Matemática em Contexto Geometria plana e espacial (35)

Prévia do material em texto

Geometria espacial de posição
Neste capítulo, o estudo da Geometria de posição no espaço será feito de maneira intuitiva, apoiado 
essencialmente na observação de modelos, figuras e objetos. 
Observe como representaremos os entes primitivos da Geometria:
 ponto (A, B, C, …) reta (r, s, p, …) plano (a, b, g, …)
Você já pode ter notado que conceitos como ponto, reta, plano e espaço nunca foram definidos porque 
são intuitivos, estão em nossa mente de maneira natural e os distinguimos espontaneamente: tanto a reta 
quanto o plano são conjuntos de infinitos pontos.
Os conceitos primitivos são os elementos iniciais do estudo que vamos iniciar agora. Outros conceitos 
serão definidos a partir deles, e as propriedades da Geometria resultarão dessas relações.
Posições relativas: ponto e reta; ponto e plano
Como ponto é elemento da reta e do plano, dizemos que ele pertence ou não a eles.
•	 Dados um ponto P e uma reta r, podemos ter uma, e apenas uma, das situações: P pertence a r ou P 
não pertence a r.
•	 Dados um ponto P e um plano a, podemos ter uma, e apenas uma, das situações: P pertence a a ou 
P não pertence a a.
Veja alguns exemplos:
Il
u
s
tr
a
ç
õ
e
s
: 
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/ 
A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
B
C A
X
D
E
s
r
B pertence a r.
B não pertence a s. 
E não pertence a r. 
E não pertence a s.
F pertence a b. 
F não pertence a a. 
H não pertence a a. 
H não pertence a b.
G
F
I
M
J
H
b
a
Posições relativas de pontos no espaço
Dois ou mais pontos são colineares se existe uma reta que passa por eles e são coplanares se existe um 
plano que contêm todos eles.
Qual é a posição do 
ponto X em relação 
às retas r e s? E dos 
pontos M e G em 
relação aos planos a 
e b?
Reflita
X pertence a r; 
X não pertence a s. 
G pertence a a; 
G não pertence a b; 
M pertence a a; 
M pertence a b.
Dada uma reta no espaço, existem infinitos pontos na reta e infinitos pontos fora dela; dado um plano no espaço, existem 
infinitos pontos no plano e infinitos pontos fora dele.
Fique atento
Il
u
s
tr
a
ç
õ
e
s
: 
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/ 
A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
67
062a081_V3_MATEMATICA_Dante_g21At_Cap2_LA.indd 67062a081_V3_MATEMATICA_Dante_g21At_Cap2_LA.indd 67 07/09/2020 12:3507/09/2020 12:35
Observe as figuras:
A
B
C
A, B e C são pontos 
colineares.
E
F
G
E, F e G não são pontos 
colineares.
P
Q
R
P, Q e R são três pontos 
coplanares.
X
Y
W
Z
X, Y, Z e W são pontos não 
coplanares.
Os seguintes axiomas, que são afirmações admitidas como verdadeiras sem a ne-
cessidade de demonstração, relacionam os entes primitivos da Geometria:
1o) Dois pontos distintos determinam uma única reta.
2o) Três pontos não colineares determinam um único plano.
Posições relativas de duas retas distintas no espaço 
Observe o paralelepípedo representado a seguir.
São 12 as arestas do paralelepípedo: AB, BC , CD, AD , EF , 
FG, GH, EH , BF , CG, AE e DH .
São 6 as faces, determinadas por: ABCD, FGHE, CDHG, BFGC, 
ADHE e ABFE.
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
•	Em cada plano há infinitas retas. No plano do espaço que contém a face determinada por ABCD, 
por exemplo, além das retas indicadas, temos as definidas por AC , BD , entre outras. 
•	No espaço há infinitas retas. Localize na figura dada as retas AG
s ruu
, BE
s ruu
, BG
s ruu
 e DF
s ruu
.
Reflita
De agora em diante, indicaremos o plano determinado por três pontos não 
colineares, por exemplo, A, B e C, simplesmente por plano (ABC).
Na figura, plano (ABC) 5 plano (ABD) 5 plano (ACD) 5 plano (BCD).
Fique atento
Esse exemplo nos ajuda a compreender as posições relativas de retas distintas 
quaisquer no espaço.
Duas ou mais retas são coplanares quando existe um plano que contém todas elas. 
As retas AB
s ruu
, BC
s ruu
, CD
s ruu
, DA
s ruu
 e AC
s ruu
 são coplanares porque o plano (ABCD) também 
as contém. As retas AE
s ruu
, 
s ruu
EH e 
s ruu
DH também são coplanares, porque o plano (AEHD) 
contém essas três retas.
Observe que as retas coplanares 
s ruu
AB e 
s ruu
CD não têm ponto comum. O mesmo acon-
tece com as retas coplanares 
s ruu
BC e 
s ruu
AD .
Retas coplanares que não têm ponto comum são chamadas retas paralelas.
Outros pares de retas paralelas são: 
s ruu
CD e 
s ruu
GH , 
s ruu
AD e 
s ruu
EH, 
s ruu
CG e 
s ruu
DH , etc. O par de 
retas 
s ruu
AB e 
s ruu
AD tem um único ponto comum, isto é, essas retas intersectam-se em um 
ponto. O mesmo acontece com 
s ruu
BC e 
s ruu
CD.
Retas que têm um único ponto comum são chamadas retas concorrentes.
A
E H
D
C
F
B
G
AB
s ruu
 e GH
s ruu
 são retas 
coplanares. BC
s ruu
 e 
EF
s ru
 são retas não 
coplanares.
Fique atento
s ruu
AD e 
s ruu
FG são retas 
paralelas. Justifique.
Reflita
AD
s ruu
 e FG
s ruu
 são retas 
coplanares porque 
estão contidas no 
mesmo plano (ADGF). 
Como essas retas não 
têm ponto comum, elas 
são paralelas.
Il
u
s
tr
a
ç
õ
e
s
: 
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/
A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
68
062a081_V3_MATEMATICA_Dante_g21At_Cap2_LA.indd 68062a081_V3_MATEMATICA_Dante_g21At_Cap2_LA.indd 68 07/09/2020 12:3507/09/2020 12:35