Deformação por Flexão em Vigas

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DEFORMAÇÃO POR FLEXÃO
Prof.Msc. Rivaildo da Silva Filho
Resistência dos Materiais II
18/08/2021
Rivaildo Filho
Carimbo
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INTRODUÇÃO
❖No estudo de deformação de um corpo elástico será presumido
que há suficientes restrições para impedir seu deslocamento
como corpo rígido.
❖Portanto, nenhum deslocamento de partículas do corpo é
possível sem que este sofra uma deformação.
❖Assume-se também que as seções transversais do corpo,
permanecem planas e normais ao eixo longitudinal deformado
da peça.
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INTRODUÇÃO
𝑑𝑣 (𝑥)
𝑑𝑥
≈ 𝜃(𝑥)
4
EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA L.E
A Linha Elástica (LE) é a curva que representa o eixo longitudinal da viga
após sua deformação.
A deflexão “v” é, portanto, o deslocamento
de qualquer ponto no eixo da viga.
v
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EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA L.E
❖Quando a viga é flexionada, ocorrem em cada ponto ao
longo do eixo, uma deflexão (v) e uma rotação (θ).
❖O ângulo de rotação “θ” é o ângulo formado entre o eixo
“x” e a tangente à curva da LE.
❖Sendo assim, para cada ponto ao longo do eixo x, teremos
um par de valores diferentes de v e θ.
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EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA L.E
𝑣 + 𝑑𝑣
𝑑𝑠
Por razões geométricas, temos:
tg 𝜃 =
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 𝑣′
Inclinação da LE
Para vigas com pequenos deslocamentos
e pequenos ângulos de rotação (θ 0),
podemos considerar:
𝑑𝑠 ≈ 𝑑𝑥 ՜
1
𝑝
=
𝑑𝜃
𝑑𝑥
= 𝑘
tg 𝜃 ≈ 𝜃 ՜
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 𝜃
𝑑𝑠 = 𝜌. 𝑑𝜃՜
𝑑𝜃
𝑑𝑠
=
1
𝑝
𝑑𝑠
7
EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA L.E
Logo, se:𝑘 =
1
𝑝
=
𝑑𝜃
𝑑𝑥
, e 𝜃 =
𝑑𝑣
𝑑𝑥
, expresso em radianos, temos: 
𝑘 =
1
𝑝
=
𝑑
𝑑𝑥
.
𝑑𝑣
𝑑𝑥
=
𝑑2𝑣
𝑑²𝑥
= 𝑣′′
Equação válida 
para pequenas 
rotações
VIGAS COMUNS 
NA ENGENHARIA
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EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA L.E
Para materiais elásticos lineares (Lei de Hooke):
𝜎𝑋 = 𝐸. 𝜀𝑋 𝜀𝑋 =
1
𝜌
. 𝑦 = 𝑘. 𝑦
𝜎𝑋 = 𝐸. 𝑘. 𝑦 =
𝑀𝑧
𝐼𝑍
. 𝑦
𝑑2𝑣
𝑑2𝑥
= 𝑣′′ = −
𝑀𝑧
𝐸. 𝐼𝑧
Equação Diferencial da Linha elástica
O momento 𝑀𝑧 também muda com X, e
portanto, é representando como uma
função 𝑴𝒛 (x).
RELAÇÃO ENTRE 
TENSÃO E 
DEFORMAÇÃO
RELAÇÃO ENTRE 
DEFORMAÇÃO E 
CURVATURA
𝜎𝑋 =
𝑀𝑧
𝐼𝑍
. 𝑦
TENSÃO NA 
FLEXÃO
𝑘 =
𝑀𝑧
𝐸. 𝐼𝑍
𝑘 =
𝑑2𝑣
𝑑²𝑥
= 𝑣′′
O sinal negativo serve para adequar a
função ao referencial que utilizamos, rotação
positiva no sentido horário e flecha positiva
para baixo.
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CONVENÇÃO DE SINAIS
Y (+)
X (+)
EIXOS
V(+)
DEFLEXÃO
Y (+)
X (+)
θ (+) ou 
𝐝𝐯
𝐝𝐱
(+)
ROTAÇÃO
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CONVENÇÃO DE SINAIS
MOMENTOS FLETORES
11
CASO 1 – VIGA BIAPOIADA COM CARGA DISTRIBUÍDA
𝑣𝑚á𝑥
x
𝑅𝐴 𝑅𝐵
1°: Cálculo das reações de apoio .
2°: Cálculo do momento fletor a esquerda de X.
12
CASO 1 – VIGA BIAPOIADA COM CARGA DISTRIBUÍDA
𝑣𝑚á𝑥
𝑅𝐴 𝑅𝐵
෍𝐹𝑌 = 0֜𝑅𝐴 + 𝑅𝐵 = 𝑞. 𝐿֜𝑅𝐵 = 𝑞. 𝐿 − 𝑅𝐴 = 𝑞. 𝐿 −
𝑞. 𝐿
2
֜𝑹𝑩 =
𝒒. 𝑳
𝟐
෍𝑀𝐵 = 0֜𝑅𝐴. 𝐿 − 𝑞. 𝐿.
𝐿
2
= 0֜𝑅𝐴 =
𝑞. 𝐿2
2𝐿
֜𝑹𝑨 =
𝒒. 𝑳
𝟐
PASSO 1 - Cálculo das reações de apoio 
+
13
CASO 1 – VIGA BIAPOIADA COM CARGA DISTRIBUÍDA
X
q
𝑅𝐴
𝑀𝑧
𝑒𝑠𝑞
= 𝑅𝐴. 𝑥 − 𝑞. 𝑥.
𝑥
2
֜𝑀𝑧
𝑒𝑠𝑞
= 𝑅𝐴. 𝑥 −
𝑞. 𝑥²
2
֜+
Sabendo que 𝑅𝐴 =
𝑞.𝐿
2
, temos:
𝑀𝑧
𝑒𝑠𝑞
=
𝑞. 𝐿
2
. 𝑥 −
𝑞. 𝑥²
2
֜𝑀𝑧
𝑒𝑠𝑞
=
𝑞. 𝐿. 𝑥
2
−
𝑞. 𝑥²
2
Pela equação da linha elástica, temos:
𝑣′′ =
𝑑2𝑣
𝑑2𝑥
= −
𝑀𝑧
𝐸.𝐼𝑧
֜
𝑑𝜃
𝑑𝑥
= −
𝑞.𝐿.𝑥
2
−
𝑞.𝑥2
2
𝐸.𝐼𝑧
֜ 𝐸. 𝐼𝑧. 𝑑𝜃 = −
𝑞.𝐿.𝑥
2
+
𝑞𝑥2
2
. 𝑑𝑥
𝜃 =
𝑑𝑣
𝑑𝑥
֜
𝑑𝜃
𝑑𝑥
=
𝑑2𝑣
𝑑𝑥²
Sabendo que,
PASSO 2 - Cálculo do momento fletor a esquerda de X
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CASO 1 – VIGA BIAPOIADA COM CARGA DISTRIBUÍDA
𝐸. 𝐼𝑧. 𝑑𝜃׬ = ׬ −
𝑞.𝐿.𝑥
2
+
𝑞𝑥2
2
. 𝑑𝑥 ֜ 𝐸. 𝐼𝑧.θ = −
𝑞𝐿𝑥2
4
+
𝑞𝑥3
6
+ 𝐶1
Integrando em ambos os lados da equação, temos:
Sabendo que θ =
𝑑𝑣
𝑑𝑥
, Integramos novamente: 
𝐸. 𝐼𝑧. 𝑑𝑣׬ = ׬ −
𝑞.𝐿.𝑥2
4
+
𝑞𝑥3
6
+ 𝐶1 . 𝑑𝑥֜ 𝐸. 𝐼𝑧.𝑣 = −
𝑞𝐿𝑥3
12
+
𝑞𝑥4
24
+ 𝐶1. 𝑥 + 𝐶2
Equação para rotação
Equação para deflexão
න𝑥𝑛. 𝑑𝑥 =
𝑥𝑛+1
𝑛 + 1
+ 𝑐
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CASO 1 – VIGA BIAPOIADA COM CARGA DISTRIBUÍDA
(I) Para 𝑥 =
𝐿
2
֜ tg 𝜃 = 0֜𝜃 = 0
Primeira Condição de contorno
Como, para pequenos deslocamentos, tg 𝜃 ≈ 𝜃
Substituindo na equação da rotação, temos:
𝐸. 𝐼𝑧.θ = −
𝑞𝐿𝑥2
4
+
𝑞𝑥3
6
+ 𝐶1 ֜ 𝐸. 𝐼𝑧 .(0) = −
𝑞𝐿
𝐿
2
2
4
+
𝑞
𝐿
2
3
6
+ 𝐶1
֜𝐶1 =
𝑞𝐿3
16
−
𝑞𝐿3
48
֜ 𝐶1 =
3𝑞𝐿3 − 𝑞𝐿3
48
=
2𝑞𝐿3
48
=
𝑞𝐿3
24
֜ 𝐶1 =
𝑞𝐿3
24
16
CASO 1 – VIGA BIAPOIADA COM CARGA DISTRIBUÍDA
(II) Para 𝑥 = 0֜𝑣 = 0
Segunda Condição de contorno
Substituindo na equação da deflexão, temos:
𝐸. 𝐼𝑧.(0) = −
𝑞𝐿 0 3
12
+
𝑞 0 4
24
+ 𝐶1. (0) + 𝐶2
𝐶2 = 0
𝐸. 𝐼𝑧.𝑣 = −
𝑞𝐿𝑥3
12
+
𝑞𝑥4
24
+ 𝐶1. 𝑥 + 𝐶2
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CASO 1 – VIGA BIAPOIADA COM CARGA DISTRIBUÍDA
Equação para rotação em qualquer ponto da viga
𝐸. 𝐼𝑧.θ = −
𝑞𝐿𝑥2
4
+
𝑞𝑥3
6
+
𝑞𝐿3
24
Equação para deflexão em qualquer ponto da viga
𝐸. 𝐼𝑧.𝑣 = −
𝑞𝐿𝑥3
12
+
𝑞𝑥4
24
+
𝑞𝐿3
24
. 𝑥
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CASO 1 – VIGA BIAPOIADA COM CARGA DISTRIBUÍDA
Valores máximos
A deflexão máxima (𝑣𝑚á𝑥) ocorre no meio do vão da viga (x = Τ𝐿 2)
𝑣 =
𝑞
𝐸𝐼𝑍
.
1
24
.
𝐿
2
4
−
𝐿
12
.
𝐿
2
3
+
𝐿3
24
.
𝐿
2
=
𝑞
𝐸𝐼𝑍
.
𝐿4
384
−
𝐿4
96
+
𝐿4
48
=
𝑞
𝐸𝐼𝑍
.
𝐿4−4.𝐿4+8.𝐿4
384
𝑣𝑚á𝑥 =
5𝑞𝐿4
384𝐸𝐼𝑍
A rotação máxima (𝜃𝑚á𝑥) ocorre nos apoios A (𝑥 = 0) e B (𝑥 = 𝐿)
θ𝐴 =
𝑞
𝐸𝐼𝑍
.
1
6
. (0)3−
𝐿
4
. (0)2+
𝐿³
24
֜ θ𝐴=
𝑞𝐿³
24𝐸𝐼𝑍
θ𝐵 =
𝑞
𝐸𝐼𝑍
.
1
6
. (𝐿)3−
𝐿
4
. (𝐿)2+
𝐿³
24
֜ θ𝐵= −
𝑞𝐿³
24𝐸𝐼𝑍
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CASO 1 – VIGA BIAPOIADA COM CARGA DISTRIBUÍDA
Para uma viga biapoiada, temos:
𝑣 =
𝑞
𝐸𝐼𝑍
.
1
24
. 𝑥4 −
𝐿
12
. 𝑥3 +
𝐿3
24
. 𝑥 Deflexão para qualquer ponto
θ =
𝑞
𝐸𝐼𝑍
.
1
6
. 𝑥3 −
𝐿
4
. 𝑥2 +
𝐿³
24 Rotação ou inclinação para qualquer ponto
𝜃𝑚á𝑥 =
𝑞𝐿³
24𝐸𝐼𝑍
Rotação máxima
𝑣𝑚á𝑥 =
5𝑞𝐿4
384𝐸𝐼𝑍
Deflexão máxima
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EQUAÇÕES E CONDIÇÕES DE CONTORNO
𝐸𝐼
𝑑𝑣2
𝑑𝑥²
= −𝑀(𝑥)
𝐸𝐼
𝑑𝑣3
𝑑𝑥³
= −𝑉(𝑥)
𝐸𝐼
𝑑𝑣4
𝑑𝑥4
= 𝑞(𝑥)
𝑞 𝑥 = 𝑒(𝑥
2+1)
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EXEMPLO 01
Para a viga de aço (E=200 GPa) e o carregamento mostrados abaixo,
determine:
a)O valor da deflexão para x = 1,80 m.
b)O valor da rotação para x = 3,0 m.
c)A rotação e a deflexão máxima.
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SOLUÇÃO
PASSO 1- Cálculo do momento de inércia 
Para seção retangular, temos:
𝐼𝑍 =
𝑏. ℎ³
12
=
(0,15 𝑚). (0,30 𝑚)³
12
𝐼𝑍 = 3,375 . 10−4 𝑚4
PASSO 2 - Aplicação da equação de deflexão para viga biapoiada no ponto
desejado
𝑣 =
𝑞
𝐸𝐼𝑍
.
1
24
. 𝑥4 −
𝐿
12
. 𝑥3 +
𝐿3
24
. 𝑥 𝑥 = 1,80 𝑚
23
SOLUÇÃO
a)
PASSO 2- Aplicação da Equação de deflexão para viga biapoiada no ponto
desejado
𝑣(𝑥) =
𝑞
𝐸𝐼𝑍
.
1
24
. 𝑥4 −
𝐿
12
. 𝑥3 +
𝐿3
24
. 𝑥
Substituindo os valores de 𝑥 , 𝐸 e 𝐼𝑍 na equação, temos:
𝑣(𝑥) =
10𝐾𝑁/𝑚
200 𝐺𝑃𝑎. 3,375 . 10−4 𝑚4
.
1
24
. (1,8 𝑚)4−
(5,0 𝑚)
12
. 1,8 𝑚 3 +
(5,0 𝑚)3
24
. (1,8 𝑚)
𝑣 𝑥 =
10.103 Τ𝑁 𝑚
200 . 109
𝑁
𝑚2 . 3,375 . 10
−4 𝑚4
. 7,382 𝑚4 = 1,09 . 10−3𝑚 𝑣 𝑥 = 1,09 𝑚𝑚
24
SOLUÇÃO
b)
PASSO 1- Aplicação da Equação de rotação para viga biapoiada no ponto
desejado.
PASSO 2 -Substituindo os valores de 𝑥 , 𝐸 e 𝐼𝑍 na equação, temos:
θ 𝑥 = −0,00023 𝑟𝑎𝑑.
180°
𝜋
= −0,013°
θ =
𝑞
𝐸𝐼𝑍
.
1
6
. 𝑥3 −
𝐿
4
. 𝑥2 +
𝐿³
24
𝑥 = 3,00 𝑚
θ(𝑥) =
104𝑁/𝑚
200. 109
𝑁
𝑚²
. 3,375. 10−4 𝑚4
.
1
6
. (3,0 𝑚)3−
(5,0 𝑚)
4
. (3,0 𝑚)2+
(5,0 𝑚)³
24
θ 𝑥 = 148,15. 10−6𝑚−3 . −1,542 𝑚3 = − 0,00023 𝑟𝑎𝑑
θ 𝑥 = 0,013°
25
SOLUÇÃO
c)
PASSO 1- Cálculo da rotação máxima
A máxima rotação ocorre nos apoios, seu valor em módulo é obtido da
seguinte forma:
𝜃𝑚á𝑥 =
𝑞𝐿³
24𝐸𝐼𝑍
=
104𝑁
𝑚 . (5,0 𝑚)³
24.200. 109
𝑁
𝑚²
. 3,375. 10−4 𝑚4
𝜃𝑚á𝑥 = 0,77. 10−3 𝑟𝑎𝑑
𝜃𝑚á𝑥 = 0,77. 10−3 𝑟𝑎𝑑.
180°
𝜋
= 0,044° 𝜃𝐴 = 0,044° 𝜃𝐵 = 0,044°
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SOLUÇÃO
c)
PASSO 2- Cálculo da deflexão máxima
A máxima deflexão ocorre no meio do vão para vigas biapoiadas, sendo
calculada da seguinte forma:
𝑣𝑚á𝑥 =
5𝑞𝐿4
384𝐸𝐼𝑍
=
5. 104
𝑁
𝑚 . 5,0 𝑚 4
384.200. 109
𝑁
𝑚². 3,375. 10−4 𝑚4
𝑣𝑚á𝑥 = 1,21. 10−3 𝑚
𝑣𝑚á𝑥 = 1,21 𝑚𝑚
27
OBRIGADO!
DÚVIDAS
rivaildofilho@fiponline.edu.br