Matemática Ciências e Aplicações V2-499-501

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Note que, em cada caso, o plano a divide o cone em dois sólidos: um cone de vértice 
V com base em a e um oulro sólido que é chamado tronco de cone.
Na figura na qual o plano a é paralelo à base do cone,a seção determinada é um círculo 
de centro O', e é chamada seção transversal do cone.
Vamos estudar apenas os troncos de cone circular reto de bases paralelas.
E le m e n to s
• Base maior do tronco: é a base do cone.
• Base menor do tronco: é a seção transversal do cone.
• Altura do tronco: é a distância entre os planos das bases.
V
A
base menor
h (altura)
Observe na figura que a seção determinada pela 
interseção de um tronco de cone com um plano que 
contém o segmento OO1, determinado pelos 
centros das bases, é um trapézio isósceles. Ela é 
chamada seção mendiana do tronco.
,0 ' f
O R
Á re a s e v o lu m e
Área da base maior (Aa)
A área do círculo de raio R é chamada de área da base maior. 
Logo,
A„ = jcR? .
Área da base menor (Áb)
A área do círculo de raio r recebe o nome de área da base menor. 
Logo,
Ab = nr7
I KUNCQS 499
Área lateral (/A.)
A superfície lateral de um tronco de cone é a reunião das geratrizes do tronco. A área 
dessa superfície é a área lateral do cone.
A fórmula que permite calcular.A( pode ser obtida subtraindo-se da área lateral do cone 
original a área do cone secionado, ou seja:
Af = nRg, - 7trg2
Na figura ao lado, temos:
• g, = g + g,
• AVOA ~ AVO'A' => _R = J j _ =>
r 9>
=> Rg2 = rg, => Rg2 - rg, = 0 (*)
Substituindo esses resultados em:
Af = rtRg, - rtrg,
temos:
Af = juR(g + g-.) - jir(g, - g) = 7tRg + jrRg, - 7trg, + rtrg =
= 7tRg + ir(Rg2 - rg,) + rtrg = jtRg + jxrg
---- v---- 1//
0 {devido a *)
Logo, A{ = j i(R + r)g .
Área total (A,)
A área total é obtida pela soma das áreas das duas bases com a área lateral.
MATEMÁTir/V: CIÊNCIA C AfUCAÇÚÍS
Volume (V)
O volume de um tronco de cone qualquer de bases paralelas é obtido pela diferença 
entre os volumes de dois cones (o de base B, cuja área da base é á #,e o de base b, cuja 
área da base é A0) — procedimento análogo ao usado para se obter o volume do tronco 
de pirâmide.
Assim, a fórmula que dá o volume de um tronco de cone é uma adaptação da fórmula 
que fornece o volume de um tronco de pirâmide:
V = - j- • [A . + v'Ab • A0 + A„j
Substituindo A0 = j iR2 e Ab = 7tr2, temos:
V = • [jtRJ + \i'7tR‘ ■ Ttr2 + jtr j => V = ~ - ■ [jtR2 -+■ tcRr + nr2] =>
=> V = -3p- ■ [R2 + Rr + r2]
O vaso mostrado na figura tem a forma de um tron­
co de cone reto cuja geratriz mede 15 cm; os raios das 
bases medem 6 cm e 12 cm. Considerando as espessu­
ras das laterais e do fundo do vaso desprezíveis, vamos 
calcular sua área lateral, sua área total e seu volume 
interno.
ÍHürsCOS 501