Permutações e Combinatória

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59 (FGV-SP) Suponha que uma senha (pcissword) utilizada numa rede de com­
putadores seja constituída de 5 letras, escolhidas entre as 26 do alfabeto 
latino, sendo permitida a repetição de letras.
a) Quantas senhas diferentes podem ser construídas?
b) Quantas senhas podem ser construídas com uma letra comparecendo pelo 
menos duas vezes?
(Observação: não é necessário efetuar os cálculos, basta deixá-los indicados.)
60 Numa dinâmica de grupo, uma psicóloga de RII (Recursos Humanos) rela­
ciona de todas as formas possíveis dois participantes: ao primeiro faz a per­
gunta e ao segundo pede que comente a resposta do colega. Admita que a 
psicóloga não repetirá a mesma pergunta mais de uma vez.
a) Se 10 candidatos participam da dinâmica, qual é o número de perguntas 
feitas pela psicóloga?
b) Qual é o número mínimo de candidatos que obriga a psicóloga a ter mais 
de 250 questões para realizar a dinâmica?
61 Um curso de inglês é dividido em quatro panes: vocabulário, gramática, con­
versação e interpretação de textos. Todos os dias, essas panes são estudadas, 
mas nunca na mesma ordem. Em quantos dias se esgotará a sequência possí­
vel de aulas para o curso?
O Permutações
Definição
Dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se permutação dos n elementos 
a todo arranjo desses n elementos tomados n a n
O número total de permutações de n elementos, indicado por Pn, é dado por:
Você perceberá que esse problema é um caso particular de 
arranjo, e será objeto de estudo do item 5.
P„ = A, nl
(n - n)!
MAUMATlCA: CIÊNCIA E APLICAÇÕES
Notemos que a permutação é um caso particular de arranjo, pois, dado um conjunto 
com n elementos distintos, selecionamos exatamente n elementos para formar a sequência 
ordenada,
Vamos escrever todos os anagramas da palavra SOL.
Um anagrama da palavra SOL é qualquer permutação das letras S, O, L de modo que
se forme uma palavra com ou sem sentido.
Temos:
SOL, SLO, OSL, OLS, LOS, LSO
De quantas maneiras cinco pessoas, A, B, C, D e E, podem ser dispostas em fila indiana? 
Cada maneira de compor a fila é uma permutação das cinco pessoas, pois qualquer 
fila obtida é uma seqüência ordenada na qual comparecem sempre as cinco pessoas.
Assim, o resultado procurado é P5 = 5! = 120 (ou poderiamos fazer diretamente: 
5 • 4 -3 • 2 , • . 1. = 120).
Agora, quantas filas podem ser compostas começando por A ou BI 
Vejamos:
• A 1- posição da fila pode ser escolhida de duas maneiras (pois tanto A como B podem 
iniciá-la).
• Definido o início da fila, restarão sempre quatro lugares para serem preenchidos pelas 
quatro pessoas restantes, num total de PA = 4! = 24 possibilidades.
Pelo PFC, o resultado procurado é 2 x 24 = 48.
Oito pessoas, entre elas Antônio e 
Pedro, vão posar para uma fotografia. De 
quantas maneiras elas podem ser dispos­
tas se Antônio e Pedro recusam-se a ficar 
lado a lado?
Sem levar em conta a restrição apre­
sentada, o número total de possibilidades 
é P8 = 8! = 40 320.
ANÁLISE CDMHINAIÜRIA
Para determinar o número de possibilidades em que Antônio e Pedro aparecem juntos, 
vamos considerá-los "uma só pessoa! que irá permutar com as seis restantes, num total de 
P7 = 7! = 5 040 maneiras. Porém, para cada uma dessas possibilidades, Antônio e Pedro 
podem trocar de lugar entre si, num total de P2 = 2 maneiras. Dessa form a,2x5 040= 10 080 
é o número de maneiras em que eles aparecem juntos.
Por fim, a diferença 40 320 - 10 080 = 30 240 fornece o número de situações em que 
Antônio e Pedro não aparecem lado a lado.
62 Calcule:
a) P4 b) P6 c)
_FN
Ps
63 Determine n, sabendo que Pn = 120.
64 Resolva a equação
65 Qual é o número de anagramas da palavra SOMA? E de LIVRO?
66 Considere os anagramas da palavra BRASIL.
a) Quantos são?
b) Quantos começam por E>
c) Quantos começam por vogal?
67 Determine quantos anagramas da palavra BRASIL apresentam as letras BR 
juntas e:
a) nessa ordem; b) em qualquer ordem. 68
68 Considere os anagramas formados com as letras C, A, S, T, E, L, O:
a) Quantos são?
b) Quantos começam por C?
c) Quantos começam por CAS?
d) Quantos começam e terminam por vogal?
e) Quantos começam por vogal e terminam por consoante?
MATEMAlICA: CIÊNCIA E APtICAÇÒES