Matemática Ciências e Aplicações V2-274-276

Prévia do material em texto

(P3) Postulado da inclusão
Se uma reta tem dois pontos distintos 
num plano, então ela está contida no 
plano.
Na figura ao lado, temos:
(A * B, r = AB, A G ot, B G ot) r C a
(P4) Postulado das paralelas
Por um ponto passa uma única reta pa­
ralela a uma reta dada.
Na figura ao lado, temos:
P G s, s // r, s é única.
P s
r
Observe os postula­
dos com o auxílio da fi­
gura seguinte.
(Pl) a) f Existem as retas r, s, t, ...
J Existem os pontos A, B, C ,... pertencentes a r 
j Existem os pontos D, E, F , ... não pertencentes a r
b) Existe o plano a
Existem os pontos A, B, D, 6 ,... pertencentes a a 
Existem os pontos X, Y ,... não pertencentes a a
(P2) a) r = AB = BC; t = DE = EF
b) A, D, E determinam a
(P3) A G a e B G a = > A B = r C a
D G a e E G a ^ DE = s C a
(P4) X G t, t//r, f é única, isto é, pelo ponto X passa uma única paralela a uma reta dada.
M A TJM Á lICA : C lfN C lA f APl ICAÇQí ^
G Q Q O Q O G O G
1 Use a figura e os ciados do exemplo anterior para responder às questões se­
guintes.
a) Quantas retas contêm o ponto D l
b) Quantas retas distintas são determinadas pelos pontos A, B, C e El
c) Quantos planos contêm o ponto Y!
d) Pelo ponto X, quantas retas paralelas a r podem ser traçadas?
e) A reta D C pertence a ot? E a reta D X , pertence a a?
D As retas AB e BC sào paralelas? Justifique sua resposta.
g) As retas r e t são paralelas? Justifique sua resposta.
h) As retas XY e AC são paralelas? Justifique sua resposta.
O Determinação de planos
Vamos usar o tampo da mesa mostrada na figura para ilustrar as quatro maneiras de 
determinar um plano.
Observe que:
► 1? Os pontos A, B e C são não colineares e, segundo o postulado (P2), determinam 
o plano a.
Assim, três pontos não colineares determinam um plano.
Indica-se a. = (A, B, C).
GF0MFIR1A ESPACIAL UE POSiçAü
► 2? O ponto C não pertence à reta r. Tomando-se dois pontos A e B em r, A * B, eles
determinam com C o plano a . Então, podemos dizer que uma reta r = AB eum ponto 
C, C ff r, determinam o plano a.
Indica-se: a = (A, B, C) = (r, C).
► 3? As retas r e s são concorrentes em P. Tomando-se o ponto A e m r e o ponto D em
s, os pontos A , Pe D , não colineares, determinam o plano a. Assim, podemos dizer 
que duas retas r = AP e s = DP, concorrentes em P, determinam o plano a. 
Indica-se: a = (A, D, P) = (r, s).
► 4? As retas r e f são paralelas. Tomando-se dois pontos A e 8 e m r , A ^ B , e u m ponto
O em t, os pontos A , Be Q, não colineares, determinam o plano a. Então, podemos 
dizer que duas retas r e t, paralelas distintas, determinam um plano a.
Indica-se: a = (A, B, Q) = (r, t).
Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das sentenças seguintes, justifican­
do cada resposta.
a) Três pontos distintos determinam um único plano.
b) Os vértices de um triângulo são coplanares.
c) Se três pontos são coplanares, então eles são colineares.
Respostas e justificativas:
a) Falsa. Os três pontos distintos podem estar numa mesma reta. Nesse caso, eles não 
determinam um único plano, e sim infinitos planos (figura l).Os três pontos precisariam 
não ser colineares para que ficasse determinado um único plano (figura 2).
b) Verdadeira. Como os três vértices de um triângulo são pontos não colineares, o 1? 
postulado garante a existência de um plano que contém o triângulo (figura 2).
c) Falsa. Três pontos podem ser coplanares sem pertencerem à mesma reta (figura 2).
MATEMÁTICA: CltNCIA E APlICAÇQlS