Matematicas Simplificadas-170

Prévia do material em texto

CAPÍTULO 11
 ÁLGEBRA • Números complejos
483
Ej
em
pl
os
EJEMPLOS
EJERCICIO 113
Realiza las siguientes operaciones:
 1. − ⋅ −3 27 11. 
−
−
12
75
 2. − ⋅ − ⋅ −8 18 3 12. 
− − −
−
8 64
4
 3. − ⋅ − ⋅ −2 4 6 13. 
− + −4 49
100
 4. 
1
2
4
2
3
9−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ 14. 
− + − + −
−
5 45 20
125
 5. 
1
8
16 9
1
4
25− ⋅ − − − 15. − + − − −( ) ÷ −8 18 50 32
 6. − ⋅ −16
25
81
4
 16. i i i3 5 1+( ) ÷ −( )
 7. − − + −( )25 3 4 2 9 17. 
1
2 14 2i i− +
 8. − − + −( )18 2 3 18. 
i i
i
n n
n
⋅ +2 2
2
 9. 
−144
9
 19. 
i i
i
n n
n nn
+ −
− −+
+2 2
2 31 2
 10. 
−
−
36
4
 20. 
i i i i
i i i i
+ + + +
+ + + +
2 3 1001
2 3 999
...
...
 ⁄ Verifi ca tus resultados en la sección de soluciones correspondiente 
Números complejos
Se forman por una parte real y una imaginaria.
Son de la forma z = a + bi, con a, b ∈ R, donde:
a = Re z( ) parte real y b = Im z( ) parte imaginaria
Un número complejo se representa de las siguientes formas:
 forma rectangular o binomial forma cartesiana
 z = a + bi z = a b,( )
 z = a z = a,0( )
 z = bi z = 0,b( )
1 Representa en forma cartesiana los números complejos: z1 = − 4 + 5i, z2 = 2i, z3 = 8.
Solución
 Forma cartesiana
 z1 = − 4 + 5i z1 = (− 4, 5)
 z2 = 2i z2 = (0, 2)
 z3 = 8 z3 = (8, 0)
 11 CAPÍTULO
 MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
484
Ej
em
pl
os
EJEMPLOS
2 Representa en forma binomial o rectangular los siguientes números complejos: z1 = 3 1,−( ) , z2 = 2 0,( ) y z3 = 0 3, .−( )
Solución
 Forma binomial
 z1 = (3, −1) z1 = 3 − i
 z2 = (2, 0) z2 = 2
 z3 = (0, −3) z3 = − 3i
EJERCICIO 114
Representa los siguientes números complejos en su forma binomial o cartesiana, según sea el caso:
 1. 2 + 3i 7. 0 2,−( )
 2. −( )1 5, 8. − 1
3
 3. 7i 9. 3 0,( )
 4. 
2
3
5
4
− i 10. 5
2
11
− i
 5. 5 − 2i 11. 
5
2
8,−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 6. 
1
2
6
7
,−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ 12. 1 − i
 ⁄ Verifi ca tus resultados en la sección de soluciones correspondiente 
Suma y resta
Sean los números complejos z = a + bi, w = c + di
Se defi ne:
 z + w = (a + c) + (b + d )i = (a + c, b + d ) z − w= (a − c) + (b − d )i = (a − c, b − d )
1 Sean los números complejos z = 2 +3i y w = − 4 + 6i, realiza: (z + w) y (z − w).
Solución
Se aplica la fórmula para la suma y la resta, para obtener:
 z + w = (2 + 3i) + (− 4 + 6i) = (2 + (− 4)) + (3 + 6)i = − 2 + 9i
 z − w = (2 + 3i) − ( − 4 + 6i) = (2 − (− 4)) + (3 − 6)i = 6 − 3i
2 ¿Cuál es el resultado de (4 − 2i) + (−3 + 4i)?
Solución
Se aplica la fórmula de la resta y se obtiene:
(4 − 2i) + (− 3 + 4i) = (4 + (− 3)) + (− 2 + 4)i = 1 + 2i = (1, 2)
 CAPÍTULO 11
 ÁLGEBRA • Números complejos
485
Ej
em
pl
os
EJEMPLOS
3 Efectúa la siguiente operación: (− 5, − 4) − (− 6, 1).
Solución
Se representan ambos complejos en su forma rectangular y se realiza la operación:
(− 5, − 4) − (− 6, 1) = (− 5 − 4i) − (− 6 + i) = (− 5 − (− 6)) + (− 4 − 1) i = 1 − 5i
Este resultado también se representa como (1, − 5)
4 Resuelve: 
3
2
4
3
2
1
3
+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ + −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟i , .
Solución
Se expresa el segundo sumando en su forma rectangular y se efectúa la suma:
 
3
2
4
3
2
1
3
3
2
4
3
2
1
3
+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ + −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ + − +i i, ii
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = 
3
2
2
4
3
1
3
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ + +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ i
 = − +1
2
5
3
i o −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1
2
5
3
,
Por consiguiente, el resultado es: − +1
2
5
3
i o −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1
2
5
3
,
Multiplicación por un escalar
Para efectuar la operación se multiplica el escalar por la parte real e imaginaria del número complejo como lo indica 
la siguiente fórmula:
c a bi ac bci+( ) = +
1 Realiza la operación: 3 2 5−( )i .
Solución
Se realiza la multiplicación de 3 por ambos elementos del número complejo:
3 2 5 3 2 3 5 6 15−( ) = ( ) − ( ) = −i i i
Por tanto, el resultado de la operación es: 6 15− i
2 Obtén el resultado de: 3 7 4 2 3 2−( ) − − +( )i i .
Solución
Se realiza el producto de los escalares por los números complejos:
3 7 4 2 3 2 3 7 3 4 2 3−( ) − − +( ) = ( )( ) − ( )( )( ) + −( ) −( ) +i i i −−( )( )( )2 2 i
 = −( ) + −( )21 12 6 4i i
 = +( ) + − −( )21 6 12 4 i
 = −27 16i