Matematicas Simplificadas-413

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4 CAPÍTULO
 MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
1212
Encuentra la derivada de la función f (x) 
2 1
5
x
x
, aplica la definición.
Solución
dy
dx
 lím
 
x
x x
x x
x
x
x0
2 1
5
2 1
5
( )
dy
dx
 lím
 
x
x x
x x
x
x
x0
2 2 1
5
2 1
5
dy
dx
 lím
x
x x x x x x
x x
0
5 2 2 1 2 1 5( )( ) ( )( )
( 55 5)( )x
x
 al simplificar,
dy
dx
 lím
x
x
x x x x0
11
5 5( )( )
 lím
x x x x0
11
5 5( )( )
 se resuelve el límite
dy
dx
 f (x) 
11
5 2( )x
 
¿Cuál es la derivada de la función y x 2 ?
Solución
dy
dx
 lím
x
x x x
x0
2 2
 se racionaliza la expresión
dy
dx
 lím
x
x x x
x
x x x
x x x0
2 2 2 2
2 2
dy
dx
 lím
x
x x x
x x x x0
2 2
2 2
2 2
 lím
x
x x x
x x x x0
2 2
2 2
dy
dx
 lím
x
x
x x x x0 2 2
 lím
x x x x0
1
2 2
De tal manera que, al resolver el límite se obtiene:
dy
dx
 f (x) 
1
2 2x
 
3
4
 CAPÍTULO 4
 CÁLCULO DIFERENCIAL La derivada
1213
Deriva las siguientes funciones, utiliza la definición.
 1. y 3x 2 11. f (x) 
3
2x
 2. y 2a bx 12. f (x) 
x
x
2
2
1
1
 3. y x2 13. f (x) x 2
 4. f (x) 3x2 5x 14. f (x) x2 4
 5. y ax2 bx c 15. y 2 13 x
 6. y x3 16. y 
2
x
 7. y x3 x2 17. y x3
 8. y 
4 16
2
2x
x
 18. y 
2
13 x
 9. y 
2
1
x
x
 19. y 
x
x
1
3
10. y (x 1)(x2 x 1) 20. y xn
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente 
EJERCICIO 28
Fórmulas para determinar la derivada de una función algebraica
La forma directa de obtener la derivada de una función algebraica es la aplicación de las siguientes fórmulas:
 1. 
d
dx
c 0 7. 
d
dx
v
n v
dv
dx
n
nn
1
1
 2. 
d
dx
x 1 8. 
d
dx
v
v
dv
dx
1
2
 3. 
d
dx
cv c
dv
dx
 9. 
d
dx
uv u
dv
dx
v
du
dx
( )
 4. 
d u v w
dx
du
dx
dv
dx
dw
dx
 10. 
d
dx
u
v
v
du
dx
u
dv
dx
v
 
2
 5. 
d x
dx
nx
n
n( ) 1 11. 
d
dx
c
v
c
v
dv
dx2
 6. 
d
dx
v nv
dv
dx
n n 1 12. 
d
dx
v
c c
dv
dx
1
 4 CAPÍTULO
 MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
1214
¿Cuál es la derivada de la función y x3 2x2 4x 5?
Solución
Al aplicar las fórmulas respectivas se obtiene:
dy
dx
 
d
dx
x x x( )3 22 4 5 
d
dx
x
d
dx
x
d
dx
x
d
dx
( ) ( ) ( ) ( )3 22 4 5
 
d
dx
x
d
dx
x
d
dx
x
d
dx
( ) ( ) ( ) ( )3 22 4 5
 3x2 2(2x) 4(1) 3x2 4x 4
Deriva la función y x23 
Solución
Aplicamos el hecho de que amn a
m
n y posteriormente a n 
1
an
dy
dx
 
d
dx
x
d
dx
x23
2
3 
2
3
2
3
1
x 
2
3
1
3x 
2
3
1
3x
 
2
3 3 x
 
Calcula la derivada de la función s 
1
5 t
 
Solución
ds
dt
d
dt t
d
dt
t
1
5
1
5 
1
5
1
5
1
t 
1
5
6
5t 
1
5
6
5t
 
1
5 65 t
 
pero t 65 t t55 t t5 , por tanto 
ds
dt
 
1
5 5t t
 
Obtén la derivada de la función y 
4
x
 
Solución
dy
dx
d
dx x
d
dx
x
4
4 1( ) 4 1d
dx
x( ) 4 1 1 1( )x 4 2x 
4
2x
 
Determina la derivada de la función y 2
73 x
x
 
Solución
dy
dx
 
d
dx
x x2 7
1
3
1
2 
d
dx
x
d
dx
x2 7
1
3
1
2 2 7
1
3
1
2
d
dx
x
d
dx
x
 2
1
3
7
1
2
1
3
1
1
2
1
x x 
2
3
7
2
2
3
3
2x x
 
2
3
7
223 x x x
 
Ej
em
pl
os
EJEMPLOS
1
2
3
4
5