Matematicas Simplificadas-241

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 MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
696
Encuentra los datos que se piden en cada uno de los siguientes paralelogramos:
 1. Determina / A, / B y / C
A
40°
B
CD
 5. Halla el valor de x y y
53° y
x x
 2. Encuentra / DCA, / CAD, / DAB, / DCB, / D y / B
 
A B
C
60°
40°
D
 6. Calcula la medida de los ángulos y y z
yx + 5°
z+ 15°x
3
1
 3. Encuentra / A, / B, / C y / ADC
BA
70°
CDE
 7. Precisa el valor de x y la medida de los ángulos y y z
z 
2x
y
4
3
x + 15° 
 4. Determina el valor x, /y y /z
 2
5
x – 15° 5x – 30° 
y z 
 8. Halla el valor de x y la medida de los ángulos y y z
4x + 5 0°
2x + 4 0° 
y
z
 EJERCICIO 18
Determina los ángulos interiores del siguiente paralelogramo:
Solución
En todo paralelogramo, los ángulos adyacentes son suplementarios, entonces:
 / P + / M = 180° S x + 3x − 12° = 180° S 4x = 180° + 12°
 4x = 192°
 x = 
192°
4
 = 48°
Luego, los ángulos opuestos son iguales, por tanto:
/ N = / P = 48°
/ O = / M = 3(48°) − 12° = 144° − 12° = 132°
1
Ej
em
pl
os
EJEMPLOS
 
M
x
N
O P 
 
3x – 12°
 
 Ú Verifi ca tus resultados en la sección de soluciones correspondiente 
5
 GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA • Cuadriláteros
697
Sea el triángulo ABC cuyos puntos medios de los lados AB, BC y AC son D, E y F respectivamente, demostrar que 
DFCE es un paralelogramo. A
B
C
D
E
F
Solución
Afi rmaciones Razones
1. DE FC= , DE FCi 1. En todo triángulo el segmento que une los puntos 
medios de dos lados es paralelo e igual a la mitad del 
tercer lado.
 
DE AC AF FC FC FC= = +( ) = ( ) =1
2
1
2
1
2
2
2. DF EC= , DF ECi 2. En todo triángulo el segmento que une los puntos 
medios de dos lados es paralelo e igual a la mitad del 
tercer lado.
 
DF BC BE EC EC EC= = +( ) = ( ) =1
2
1
2
1
2
2
3. DFCE es paralelogramo 3. Si los lados opuestos de un cuadrilátero son iguales y 
paralelos, es un paralelogramo.
Sea PQRS los vértices de un paralelogramo, T el punto medio de PS y U el punto medio de RQ , demuestra que TQUS 
es un paralelogramo.
P Q
RS
T U
Solución
Afi rmaciones Razones
1. PT = TS
2. QU = UR
3. PS QR= y PS QRi
4. TS = QU
5. TS QUi
6. TQUS es paralelogramo
1. T es el punto medio del segmento PS
2. U es el punto medio del segmento QR
3. En un paralelogramo los lados opuestos son iguales y 
paralelos.
4. De la afi rmación 3, se tiene que PS QR= , entonces: 
PT TS QU UR+ = + S 2 2TS QU= S TS QU=
5. Son segmentos de PS y QR , los que a su vez son 
paralelos.
6. Dos lados opuestos TS y QU son paralelos e iguales.
22
1
Ej
em
pl
os
EJEMPLOS
Demostraciones
Para que un cuadrilátero sea un paralelogramo se debe probar que 2 de sus lados son iguales y pa ralelos.
5
 MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
698
Realiza las siguientes demostraciones:
 EJERCICIO 19
 1. Sea ABCD los vértices de un paralelogramo, P y Q dos puntos sobre la diagonal AC , de modo que PA es congruente 
con QC , demuestra que PBQD es paralelogramo.
 2. Sea ABCD los vértices de un paralelogramo, E y F son puntos sobre la diagonal AC , de tal manera que DF biseca 
al / ADC y BE biseca al / ABC, demuestra que DEBF es paralelogramo.
 3. Sea RSTU un paralelogramo, V y W puntos sobre la diagonal TR de modo que UW y SV son perpendiculares a TR , 
demuestra que UWSV es un paralelogramo.
 4. Sea ABCD los vértices de un paralelogramo, Q, R, S, T, puntos sobre los lados AB , , , BC CD DA respectivamente, de tal 
manera que AQ ≅ CS y BR ≅ TD , demuestra que QRST es paralelogramo.
 5. Sea PQRS los vértices de un trapecio, SR es paralelo a PQ y PS ≅ SR , demuestra que RP biseca / P.
 6. Demuestra que la suma de los cuadrados de las diagonales de un paralelogramo, es igual al doble producto de la suma 
del cuadrado de sus lados adyacentes.
 Ú Este ejercicio no tiene soluciones al fi nal del libro por ser demostraciones. 
Paralelogramos especiales
Se les denomina así al rectángulo, al rombo y al cuadrado, los cuales pertenecen al conjunto de los paralelogramos y 
se defi nen de la siguiente manera:
Rectángulo. Es el paralelogramo que tiene sus ángulos iguales, también se le conoce como paralelo-
gramo equiángulo.
Rombo. Paralelogramo que tiene sus lados iguales, también recibe el nombre de paralelogramo 
equilátero.
MN = NO = OP = PM
Cuadrado. Se defi ne como el paralelogramo equiángulo y equilátero, esto es, un cuadrado es un 
rectángulo y a la vez un rombo.
/ R =/ S =/ T =/ U = 90°; RS = ST = TU = UR
Propiedades
 1. Los rectángulos tienen sus ángulos rectos.
 / A = / B = / C = / D = 90°
 2. Las diagonales de un rectángulo son iguales.
 AC = BD
 3. Las diagonales de un rectángulo forman 2 pares de triángulos congruentes.
 Δ ≅ ΔAED BEC ; Δ ΔDEC AEB≅
A B
D C
M
N
O
P
R S
TU
A B
D C
E