Números Complexos na Matemática

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 UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAIBA 
 CENTRO DE TENOLOGIA 
 DEPARTAMENTO DE TECNLOGIA MECÂNICA 
 PROF. ANTONIO SERGIO 
 NUMEROS COMPLEXOS 
 
Os números complexos representam uma importante ferramenta em matemática. 
Um número complexo tem duas componentes: uma real e outra imaginária. Assim sendo, 
podemos representar um numero complexo na forma: 
 
 Z = A + jB (1) 
 
onde Z é um numero complexo qualquer, A é sua parte real e B a sua parte imaginária, 
sendo que B = 1− . 
 Os números complexos representam o conjunto de números mais abrangente. Os 
números reais são um sub-conjunto dos números reais. Os números reais é um numero 
complexo com a parte imaginária igual a zero. 
 Em circuitos elétricos os números complexos são muito importantes pois permite 
analisar circuitos reativos, isto é, circuitos que contem resistores, capacitores e indutores. 
Também, como foi visto, tesões e correntes alternadas senoidais também podem ser 
representadas por números complexos. Isto facilita muito analise de circuitos alternados em 
regime permanente. 
Um numero complexo pode ser representado em duas formas: retangular e polar. A 
forma retangular foi mostrada acima na Eq (1). Na forma polar, o numero complexo é 
representado por seu módulo e ângulo. Assim, tem-se para o numero complexo acima: 
 
Z = φ∠Z (2) 
 
 Aonde 22 BAZ += e =φ tg-1 (B/A) (3.a) 
 Como Z constitui-se claramente a hipotenusa de um triângulo retângulo, tem-se 
que: 
 A = )cos(.Z φ e B = )(sen.Z φ (3.b) 
 
 
 
 A transformação de retangular para polar tem que levar em conta o quadrante em 
que está o numero complexo. 
 
 Exemplo1 
 Transformar de retangular para polar os seguintes números complexos: 
 a) 3 + j4 (b) 3 – j4 (c) – 3 + j4 (d) -3 – j4 
 
 2 
 Solução: 
 Para o caso (a) temos 543Z 22 =+= e φ= tg-1(4/3) = 53,130 
 No caso (a) vê-se claramente que numero complexo se encontra no 1o quadrante do 
plano complexo: 
 
 
 caso a caso b 
 
 Para o caso (b) o módulo é o mesmo, porém o ângulo é φ = tg-1(-4/3) = -53,130. O 
que leva a conclusão fácil que este numero complexo está no 4o quadrante do plano 
complexo. 
 No caso (c), no entanto, pode-se ser traído pela calculadora. O módulo ainda é 5, 
como se nota facilmente. Quanto ao ângulo tem-se: 
 
 o1 13,53
4
3tg −=−=φ − 
 O resultado acima pode levar erroneamente à conclusão que o numero complexo 
do caso (c) também está no 4o quadrante. No entanto, isto não é verdade. Se locamos o 
numero complexo no plano complexo como se vê abaixo, tem-se: 
 
 
 caso c caso d 
 
 Assim, o numero complexo de (c) está de fato no 2o quadrante. Para ver isso, faze-
mos: 
 - 3 + j4 = -(3 – j4) = 5∠ (-53,13o ± 180o) = 5∠ 126,87o 
 
 No resultado acima considera-se que se Z = φ∠Z , -Z = o180(Z ±φ∠= 
 De forma mais direta, podemos dizer, conforme a figura acima que o ângulo é 
simplesmente: 
 
 φ = 180o – 53,13o = 126,870 
 
 O último caso, o (d), pode levar à mesma conclusão do caso (a) , isto é, que 
estaria também no 1o quadrante, pois pela calculadora tem-se: 
 
 3 
 =Z 5 e φ = tg-1 (-4/-3) = tg-1 (4/3) = +53.13o. 
 
 No entanto, examinando-se, diretamente o numero complexo em questão, vê-se 
que tanto a parte real como a imaginária, são negativas, o que leva à conclusão que de fato 
este numero complexo está no 3o quadrante, conforme mostra a ultima figura acima. 
 
 Complexo conjugado 
 
 Seja Z um numero complexo qualquer. Z* será seu complexo conjugado de maneira 
que: 
 Z = A + jB ⇒ Z* = A -jB & Z = φ∠Z ⇒ Z* = φ−∠Z (4) 
 
 Operações com números complexos. 
 
 a) Soma e subtração. 
 Para somar e subtrair dos números complexos, soma-se ou subtrai-se suas 
 correspondentes partes reais e imaginárias. 
 
 Exemplo 2: 
 Somar os números complexos -3 + j4 e 5 + j6 
 Solução: 
 A soma dos números complexos será: (-3 + 5) + j(4 + 6) = 1 + j10 
 Uma operação trivial, portanto. 
 Uma aplicação direta em circuitos alternados está na soma/subtração de tesões/ 
correntes alternadas senoidais. Seja v1(t) = Vm1.sen(ω.t + φ1) e v2(t) = Vm2.sen(ω.t + φ2). 
Como seria v1(t) + v2(t)? Para responder a esta pergunta, devemos ter em mente que: 
 
 A soma/subtração de duas ou mais funções senoidais quaisquer da mesma 
freqüência tem como resultado uma outra função senoidal da mesma freqüência das 
funções iniciais. 
 
 A soma/subtração de duas ou mais funções senoidais diretamente, sob a forma 
temporal, não é procedimento matemático trivial. No entanto, expressando-se cada uma 
destas funções na forma complexa, o procedimento fica simples, como se verá. Assim, seja: 
 
 v1(t) = Vm1.sen(ω.t + φ1) ⇒ V1 = 11
V φ∠ = A + jB 
 v2(t) = Vm2.sen(ω.t + φ2) ⇒ V2 = 12V φ∠ = C + jE 
 
2
VV 1m
1 = & 
2
VV 2m
2 = : valores eficazes 
 V1 + V2 = (A + C) + j (B + E) 
 
 22
21 )EB()CA(VV +++=+ & φT = tg-1 




+
+
CA
EB (5.a) 
 Assim sendo, tem-se: 
 
 v1(t) + v2(t) = VmT.sen(ω.t + φT) 
 4 
 
 aonde VmT = 2xVV 21 + (5.b) 
 
 Exemplo 3: 
 
 Duas tensões v1(t) = 100.sen(200.t + 80o) e v2(t) = 141.sen(200t +50o) são 
aplicadas em série a um resistor de 30 Ω, conforme figura abaixo. Determinar a potência 
total dissipada pelo resistor: 
 
 
 
 Solução: 
 
 Antes de mais nada, precisa-se somar as duas tensões. Para isso, de acordo com 
(2), (3.a) e (3.b), toma-se os seus números complexos correspondentes 
 
 V1 = 
2
100 ∠ 80o = 12,28 + j69,65 & V2 = 
2
141 ∠ 80o = 64,28 + j76.6 
 
 De acordo com (5.a), tem-se: 
 
 22
21 )60,7665,69()28,6428,12(VV +++=+ = 
 22
21 )25,146()93,81(VV +=+ = 167,64 : valor eficaz 
 φT = tg-1 
93,81
26,146 = 60,74o 
 v1(t) + v2(t) = 2 x 167,64.sen(200t + 60,74o) 
 
 A potência total dissipada no resistor é dada por: 
 
 P = 8,936
30
64,167 2
= watts 
 
 b) Multiplicação e divisão. 
 
 Para a multiplicação e divisão deve-se operar na forma polar. Seja Z1 = A + jB 
Z2 = C + jD. Antes converte-se cada um destes números para a forma polar: 
 
Z1 = 11 φ∠Z e Z2 = 22 φ∠Z 
 
 5 
Na multiplicação de dois números complexos, multiplica-se os módulos e soma-
se os ângulos. Assim, 
 
ZT = Z1 x Z2 = )(ZxZ 2121 φ+φ∠ 
 
Exemplo 4: 
Multiplicar os números complexos Z1 = 3 + j4 e Z2 = 2 + j1 
Solução: 
 
1Z = 543 22 =+ φ1 = tg-1 (4/3) = 53,13o 
2Z = 23212 22 ,=+ φ1 = tg-1 (1/2) = 26,57o 
ZT = Z1 x Z2 = 5x2,23∠ (53,13o + 26,57o) = 11,15∠ 79,7o 
 
Por outro lado, pode-se multiplicar diretamente os dois númeroscomplexos 
usando-se produtos notáveis: 
 
ZT = Z1 x Z2 = (3 + j4)x(2 + j1) = 3x2 + 3xj1 + j4x2 + j.j.4x1 
 = 6 – 4 + j8 + j3 = 2 + j11 : considerando que j.j = j2 = -1 
 
Transformando na forma polar o resultado acima, tem-se: 
 
2 + j7 ⇒ )/(tg 211112 122 −∠+ = 11,18∠ 79,7o 
 
O que coincide com o resultado obtido acima usando-se a notação polar. 
 
Para se dividir usa-se um procedimento análogo.a o da multiplicação. Usa-se a 
forma polar: divide-se os módulos e subtrai-se os ângulos. Assim, 
 
ZT = )(
Z
Z
Z
Z
21
2
1
22
11 φ−φ∠=
φ∠
φ∠
 
 
Exemplo 5: 
Em relação aos números complexos acima, dividir o primeiro pelo segundo. 
Solução 
 
ZT = o
o
o
57,2624,2
57,2623,2
13,535 ∠=
∠
∠ 
 
Por outro lado, pode-se dividir diretamente em coordenadas retangulares: 
 
ZT = 
1j2
4j3
+
+ 
 
Antes de se continuar a operação acima, multiplicamos o numerador e o 
denominador pelo conjugado do numero complexo do denominador. A 
 6 
multiplicação de um numero complexo pelo seu conjugado dá, como vimos o 
seu módulo ao quadrado: 
 
ZT = 1j2
5
5j10
)1j2(x)1j2(
)1j2(x)4j3( +=+=
−+
−+ 
 
Convertendo o resultado acima para a forma polar chega-se a o57,2624,2 ∠ , o 
mesmo resultado acima. 
Concluindo, pode-se dizer que forma polar é mais direta e simples de usar para a 
multiplicação e divisão que a forma retangular e implica em menos enganos e 
erros.