Análise de Funções Matemáticas

Prévia do material em texto

* se a < 0, por meio de raciocínio semelhante concluímos que o valor máximo de y
ocorre quando x = - - 5 - ; nesta situação, o valor máximo de y é 
2a J
y = a A
4a
Conclusão: em ambos os casos as coordenadas de V são A _ A \
2a ' 4a J
Exemplo -----------------------------------------------------------------------------
Vamos calcular m em y = x2 - 8x + (2m + 1) a fim de que o valor mínimo assumido por 
y seja - 12.
Como a = 1 > 0 , essa parábola tem ponto de mínimo. O valor mínimo é a ordenada 
yv do vértice.
Devemos ter:
yv = = -12 =s 64 - 4 (2m + 1) 
4" = 12 m = •
Exemplo 2
Uma bala é atirada de um canhão 
(como mostra a figura) e descreve uma 
parábola de equação y = - 3 x 2 + 60x 
(sendo x e y medidos em metros).
Vamos determinar:
a) a altura máxima atingida pela bala;
b) o alcance do disparo.
a) Como a = -3 < 0, a parábola tem um ponto de máximo V cujas coordenadas são 
(xv, yv). Temos:
- 60 = io 
—6
i ^ - = 300
Assim, a altura máxima atingida é 300 m.
b) A bala toca o solo quando y = 0, isto é: -3 x2 + 60x = 0 => x = 0 ou x = 20.
Mas x = 0 não convém, pois representa o ponto inicial do disparo; então, o alcance do 
disparo é 20 m.
MAM MA MCA: U ff t lt lA f A P IirA Ç fttS
Q Q Q G O Q O Q B
34 Determine o vértice de cada uma das parábolas representativas das seguintes funções:a) y = x ' - 4 b) v = 2x2 - 5x + 2 c) v = —x2 + x -----—■ ■ g
35 Determine o valor máximo (ou mínimo) e o ponto de máximo (ou mínimo) de cada uma das funções abaixo, definidas em IR:a) y = 2X2 + 5xb) y = - 3x2 + 12x c) y = 4x2 - 8x + 4
36 Determine o valor de m na função real f(x) = mx2 + (m - l)x + (m + 2) para que o valor máximo seja 2.
37 A parábola de equação y = —2x2 + bx + c passa pelo ponto (1, 0) e seu vértice é o ponto de coordenadas (3. v). Determine v.
38 Fstima-se que, daqui a .v anos, o número de pessoas que visitarão um deter­minado museu será dado por N(x) = 30x2 - 120x + 3 000.a) Atualmente, qual é o número de pessoas que visitam o museu?b) Quantas pessoas visitarão o museu no 10? ano?c) Daqui a quantos anos será registrado o m en or número de visitantes?
39 Dentre todos os números reais x e y tais que x + y = 10, determine aqueles cujo produto é máximo.
40 Um pintor de quadros de uma feira de artesanato calculou que o custo total de uma tela pequena é de R$ 30.00. Ele acredita que se ven­der cada tela por .v reais, venderá, por mês, 90 - x relas (0 < x < 90).a) O lucro L obtido pelo pintor é função do preço de venda ,v. Es­creva a lei que define L(x).b) Qual será seu lucro mensal se o preço de venda de cada tela for de R$ 40,00?c) Para que valor de .v o pintor terá lucro máximo? Qual será esse lucro?
FUNÇÀU llUAUKAlIUA
41 Dentre todos os números reais .v e y de soma 6, determine aqueles cuja soma dos quadrados é mínima.
42 Entre todos os retângulos de perímetro 20 cm. determine o de área máxima.
43 (Unifor-CE) Dispõe-se de uma folha de papel retan­gular medindo 20 cm de largura por 24 cm de com­primento. Deseja-se recortar nas quinas da folha quatro quadrados iguais, conforme mostra a figura ao lado. Quanto deve medir o lado de cada quadrado para que a área da região sombreada seja máxima?
44 (FGV-SP) Num parque de diversões A. quando o preço de ingresso é R$ 10,00, verifica-se que 200 freqüentadores comparecem por dia; quando o preço é RS 15.00. comparecem 180 freqüentadores por dia.
a.) Admitindo que o preço (/>) relaciona-se com o número de freqüentadores por dia i.x) através de uma função do l'-' grau, obtenha essa função, bl Num ouLro parque B, a relação entre p e x é dada por p = 80 - Ü,4x. Qual o preço que deverá ser cobrado para maximizar a receita diária?
45 (Fuvest-SP) Num terreno, na forma de um triângulo retângulo com catetos de medidas 20 e 30 metros, deseja-se construir uma casa re­tangular de dimensões .v e j , como indicado na figura.a) Exprima v em função de x.b) Para que valores de .v e de r a área ocupada pela casa será máxima?
M AlhM ÁnrA. CIÊNCIA f APMCAÇflFS