Matemática Ciências e Aplicações V3-289-291

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22 Seja a equação 4x3 - 19x’ + 28x + m = 0. Determine:a) m, sabendo c[ue 2 é raiz dupla dessa equação;
b) a outra raiz.
23 Determine a multiplicidade da raiz - 3 em relação à equação x ‘ + 4x3 + 2x2 + 12x + 45 = 0.
24 Qual é a multiplicidade da raiz 1 em relação à equação x ’ - 3x‘ + 5x3 - 7xJ + óx - 2 = 0?
25 Resolva a equação x - 5x‘' + óx5 = 0, indicando a multiplicidade de cada raiz.
26 Resolva, em C, a equação x-1 - 8x3 + 18x2 — l6x + 5 = 0, sabendo que 1 é raiz tripla dessa equação.
27 Considere a equação x’ — x' — 9x’ + mx - 4 = 0. Sabendo que - 1 é raiz. tripla dessa equação, determine:a) o valor de nr.b) a outra raiz da equação.
28 Sabendo que a equação x* - 3X-1 + 2x’ - 6x2 + x - 3 = 0 apresenta - i e / como raízes duplas, determine seu conjunto solução.
29 Se, na equação x3 - 75x + 250 = 0, m é raiz dupla e -2 m é a outra raiz, 
deLermine seu conjunto solução.
30 (UF-MG ) Determine todos os valores reais dos parâmetros p, q e r emP(x) = x 1 + (p - 3)x3 + pxJ + qx + r, para que zero seja raiz dupla e seja também a única raiz. real de P(x).
31 (Fuvest-SP) Suponha tjue o polinômio do 3” Rrati P(x) = x3 + x2 + mx + n, em 
C|ue m e n são números reais, seja divisível por x — 1.aj Determine n em função de m.b) Determine m para c|ue P(x) admita raiz dupla dilerente de 1.
c) Que condições m deve satisfazer para c]ue P(x) admita três raízes reais e distintas?
MATEMÁTICA CtFNr.JA f AP| iTAÇClFS
O Raízes complexas
O teorema seguinte nos fornece uma informação importante a respeito do número 
de raízes complexas não reais de uma equação polinomial com coeficientes reais.
Antes de demonstrá-lo, vamos apresentar algumas propriedades importantes a respei­
to do conjugado de um número complexo.
Sejam os números complexos z, = a + bi e z, = c + di e x E IR.
Temos:
(0 z, + z-, = z, + z ,
De fato:
z. + z2 = (a + c) + (b + d)i => z, + z, = (a + c) - (b + d)i 
z ] + z2 = a + c - bi - di = (a - bi) + (c - di) = z, + z}
(II) x • z, = x • z, 
De fato:
x • z, = x(a + bi) = xa + xbi e x • z, = xa - xbi,
isto é:
x • z, = x(a - bi) = x ■ z.
(III) x = x
De fato, como x E R, x = x + Oi, donde x = x - Oi, isto é, x = x.
(IV) Escrevendo z = a + bi na forma trigonométrica, z = p(cos 0 + i sen 0), podemos 
verificar que:
zn = (z)n
Pela Primeira Fórmula de Moivre, temos:
z" = pn[cos (n0) + i sen (n0)]
Assim:
Por outro lado:
zn = p ’ [cos(n0) - isen(n0)](a)
z = p(cos0 - i sen0) = p[cos(- 0) + i • sen(-0)]
donde:
UV = p'[cos(-nQ) + i • sen(-nQM = pntcos(nô) - isen(nQ)^b)
Comparando (a) e (b), segue que z" = (z)".
UlLAÇÚtS 1‘ULtNÜMIAlS UL ALQtllK1‘.AS
Teorema
Se um número complexo z = a + bi,com b * 0 ,é raiz de uma equação com coeficientes 
reais, então seu conjugado 2 = a — bi também é raiz dessa equação.
Demonstração
Seja a equação p(x) = anxn + a„ _ , x n" 1 + ... + a,x + a0 = 0, com an, an_ , ........0 ,, a0
coeficientes reais.
Da hipótese, z é raiz da equação, isto é, p(z) = 0.
a„zn + a„_ ,zn" 1 + .. . + a, • z + a0 = 0 => a„zn + a„_.z '"' + .. .+ a • z + a0 = Õ
Usando (I), podemos escrever:
anz" + ar.,z"~] + ... + a,z + a0 = 0
De (II) e (III), vem:
anz" + ar_ ,zn~ + ...+ a,z + a0 = 0
Usando (IV), vem:
an(z)n + an_1(z)r" 1 + . . . + a, z + an = 0 
isco é, p(z) = 0 ,o que mostra que J . é raiz de p(x) = 0.
Observações10 Se o numero complexo z = a + bi, b ^ 0, é raiz com multiplicidade w de uma equação polinomial, então seu conjugado 7. = a - bi, b * 0, também é raiz com multiplicidade n t dessa equação.2?) Esse teorema nos garante que. numa equação de coeficientes reais, raízes complexas não reais sempre ocorrem aos pares (a + bi e a — bi). Dessa forma, uma equação de grau ímpar apresenta ao menos uma raiz real.
Se uma equação com coeficientes reais tem como raizes simples 3, — 2i e 1 + i, então, 
necessariamente,duas outras raízes são 2i e 1 - i , pelo teorema das raízes complexas. Assim, 
o menor grau que essa equação pode ter é 5.
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