𝑥𝑥→1
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2 
III. 𝑓𝑓(1) = 3 
 
São verdadeiras as afirmações: 
a) Apenas I e II. 
b) Apenas I e III. 
c) Apenas II e III. 
d) I, II e III. 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
 
Questão 4 (1,0 ponto) 
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥 no ponto �5𝜋𝜋
6
, 1
2
�. 
a) 𝑦𝑦 = √3
2
𝑥𝑥 −
5𝜋𝜋√3+6
12
 
b) 𝑦𝑦 = −√3
2
𝑥𝑥 −
5𝜋𝜋√3+6
12
 
c) 𝑦𝑦 = −√3
2
𝑥𝑥 + 5𝜋𝜋√3+6
12
 
d) 𝑦𝑦 = √3
2
𝑥𝑥 + 5𝜋𝜋√3+6
12
 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
 
Questão 5 (1,0 ponto) 
Sendo 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥3 − 15𝑥𝑥2 + 36𝑥𝑥 − 6, podemos afirmar: 
a) 2 é um ponto de mínimo local. 
b) 2 é um ponto de inflexão. 
c) 2 é um ponto de máximo local. 
d) 3 é um ponto de máximo local. 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
 
Questão 6 (1,0 ponto) 
O gráfico da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥3 + 24𝑥𝑥2 − 11𝑥𝑥 + 10 tem concavidade para baixo no intervalo: 
a) ]−∞,−4[ 
b) ]−∞, +4[ 
c) ]−4, +∞[ 
d) ]4, +∞[ 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
 
Questão 7 (1,0 ponto) 
Sabendo que a segunda derivada da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) é dada por 𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥2 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑥𝑥, que 𝑓𝑓′(0) = 5 e 𝑓𝑓(0) = 4, 
então: 
a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥4
4
+ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑥𝑥 + 5𝑥𝑥 − 3 
b) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥4
4
− 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑥𝑥 + 5𝑥𝑥 + 3 
c) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −𝑥𝑥4
4
− 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑥𝑥 + 5𝑥𝑥 + 3 
d) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥4
4
+ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑥𝑥 − 5𝑥𝑥 + 3 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
3 
 
Questão 8 (1,0 ponto) 
Lembrando que a derivada da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎𝑎𝑎𝑥𝑥 é a função 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 1
1+𝑥𝑥2
 podemos afirmar: 
a) 𝑓𝑓 é crescente em ]−∞, 0[ e decrescente em ]0, +∞[ 
b) 𝑓𝑓 é decrescente em ]−∞, 0[ e crescente em ]0, +∞[ 
c) 𝑓𝑓 é crescente em ℝ 
d) 𝑓𝑓 é decrescente em ℝ 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
 
Questão 9 (1,0 ponto) 
Calcule a área da região abaixo do gráfico de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥4 + 5, acima de 𝑦𝑦 = −1, entre 𝑥𝑥 = 0 e 𝑥𝑥 = 1. 
a) 6 
b) 32
5
 
c) 1
5
 
d) 12 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
 
Questão 10 (1,0 ponto) 
Calcule ∫ 𝑥𝑥3𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥4 + 1)𝑑𝑑𝑥𝑥10 . 
a) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠1−𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2
4
 
b) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠1+𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2
4
 
c) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2−𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠1
4
 
d) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠1−𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2
3
 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
4 
 
GABARITO 
 
curso: Engenharia de Produção/ Engenharia de Computação bimestre: 2
o bimestre P3 
 
Disciplina: MCA501 - Cálculo I 
 
Questão 1 
Resposta: alternativa B: 
 
São perguntas diretas e conceituais. Não exigem contas. 
 
 
Questão 2 
Resposta: alternativa D: 
 
I - lim
𝑥𝑥→0
2𝑥𝑥
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠5𝑥𝑥
 = 2
5
lim
𝑥𝑥→0
5𝑥𝑥
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠5𝑥𝑥
= 2
5
∙ 1 = 2
5
 
 
II - lim
𝑥𝑥→4
𝑥𝑥−4
√𝑥𝑥−2
= lim
𝑥𝑥→4
𝑥𝑥−4
√𝑥𝑥−2
∙ √
𝑥𝑥+2
√𝑥𝑥+2
= lim
𝑥𝑥→4
(𝑥𝑥−4)�√𝑥𝑥+2�
𝑥𝑥−4
= lim
𝑥𝑥→4
�√𝑥𝑥 + 2� = 4 
 
III - lim
𝑥𝑥→+∞
2𝑥𝑥4+𝑥𝑥−10
5𝑥𝑥4+𝑥𝑥+1
= lim
𝑥𝑥→+∞
2𝑥𝑥4(1+ 1
2𝑥𝑥3
−
5
𝑥𝑥4
)
5𝑥𝑥4(1+ 1
5𝑥𝑥3
+
1
5𝑥𝑥4
) = lim𝑥𝑥→+∞ 2𝑥𝑥45𝑥𝑥4 = 25 
 
 
Questão 3 
Resposta: alternativa C: 
 
São perguntas diretas e conceituais. Não exigem contas 
 
 
Questão 4 
Resposta: alternativa C: 
 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥 ⇒ 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑥𝑥 e 𝑓𝑓′(5𝜋𝜋
6
) = cos �5𝜋𝜋
6
� = −√3
2
 
Reta tangente: 
𝑦𝑦−𝑓𝑓(5𝜋𝜋
6
)
𝑥𝑥−
5𝜋𝜋
6
= 𝑓𝑓′(5𝜋𝜋
6
) ⇔ : 𝑦𝑦−12
𝑥𝑥−
5𝜋𝜋
6
= −√3
2
⇔ 𝑦𝑦 = −√3
2
𝑥𝑥 + 5𝜋𝜋√3
12
+ 1
2
= −√3
2
𝑥𝑥 + 5𝜋𝜋√3+6
12
 
 
 
Questão 5 
Resposta: alternativa C: 
 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥3 − 15𝑥𝑥2 + 36𝑥𝑥 − 6 ⇒ 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 6𝑥𝑥2 − 30𝑥𝑥 + 36. 
Pontos críticos: 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 0 ⇔ 6𝑥𝑥2 − 30𝑥𝑥 + 36 = 0 ⇒ 𝑥𝑥 = 2, 𝑥𝑥 = 3 
Segunda derivada: 𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) = 12𝑥𝑥 − 30. 
𝑓𝑓′′(2) = −6 < 0 ⇒ 2 é ponto de máximo local 
𝑓𝑓′′(3) = 6 > 0 ⇒ 3 é ponto de mínimo local 
 
 
 
5 
 
Questão 6 
Resposta: alternativa A: 
 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥3 + 24𝑥𝑥2 − 11𝑥𝑥 + 10 ⇒ 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 6𝑥𝑥2 + 48𝑥𝑥 − 11 ⇒ 𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) = 12𝑥𝑥 + 48 
O gráfico de f tem concavidade para baixo ⇔𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) < 0 ⇔ 12𝑥𝑥 + 48 < 0 ⇔ 𝑥𝑥 < −4 
 
 
Questão 7 
Resposta: alternativa E: 
 
𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥2 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑥𝑥 ⇒ 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥 + 𝑎𝑎 ⇒ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥44 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑥𝑥 + 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 
𝑓𝑓′(0) = 5 ⇒ 5 = 03 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠0 + 𝑎𝑎 ⇒ 5 = 𝑎𝑎; 𝑓𝑓(0) = 4 ⇒ 4 = 04
4
+ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠0 + 5 ∙ 0 + 𝑏𝑏 ⇒ 4 = 1 + 𝑏𝑏 ⇒ 𝑏𝑏 = 3 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥44 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑥𝑥 + 5𝑥𝑥 + 3 
Questão 8 
Resposta: alternativa C: 
 
Questão conceitual. Basta observar que 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) > 0 em toda reta real para concluir que a função é crescente 
em todo seu domínio. 
 
 
Questão 9 
Resposta: alternativa E: 
 
Área = ∫ (𝑥𝑥4 + 5 − (−1))𝑑𝑑𝑥𝑥10 = ∫ (𝑥𝑥4 + 6)𝑑𝑑𝑥𝑥 = �𝑥𝑥55 + 6𝑥𝑥� |10 = 15 + 6 = 31510 
 
 
Questão 10 
Resposta: alternativa A: 
 
Fazemos a substituição 𝑢𝑢 = 𝑥𝑥4 + 1. Segue 𝑑𝑑𝑢𝑢 = 4𝑥𝑥3𝑑𝑑𝑥𝑥 e 𝑥𝑥 = 0 ⇒ 𝑢𝑢 = 1 e 𝑥𝑥 = 1 ⇒ 𝑢𝑢 = 2 
� 𝑥𝑥3𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥4 + 1)𝑑𝑑𝑥𝑥1
0
= � 14 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑢𝑢𝑑𝑑𝑢𝑢 = 14 (−𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑢𝑢)|21 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠1 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2421