Matemática_Contexto__aplicações_Volume_único_2018-913-915

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POLINÔMIO
A cada função polinomial associa-se um único po-
linômio (ou expressão polinomial) e vice-versa, de ma-
neira que não há confusão em nos referirmos indis-
tintamente às funções polinomiais ou aos polinômios.
EXEMPLOS: 
1) p(x) 5 5 é um polinômio de grau 0 ou polinômio 
constante.
2) p(x) 5 2x 1 1 é um polinômio do 1o grau.
3) p(x) 5 x2 2 5x 1 6 é um polinômio do 2o grau.
Polinômio identicamente nulo
Define-se polinômio identicamente nulo (Pin) como 
o polinômio cujos coeficientes são todos nulos. Assim, 
p(x) 5 a
n
xn 1 a
n 2 1
xn 2 1 1 ... 1 a
1
x 1 a
0
 é polinômio 
nulo se, e somente se, a
n
 5 a
n 2 1
 5 ... 5 a
1
 5 a
0
 5 0.
 FIQUE ATENTO!
Como o polinômio identicamente nulo não tem coeficien-
te não nulo, não se define grau para ele.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Dado o polinômio 
p(x) 5 (m2 2 1)x3 1 (m 1 1)x2 2 x 1 4, 
com m [ R, discuta o grau de p(x).
Resolução
Fazendo os coeficientes de x3 e x2 iguais a 0, 
temos:
m2 2 1 5 0 ⇒ m2 5 1 ⇒ m 5 ±1
m 1 1 5 0 ⇒ m 5 21
Analisando, vem:
• se m Þ 1 e m Þ 21, o polinômio será 
 do 3o grau.
• se m 5 1, o polinômio será do 2o grau.
• se m 5 21, o polinômio será do 1o grau.
2. Calcule os valores de a, b e c para os quais o 
polinômio 
p(x) 5 (a 1 b)x2 1 (a 2 b 2 4)x 1 (b 1 2c 2 6) 
seja nulo.
Resolução
Se p(x) 5 0 ⇒ 
I
II
III
a b 0 ( )
a b 4 0 ( )
b 2c 6 0 ( )
1 5
2 2 5
1 2 5





Reunindo (I) e (II), temos: 
a b 0
a b 4
1 5
2 5



Resolvendo o sistema, obtemos a 5 2 e b 5 22.
Substituindo b em (III), vem:
b 1 2c 2 6 5 0 ⇒ 22 1 2c 2 6 5 0 ⇒ 
⇒ 2c 5 8 ⇒ c 5 4
Logo, a 5 2, b 5 22 e c 5 4.
EXERCÍCIOS
1. Verifique se são polinômios:
a) p(x) 5 2x3 1 x 1 4 
b) s(x) 5 x 2 x3
1 2 1 
c) r(x) 5 x22 1 3x21 1 4 
d) h(x) 5 x5 2 1 
e) q(x) 5 4x5 2 1 
f) p(x) 5 2v 
g) g(x) 5 
1
x2
 2 3x 
h) q(x) 5 x3 2 x2 1 2x 2 2 
2. Em que condições o grau do polinômio
p(x) 5 (a 1 2)x2 1 (b 2 3)x 1 (c 2 1) é 0?
3. Discuta, para m [ R, o grau dos polinômios:
a) p(x) 5 (m 2 4)x3 1 (m 1 2)x2 1 x 1 1
b) p(x) 5 (m2 2 4)x4 1 (m 2 2)x 1 m
c) p(x) 5 (m2 2 1)x4 1 (m 1 1)x3 1 x2 1 3
4. VALOR NUMÉRICO DE 
UM POLINÔMIO 
Considere um polinômio p(x) e um número real a.
O valor numérico do polinômio p(x) para x 5 a é o 
número que se obtém substituindo x por a e efetuando 
os cálculos necessários. Indica-se por p(a).
Então, p(a) é o valor numérico de p(x) para x 5 a.
EXEMPLOS: 
 1) O valor numérico de p(x) 5 2x2 2 3x 1 5 para 
x 5 4 é:
 p(4) 5 2(4)2 2 3(4) 1 5 5 32 2 12 1 5 5 25
 Logo, p(4) 5 25.
2) Dado p(x) 5 4x3 2 3x2 1 5x 2 10, o valor de p(x) 
para x 5 3 é:
 p(3) 5 4(3)3 2 3(3)2 1 5(3) 2 10 5
 5 108 2 27 1 15 2 10 5 86
 Logo, p(3) 5 86.
3) Se p(x) 5 3x2 2 7, então, para x 5 i, o valor numéri-
co de p(x) é p(i) 5 23 2 7 5 210.
 FIQUE ATENTO!
O valor numérico do polinômio nulo é 0 para qualquer 
valor de x.
Assim, de modo geral, dado o polinômio:
p(x) 5 a
n
xn 1 a
n 2 1
xn 2 1 1 a
n 2 2
xn 2 2 1... 1 a
1
x 1 a
0
o valor numérico de p(x) para x 5 a é:
p(a) 5 a
n
a
n 1 a
n 2 1
a
n 2 1 1 a
n 2 2
a
n 2 2 1 ... 1 a
1
a 1 a
0
CAPêTULO 29 ¥ POLINïMIOS 911
Contexto e Aplicacoes Matematica_U12_c29_909a935.indd 911 8/22/18 3:19 PM
OBSERVAÇÕES:
1) Se a 5 1, o valor numérico de p(x) é a soma de seus coeficientes:
 p(1) 5 a
n
 ? 1n 1 a
n 2 1
 ? 1n 2 1 1 a
n 2 2
 ? 1n 2 2 1 … 1 a
1
 ? 1 1 a
0
 ⇒ 
 ⇒ p(1) 5 a
n
 1 a
n 2 1
 1 a
n 2 2
 1 … 1 a
1
 1 a
0
2) Se a 5 0, o valor numérico de p(x) é o termo independente:
 p(0) 5 a
n
 ? 0n 1 a
n 2 1
 ? 0n 2 1 1 a
n 2 2
 ? 0n 2 2 1 … 1 a
1
 ? 0 1 a
0
 ⇒ p(0) 5 a
0
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Dado o polinômio p(x) 5 2x3 2 x2 1 x 1 5, calcu-
le p(2) 2 p(21).
Resolução
Calculando p(2) e p(21) separadamente, temos:
p(2) 5 2(2)3 2 (2)2 1 2 1 5 5 
5 16 2 4 1 2 1 5 5 19
p(21) 5 2(21)3 2 (21)2 1 (21) 1 5 5 
5 22 2 1 2 1 1 5 5 1
Assim:
p(2) 2 p(21) 5 19 2 1 5 18
2. Dado o polinômio, na forma fatorada,
p(x) 5 (x2 1 2)2(x3 2 2)5, determine o que se pede 
em cada item:
a) a soma dos seus coeficientes;
b) o termo independente.
Resolução
a) Para obter a soma dos coeficientes, basta fazer:
 p(1) 5 (12 1 2)2(13 2 2)5 5 32 ? (21)5 5 29
b) Para obter o termo independente, basta fazer:
 p(0) 5 (02 1 2)2(03 2 2)5 5 22 ? (22)5 5 
 5 4(232) 5 2128
3. Um polinômio p(x) é do 2o grau. Sabendo que
p(2) 5 0, p(21) 5 12 e p(0) 5 6, escreva o polinô-
mio e determine p(5).
Resolução
Se p(x) é um polinômio do 2o grau, sua forma é:
p(x) 5 ax2 1 bx 1 c
Então:
p(2) 5 0 ⇒ a(2)2 1 b(2) 1 c 5 0 ⇒ 
⇒ 4a 1 2b 1 c 5 0 (I)
p(21) 5 12 ⇒ a(21)2 1 b(21) 1 c 5 12 ⇒ 
⇒ a 2 b 1 c 5 12 (II)
p(0) 5 6 ⇒ a(0)2 1 b(0) 1 c 5 6 ⇒ c 5 6 (III)
Substituindo (III) em (I) e (II), temos:
1 52
2 5
1 52
2 5



⇒



4a 2b 6
a b 6
2a b 3
a b 6
Resolvendo o sistema, obtemos a 5 1 e b 5 25.
Sabendo que a 5 1, b 5 25 e c 5 6, vamos escrever:
p(x) 5 ax2 1 bx 1 c 5 x2 2 5x 1 6
Agora, vamos calcular p(5):
p(5) 5 (5)2 2 5(5) 1 6 5 25 2 25 1 6 5 6
Logo, p(x) 5 x2 2 5x 1 6 e p(5) 5 6.
EXERCÍCIOS
4. Dado p(x) 5 x4 2 x 2 3, calcule p(22). 
5. Dados p(x) 5 23x3 1 x2 1 x 2 2 e 
g(x) 5 x3 2 x2 
1 x 2 1, calcule p(21) 1 g(1). 
6. Calcule o valor de p(x) 5 x4 2 3x2 1 5 para 
x 5 3 . 
7. Consideremos o polinômio
p(x) 5 2x3 2 6x2 1 mx 1 n. Se p(2) 5 0 e 
p(21) 5 26, calcule os valores de m e n. 
8. Sabendo que p(21) 5 0, calcule o valor de a em 
p(x) 5 22x3 2 4x2 2 3x 1 2a. 
9. Determine o polinômio p(x) do 1o grau tal que 
p(5) 5 13 e p(3) 5 7. 
10. Calcule a soma dos coeficientes do polinômio 
p(x) 5 (x 2 2)13(x6 2 x 1 2)5. 
11. Calcule o termo independente do polinômio p(x) 
obtido desenvolvendo-se a expressão 
(x2 2 3x 1 2)4(8x4 2 8x2 2 1)8. 
12. Considere o polinômio 
p(x) 5 ax8 1 bx5 1 cx2 1 d. Se p(1) 5 7 e p(0) 5 2, 
qual o valor de a 1 b 1 c? 
UNIDADE 12 • ESTATÍSTICA, NÚMEROS COMPLEXOS E POLINÔMIOS912
Contexto e Aplicacoes Matematica_U12_c29_909a935.indd 912 8/22/18 3:19 PM
5. IGUALDADE DE POLINÔMIOS
Dizemos que 2 polinômios são iguais ou idênticos 
se, e somente se, seus valores numéricos são iguais 
para todo a [ C. Assim:
p(x) 5 q(x) ⇔ p(a) 5 q(a) (; a [ C)
Para que isso aconteça, sua diferença p(x) 2 q(x) 
deve ser o polinômio identicamente nulo. Assim, 2 po-
linômios p(x) e q(x) são iguais se, e somente se, têm 
coeficientes respectivamente iguais (os coeficientes 
dos termos de mesmo grau são todos iguais).
 FIQUE ATENTO!
Polinômios de graus diferentes nunca são iguais.
EXEMPLO: 
Dados os polinômios
p(x) 5 ax3 1 bx2 1 cx 1 d e q(x) 5
5 2x3 1 5x2 2 4x 1 3, temos:
p(x) 5 q(x) ⇔ a 5 2, b 5 5, c 5 24 e d 5 3.
6. RAIZ DE UM POLINÔMIO
Já sabemos que p(a) é o valor numérico do polinô-
mio p(x) para x 5 a.
Se um número complexo (real ou imaginário) a é 
tal que p(a) 5 0, então esse número a é chamado de 
raiz do polinômio p(x).
EXEMPLO: 
1) Dado o polinômio p(x) 5 x2 2 7x 1 10, temos:
 p(5) 5 0 ⇒ 5 é raiz de p(x)
 p(3) 5 22 ⇒ 3 não é raiz de p(x)
2) Dado o polinômio p(x) 5 x3 2 3x2 1 2, temos:
 p(1) 5 0 ⇒ 1 é raiz de p(x)
 p(3) 5 2 ⇒ 3 não é raiz de p(x)
3) O número i é raiz do polinômio p(x) 5 x2 1 1, pois 
p(i) 5 21 1 1 5 0.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Sabendo que 23 é raiz de 
p(x) 5 x3 2 4x2 2 ax 1 48, calcule o valor de a.
Resolução
Se 23 é raiz de p(x), então p(23) 5 0.
Daí:
p(23) 5 (23)3 2 4(23)2 2 a(23) 1 48 5 0 ⇒ 
⇒ 227 2 36 1 3a 1 48 5 0 ⇒ 3a 5 15 ⇒ a 5 5
Logo, a 5 5.
2. O polinômio p(x) 5 x3 1 ax2 1 bx admite as raí-
zes 6 e 1. Calcule os coeficientes a e b.
Resolução
Se p(x) admite a raiz 6, então p(6) 5 0.
p(6) 5 63 1 a(6)2 1 b(6) 5 0 ⇒ 
⇒ 216 1 36a 1 6b 5 0 ⇒ 36 1 6a 1 b 5 0
Se p(x) admite a raiz 1, então p(1) 5 0.
p(1) 5 13 1 a(1)2 1 b(1) 5 0 ⇒ 1 1 a 1 b 5 0
Vamos formar, então, o sistema:
6a b 36
a b 1
1 52
1 52



Resolvendo o sistema, obtemos a 5 27 e b 5 6.
Logo, a 5 27 e b 5 6.
EXERCÍCIOS
13. Determine os valores de a e b para que sejam 
iguais os polinômios p(x) 5 3x 1 2 e q(x) 5 
5 (a 1 b)x2 1 (a 1 3)x 1 (2 2 b). 
14. Dados p(x)5 (mx2 1 nx 1 p)(x 1 1) e g(x) 5 
5 2x3 1 3x2 2 2x 2 3, determine os valores de 
m, n e p para que se tenha p(x) 5 g(x).
15. Verifique se o número 3 é raiz do polinômio 
p(x) 5 x3 2 3x2 1 2x 2 6. 
16. Determine o valor de k no polinômio:
a) p(x) 5 x3 1 7x2 2 kx 1 3, sabendo que 
 x 5 21 é raiz do polinômio; 
b) p(x) 5 4x4 2 8x3 2 (k 1 5)x2 1 (3k 2 2)x 1 
 1 5 2 k, sabendo que x 5 2 é raiz do polinômio.
17. Calcule os valores de a e b no polinômio:
a) p(x) 5 x3 1 (a 2 2)x2 1 (b 2 4)x 2 3, sabendo 
que 1 e 21 são raízes do polinômio; 
b) p(x) 5 x3 1 ax2 1 (b 2 18)x 1 1, sabendo que 
1 é raiz do polinômio e p(2) 5 25. 
18. Determine o valor de a para que o número 
1 2 i seja raiz do polinômio p(x) 5 x2 2 2x 1 a. 
7. OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS
Por meio de exemplos, vamos retomar operações 
conhecidas no estudo de expressões algébricas, como 
adição, subtração e multiplicação de polinômios, além 
da multiplicação de um número real por um polinômio. 
Em seguida, estudaremos mais detalhadamente a di-
visão de polinômios.
1) Se p(x) 5 3x2 1 2x 2 1 e 
 q(x) 5 2x3 1 4x2 2 2x 2 5, temos:
 p(x) 1 q(x) 5 2x3 1 (3 1 4)x2 1 (2 2 2)x 1 (21 2 5) 5 
 5 2x3 1 7x2 2 6
2) Se p(x) 5 3x2 2 4x 1 1 e q(x) 5 5x2 2 3x 1 4, temos:
 p(x) 2 q(x) 5 3x2 2 4x 1 1 2 5x2 1 3x 2 4 5 
 5 22x2 2 x 2 3
CAPêTULO 29 ¥ POLINïMIOS 913
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