Matrizes e suas Propriedades

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Matrizes
Uma matriz é uma forma diferente de representar uma tabela composta apenas por números.
Ao invés de representarmos esses números em uma malha quadriculada (que é o que normal-
mente fazemos nas tabelas), nós omitimos essa malha quadriculada e colocamos os números
entre colchetes grandes (ou entre parênteses grandes) para representar que estamos conside-
rando esses números como parte de uma matriz.
Por exemplo, o arranjo retangular de números
2 3 −1
5 0 1
é uma tabela. Já os arranjos retangulares de números[
2 3 −1
5 0 1
] (
2 3 −1
5 0 1
)
são matrizes.
Se uma matriz possui m linhas e n colunas, então dizemos que essa matriz é uma matriz
m× n (que podemos ler como: matriz "m por n"). Por exemplo,
� A matriz
[
2 3 −1
5 0 1
]
é uma matriz 2× 3.
� A matriz
−1 4
0 0
2 −5
 é uma matriz 3× 2.
� A matriz
[
0 1
5 0
]
é uma matriz 2× 2.
� A matriz
−1 0 8 −5
0 0 7 4
2 0 1 99
 é uma matriz 3× 4.
Normalmente denotamos as matrizes por letras maiúsculas do nosso alfabeto (ex: A,B,C, ...).
Os números que aparecem na matriz são chamados de entradas da matriz. A entrada que está
localizada na linha i e na coluna j da matriz A é denotada por aij (ou seja, essa entrada é
denotada pela letra minúscula correspondente ao nome da matriz com um subíndice ij. Por
exemplo, se a matriz fosse denotada por B, então a entrada seria denotada por bij, se a matriz
fosse denotada por C então a entrada seria denotada por cij, etc).
Exemplo 1. Considere a matriz A =
 0 3
1 −8
−4 −1
.
A matriz A é uma matriz 3× 2 e suas entradas são
a11 = 0 a12 = 3
a21 = 1 a22 = −8
a31 = −4 a32 = −1
1
Exemplo 2. Considere a matriz B =
 1 −5 5 7 −2
−1 0 0 4 −3
4 7 11 5 0
.
A matriz B é uma matriz 3× 5 e suas entradas são
b11 = 1 b12 = −5 b13 = 5 b14 = 7 b15 = −2
b21 = −1 b22 = 0 b23 = 0 b24 = 4 b25 = −3
b31 = 4 b32 = 7 b33 = 11 b34 = 5 b35 = 0
Dizemos que duas matrizes A e B são iguais se elas tem o mesmo tamanho e se todas as
entradas dessas matrizes são iguais (ou seja, se aij = bij para todo i, j ).
Matrizes especiais
Matriz quadrada
Dizemos que uma matriz A é uma matriz quadrada se a matriz A tiver exatamente a mesma
quantidade de linhas e de colunas. Se A for uma matriz m×m, dizemos que A é uma matriz
quadrada de ordem m.
Se A for uma matriz quadrada, então chamamos a diagonal da matriz constituída dos ele-
mentos a11, a22, ..., amm de diagonal principal de A. A outra diagonal é chamada de diagonal
secundária de A.
Por exemplo,
� Se A é uma matriz quadrada de ordem 2, então chamamos a diagonal composta das
entradas a11 e a22 de diagonal principal da matriz A e chamamos a diagonal composta
das entradas a12 e a21 de diagonal secundária da matriz A.
� Se A é uma matriz quadrada de ordem 3, então chamamos a diagonal composta das
entradas a11, a22 e a33 de diagonal principal da matriz A e chamamos a diagonal composta
das entradas a13, a22 e a31 de diagonal secundária da matriz A.
2
Exemplo 3. Se A é a matriz quadrada de ordem 4
A =

2 3 0 −1
5 7 11 2
25 4 −7 21
0 0 1 8

então a diagonal principal de A e a diagonal secundária de A são
Exemplo 4. A matriz
A =

1 2 −1 4
1 2 7 2
2 −20 −1 4
−3 2 5 −7

é uma matriz quadrada 4 × 4 cujas entradas da diagonal principal são 1, 2,−1,−7 e cujas
entradas da diagonal secundária são 4, 7,−20,−3.
Matriz triangular inferior
Se A é uma matriz quadrada m×m que satisfaz aij = 0 se i < j (ou seja, se todas as entradas
acima da diagonal principal são zero), então dizemos que A é uma matriz triangular inferior.
Neste caso,
A =

a11 0 ... 0
a21 a22 ... 0
... ... ... ...
am1 am2 ... amm

Essas matrizes recebem esse nome, porque se nós desenharmos o triângulo retângulo na
parte inferior da matriz com a diagonal principal como sendo a hipotenusa, então todas as
entradas da matriz que estiverem fora deste triângulo são 0.
3
Exemplo 5. A matriz
A =

5 0 0 0
−1 0 0 0
2 −1 8 0
5 4 0 0

é uma matriz triangular inferior 4× 4, pois todas as entradas acima da sua diagonal principal
são 0.
Matriz triangular superior
Se A é uma matriz quadrada m×m que satisfaz aij = 0 se i > j (ou seja, se todas as entradas
abaixo da diagonal principal são nulas), então dizemos que A é uma matriz triangular superior.
Neste caso,
A =

a11 a12 ... a1m
0 a22 ... a2m
... ... ... ...
0 0 ... amm

Essas matrizes recebem esse nome, porque se nós desenharmos o triângulo retângulo na
parte superior da matriz com a diagonal principal como sendo a hipotenusa, então todas as
entradas da matriz que estiverem fora deste triângulo são 0.
Exemplo 6. A matriz
A =
5 1 3
0 9 0
0 0 −7

é uma matriz triangular superior 3× 3, pois todas ss entradas abaixo da sua diagonal principal
são 0.
4
Matriz diagonal
Se A é uma matriz quadrada m×m que satisfaz aij = 0 se i 6= j (ou seja, se todas as entradas
que não fazem parte da diagonal principal forem nulas), então dizemos que A é uma matriz
diagonal. Neste caso,
A =

a11 0 ... 0
0 a22 ... 0
... ... ... ...
0 0 ... amm

Essas matrizes recebem esse nome, porque se nós desenharmos a sua diagonal principal,
então todas as entradas da matriz que estiverem fora dessa diagonal são 0.
Observe que toda matriz diagonal é tanto triangular inferior quanto triangular superior (pois
todas as entradas acima da diagonal principal são 0 e todas as entradas abaixo da diagonal
principal também são 0).
Exemplo 7. A matriz
A =
1 0 0
0 0 0
0 0 −7

é uma matriz diagonal 3 × 3, pois todas as entradas que estão fora da sua diagonal principal
são 0.
Matriz identidade
A matriz diagonal m×m cujas entradas da diagonal principal são todas 1 é chamada de matriz
identidade m×m e é denotada por Im. Assim,
Im =

1 0 ... 0
0 1 ... 0
... ... ... ...
0 0 ... 1

Exemplo 8. A matriz
I5 =

1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1

é a matriz identidade 5× 5.
5
Matriz nula
Se uma matriz m× n possui todas as entradas 0, então chamamos essa matriz de matriz nula
m × n e a denotamos por Om×n (se não houver dúvidas sobre o tamanho da matriz nula, a
denotaremos apenas por O). Neste caso,
O =

0 0 ... 0
0 0 ... 0
... ... ... ...
0 0 ... 0

Observe que toda matriz quadrada nula é um caso particular de matriz diagonal.
Exemplo 9.
O2×2 =
[
0 0
0 0
]
, O3×5 =
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0

Matriz simétrica
Se A é uma matriz quadrada m ×m que satisfaz aij = aji (ou seja, se a matriz é 'espelhada'
com relação à diagonal principal), então dizemos que A é uma matriz simétrica. Neste caso,
A =

a11 a12 ... a1m
a12 a22 ... a2m
... ... ... ...
a1m a2m ... amm

Exemplo 10. A matriz
B =

−1 0 3 5
0 −3 11 2
3 11 4 −25
5 2 −25 71

é uma matriz simétrica de ordem 4, pois
6
Exemplo 11. A matriz
A =
5 1 2
1 0 −4
2 −4 −7

é uma matriz simétrica de ordem 3, pois
Matriz linha
Se A é uma matriz 1×n, dizemos que A é uma matriz linha. Ou seja, uma matriz linha possui
apenas uma linha.
Exemplo 12. A matriz
A =
[
1 0 −100 −2
]
é uma matriz linha 1× 4.
Matriz coluna
Se A é uma matriz m × 1, dizemos que A é uma matriz coluna. Ou seja, uma matriz coluna
possui apenas uma coluna.
Exemplo 13. A matriz
A =
 1
−1
0

é uma matriz coluna 3× 1.
Operações com matrizes
Soma de matrizes
A soma de matrizes é de�nida apenas entre matrizes do mesmo tamanho e ela é obtida
somando-se as entradas correspondentes de A e de B.
De�nição: Se A e B são ambas matrizes m × n, então a soma das matrizes A e B é de�-
nida como sendo a matriz m× n cujas entradas são as somas das entradas correspondentes de
A e de B. Ou seja, se C = A+B, então as entradas da matriz C são
cij = aij + bij
7
Exemplo 14. Considere as matrizes, 2×3, A =
[
1 2 3
−1 3 4
]
, B =
[
2 1 −3
1 4 2
]
. A soma destas
duas matrizes é a matriz C = A+B, 2× 3, dada por
C =
[
1 + 2 2 + 1 3− 3
−1 + 1 3 + 4 4 + 2
]
=
[
3 3 0
0 7 6
]
Exemplo 15. Considere as matrizes 3× 5
A =
 3 2 −5 11 0
−1 4 0 6 1
−7 10 21 4 −3
 , B =
15 7 −1 10 4
0 40 −15 −2 1
21 1 9 4 13

A somadestas duas matrizes é a matriz 3× 5
A+B =
 3 + 15 2 + 7 −5 + (−1) 11 + 10 0 + 4
−1 + 0 4 + 40 0 + (−15) 6 + (−2) 1 + 1
−7 + 21 10 + 1 21 + 9 4 + 14 −3 + 13
 =
18 9 −6 21 4
−1 44 −15 4 2
14 11 30 18 10

Exemplo 16. Considere as matrizes 2× 2
A =
[
1 0
−1 7
]
, B =
[
4 8
−9 14
]
A soma destas duas matrizes é a matriz 2× 2
A+B =
[
1 + 4 0 + 8
−1 + (−9) 7 + 14
]
=
[
5 8
−10 21
]
Subtração de matrizes
A subtração de matrizes é de�nida apenas entre matrizes do mesmo tamanho e ela é obtida
subtraindo-se as entradas correspondentes de A e de B.
De�nição: Se A e B são ambas matrizes m × n, então a subtração das matrizes A e B é
de�nida como sendo a matriz m× n cujas entradas são as subtrações das entradas correspon-
dentes de A e de B. Ou seja, se C = A−B, então as entradas da matriz C são
cij = aij − bij
Exemplo 17. Considere as matrizes, 2× 3, A =
[
1 2 3
−1 3 4
]
, B =
[
2 1 −3
1 4 2
]
. Temos que
A−B =
[
1− 2 2− 1 3 + 3
−1− 1 3− 4 4− 2
]
=
[
−1 1 6
−2 −1 2
]
Exemplo 18. Considere as matrizes, 2× 3, A =
[
1 2 3
−1 3 4
]
, B =
[
2 1 −3
1 4 2
]
. Temos que
A−B =
[
1− 2 2− 1 3− (−3)
−1− 1 3− 4 4− 2
]
=
[
−1 1 6
−2 −1 2
]
A+B =
[
1 + 2 2 + 1 3 + (−3)
−1 + 1 3 + 4 4 + 2
]
=
[
3 3 0
0 7 6
]
8
Exemplo 19. Considere as matrizes, 3× 5,
A =
 3 2 −5 11 0
−1 4 0 6 1
−7 10 21 4 −3
 , B =
15 7 −1 10 4
0 40 −15 −2 1
21 1 9 4 13

Temos que
A−B =
 3− 15 2− 7 −5− (−1) 11− 10 0− 4
−1− 0 4− 40 0− (−15) 6− (−2) 1− 1
−7− 21 10− 1 21− 9 4− 14 −3− 13
 =
−12 −5 −6 1 −4
−1 −36 15 8 0
−28 9 12 −10 −16

Multiplicação de uma matriz por um escalar
A multiplicação de uma matriz A, m × n por um escalar α ∈ R é a matriz m × n cujas
entradas são a multiplicação das entradas correspondentes de A por α.
De�nição: A multiplicação de uma matriz A, m × n por um escalar α ∈ R é de�nida como
sendo a matriz B = αA cujas entradas são
bij = αaij
Exemplo 20. Considere a matriz 4× 3
A =

1 2 3
−1 3 4
2 1 −3
1 4 2

A multiplicação de A pelo escalar α = 2 é a matriz B dada por
B = 2A =

2 4 6
−2 6 8
4 2 −6
2 8 4

e a multiplicação de A pelo escalar α = −1 é a matriz C dada por
C = −1A = −A =

−1 −2 −3
1 −3 −4
−2 −1 3
−1 −4 −2

Exemplo 21. Considere a matriz 4× 3
A =

1 2 3
−1 0 4
2 1 −3
1 5 2

Temos que
2A =

2 4 6
−2 0 8
4 2 −6
2 10 4

−3A =

−3 −6 −9
3 0 −12
−6 −3 9
−3 −15 −6

9
Podemos utilizar o processo inverso da multiplicação de uma matriz por um escalar e colocar
um número real em "evidência" para simpli�car um pouco a matriz.
Exemplo 22.
[
7 14 0 −28
−21 7 49 0
]
= 7
[
1 2 0 −4
−3 1 7 0
]
Exemplo 23.

3 −9 0
5 15 45
0 0 −60
18 0 −12
 = 3

1 −3 0
5
3
5 15
0 0 −20
6 0 −4

Produto de matrizes
O produto AB de duas matrizes A e B é de�nido apenas se o número de colunas da matriz
A for igual ao número de linhas da matriz B. Ou seja, só podemos multiplicar as matrizes
A,m× n, e B, p× q, se p = n.
De�nição: O produto AB de duas matrizes A, m × n e B, n × q é a matriz C = AB de
tamanho m× q cujas entradas são dadas por
Isto quer dizer que a entrada ij da matriz produto é igual à soma dos produtos das entradas
da linha i da matriz A pelas entradas coluna j da matriz B.
Exemplo 24. Considere as matrizes A =
[
1 2 3
−1 3 4
]
, B =
−21
0
 A multiplicação AB é a
matriz C, 2× 1, tal que
c11 = a11b11 + a12b21 + a13b31 = 1.(−2) + 2.1 + 3.0 = −2 + 2 + 0 = 0
c21 = a21b11 + a22b21 + a23b31 = (−1).(−2) + 3.1 + 4.0 = 2 + 3 = 5
ou seja,
C =
[
0
5
]
Se A e B são duas matrizes cujo tamanho é compatível para o cálculo do produto AB, então
uma forma prática de calcular o produto AB é escrever a matriz B à direita e abaixo da matriz
A como mostrado abaixo
[A]
[B]
10
Por exemplo, se A =

1 4 7
3 −1 0
2 4 1
1 2 3
 e B =
2 3
0 1
5 −7
, então posicionamos as matrizes A e B como
a seguir: 
1 4 7
3 −1 0
2 4 1
1 2 3
 2 3
0 1
5 −7

Em seguida, traçamos retas para representar as continuações das linhas de A e das colunas de
B como a seguir:
Observe que com isso, geramos várias interseções entre as retas. Cada interseção é corres-
ponde à entrada da matriz AB que é obtida multiplicando a linha e a coluna que geraram
aquela interseção.
11
Nesse, caso, temos que
Exemplo 25. Calcule AB e BA, onde A =
[
3 2 −4
−5 6 0
]
, B =
8 10
1 −1
5 7
.
Observação 1. Nem sempre podemos fazer tanto o produto AB quanto o produto BcdotA. Por
exemplo, se A for uma matriz 3×5 e B for uma matriz 5×4, então podemos calcular o produto
AB (pois o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B), mas não podemos
calcular o produto BA (pois o número de colunas de B é diferente do número de linhas de A).
Mesmo se A e B são matrizes cujos tamanhos nos permitem calcular tanto o produto AB
quanto o produto BA, não necessariamente temos AB = BA. Na verdade o resultado dos dois
produtos nem precisa ter o mesmo tamanho. Por exemplo (como visto no exemplo anterior),
se A for uma matriz 2× 3 e B for uma matriz 3× 2, então
� AB é uma matriz 2× 2
� BA é uma matriz 3× 3
Mesmo se A e B são matrizes quadradas do mesmo tamanho, então não necessariamente temos
AB = BA (ou seja, o produto de matrizes NÃO é comutativo). Por exemplo, considere as
matrizes A =
[
1 1
0 0
]
, B =
[
0 0
1 1
]
. Temos que
12
Logo, AB 6= BA
Exemplo 26. Calcule AB, onde A =
 2 3 5 0
40 1 −2 0
7 11 4 1
 , B =

1 0
0 7
−3 5
2 10
.
Potência de uma matriz
De�nição: Se A é uma matriz quadrada m×m e k é um inteiro positivo, de�nimos a potência
k de A como sendo
Ak = AA...A︸ ︷︷ ︸
k vezes
Exemplo 27. Calcule A2, onde A =
2 −5 0
6 3 −1
7 11 −3
.
13
Exemplo 28. Seja A =
[
1 0
1 1
]
. Temos que
Neste caso, observe que teremos Ak =
[
1 0
k 1
]
para todo k ∈ N.
Transposta de uma matriz
De�nição: A transposta de uma matriz A de tamanho m× n é a matriz B = At de tamanho
n×m cujas entradas são
bij = aji
Ou seja, At é a matriz obtida da matriz A trocando as linhas de A pelas colunas de A.
14
Exemplo 29. A transposta da matriz A =

1 2 3
−1 3 4
2 1 −3
1 4 2
 , 4× 3, é a matriz 3× 4
At =
1 −1 2 1
2 3 1 4
3 4 −3 2

Exemplo 30. A transposta da matriz C =
[
1 0 2
3 5 4
]
, 2× 3, é a matriz 3× 2
Ct =
1 3
0 5
2 4

Exemplo 31. A transposta da matriz A =

9 2
−1 11
2 0
1 4
, 4× 2, é a matriz 2× 4
At =
[
9 −1 2 1
2 11 0 4
]
Teorema 1. Uma matriz quadrada A, m×m, é uma matriz simétrica se, e somente se, At = A.
Exemplo 32. A transposta da matriz 4× 4
A =

9 2 3 0
2 12 5 1
3 5 −3 7
0 1 7 −11

é a matriz 4× 4
At =

9 2 3 0
2 12 5 1
3 5 −3 7
0 1 7 −11

Como At = A, então a matriz A é simétrica.
Propriedades da álgebra matricial
1. Se A e B são duas matrizes m× n, então
A+B = B + A
2. Se A, B e C são três matrizes m× n, então
A+ (B + C) = (A+B) + C
3. Uma matriz X, m× n, satisfaz
A+X = A
para toda matriz A, m× n, se, e somente se, X = Om×n.
15
4. Se α, β ∈ R e A é uma matriz, então
α(βA) = (αβ)A
5. Se α, β ∈ R e A é uma matriz, então
(α + β)A = αA+ βA
6. Se α ∈ R e se A e B são matrizes m× n, então
α(A+B) = αA+ αB
7. Se A é uma matiz m× n, B é uma matriz n× p e C é uma matriz p× q, então
A(BC) = (AB)C
8. Se A é uma matriz m× n, então
AIn = A, ImA = A
9. Se A é uma matiz m× n e se B e C são matrizes n× p, então
A(B + C) = AB + AC
10. Se A é uma matiz n× p e se B e C são matrizes m× n, então
(B + C)A = BA+ CA
11. Se α ∈ R, A é uma matriz m× n e B é uma matriz n× p, então
α(AB) = (αA)B = A(αB)
12. Se A é uma matriz, então
(At)t = A
13. Se A e B são matrizes m× n, então
(A+B)t = At +Bt
14. Se α ∈ R e A é uma matriz, então
(αA)t = αAt
15. Se A é uma matriz m× n e B é uma matriz n× p, então
(AB)t = BtAt
Exemplo 33. Se A é uma matriz m × n e AB = A, então não necessariamente B = In. Da
mesma forma, se CA = A, então não necessariamente C = Im. Por exemplo, considere as
matrizes 2× 2
A =
[
1 1
0 0
]
, B =
[
0 0
1 1
]
, C =
[
1 1
0 0
]
Temos que
AB =
[
1 1
0 0
]
= A
e
CA=
[
1 1
0 0
]
= A
mas B e C não são matrizes identidade.
16
Exemplo 34. Sejam A = (aij)m×m e B = (bij)m×m matrizes quadradas de mesmo tamanho.
Temos que
(A+B)(A−B) = (A+B)A+ (A+B)(−B)
= AA+BA− AB −BB
= A2 +BA− AB −B2
Nesse caso, (A+B)(A−B) = A2 −B2 se, e somente se, AB = BA.
Como o produto de matrizes NÃO é comutativo, então a igualdade (A+B)(A−B) = A2−B2
não vale em geral. Por exemplo, considere as matrizes 2× 2
A =
[
1 1
0 0
]
, B =
[
0 0
1 1
]
Temos que A2 = A,B2 = B,
A+B =
[
1 1
1 1
]
, A−B =
[
1 1
−1 −1
]
, (A+B)(A−B) =
[
0 0
0 0
]
Logo,
(A+B)(A−B) =
[
0 0
0 0
]
6=
[
1 1
−1 −1
]
= A2 −B2
Exemplo 35. Considere as matrizes A =
[
2 3
4 5
]
, B =
[
0 1
7 −2
]
, C =
[
−1 1
−3 5
]
. Resolva as
seguintes equações:
(a) AX +BC = O
(b) XA+B = C
Resolução:
(a) Observe inicialmente que BC é uma matriz 2× 2. Logo, para a soma AX +BC estar bem
de�nida, precisamos que AX seja uma matriz 2 × 2 e, portanto, que X seja uma matriz
2× 2 (já que A também o é). Observe que nesse contexto (como AX + BC é uma matriz
2 × 2) a matriz nula O é a matriz nula 2 × 2. Vamos considerar a matriz X então como
uma matriz genérica 2× 2
X =
[
x11 x12
x21 x22
]
Vamos utilizar a equação matricial para obter equações nas incógnitas x11, x12, x21 e x22.
Temos que
AX =
[
2x11 + 3x21 2x12 + 3x22
4x11 + 5x21 4x12 + 5x22
]
BC =
[
−3 5
−1 −3
]
AX +BC =
[
2x11 + 3x21 − 3 2x11 + 3x22 + 5
4x11 + 5x21 − 1 4x12 + 5x22 − 3
]
17
Logo, exigir que AX +BC = O é exigir que[
2x11 + 3x21 − 3 2x12 + 3x22 + 5
4x11 + 5x21 − 1 4x12 + 5x22 − 3
]
=
[
0 0
0 0
]
o que só vai acontecer se
2x11 + 3x21 − 3 = 0
2x12 + 3x22 + 5 = 0
4x11 + 5x21 − 1 = 0
4x12 + 5x22 − 3 = 0
⇒

2x11 + 3x21 = 3 (1)
2x12 + 3x22 = −5 (2)
4x11 + 5x21 = 1 (3)
4x12 + 5x22 = 3 (4)
Multiplicando a equação (1) por 2 e subtraindo a equação (3) do resultado, obtemos:
4x11 + 6x21 = 6 2× (1)
4x11 + 5x21 = 1 (3)
x21 = 5
Substituindo x21 = 5 na equação (1): 2x11 + 15 = 3 ⇒ 2x11 = −12 ⇒ x11 = −6
Multiplicando a equação (2) por 2 e subtraindo a equação (4) do resultado, obtemos:
4x12 + 6x22 = −10 2× (2)
4x12 + 5x22 = 3 (4)
x22 = −13
Substituindo x21 = −13 na equação (2): 2x12 − 39 = −5 ⇒ 2x12 = 34 ⇒ x12 = 17
Concluímos que X =
[
−6 17
5 −13
]
(b) Observe inicialmente XA + B só está bem de�nida se X for uma matriz 2 × 2. Vamos
considerar a matriz X então como uma matriz genérica 2× 2
X =
[
x11 x12
x21 x22
]
Vamos utilizar a equação matricial para obter equações nas incógnitas x11, x12, x21 e x22.
Temos que
XA =
[
2x11 + 4x12 3x11 + 5x12
2x21 + 4x22 3x21 + 5x22
]
XA+B =
[
2x11 + 4x12 3x11 + 5x12 + 1
2x21 + 4x22 + 7 3x21 + 5x22 − 2
]
Logo, exigir que XA+B = C é exigir que[
2x11 + 4x12 3x11 + 5x12 + 1
2x21 + 4x22 + 7 3x21 + 5x22 − 2
]
=
[
−1 1
−3 5
]
o que só vai acontecer se
2x11 + 4x12 = −1
3x11 + 5x12 + 1 = 1
2x21 + 4x22 + 7 = −3
3x21 + 5x22 − 2 = 5
⇒

2x11 + 4x12 = −1 (1)
3x11 + 5x12 = 0 (2)
2x21 + 4x22 = −10 (3)
3x21 + 5x22 = 7 (4)
18
Multiplicando a equação (1) por 3 e subtraindo o dobro da equação (2) do resultado, obtemos:
6x11 + 12x12 = −3 3× (1)
6x11 + 10x12 = 0 2× (2)
2x12 = −3
Substituindo x12 = −3
2
na equação (1): 2x11 − 6 = −1 ⇒ 2x11 = 5 ⇒ x11 =
5
2
Multiplicando a equação (3) por 2 e subtraindo o dobro da equação (4) do resultado, obtemos:
6x21 + 12x22 = −30 3× (1)
6x21 + 10x22 = 14 2× (2)
2x22 = −44
Substituindo x22 = −22 na equação (3): 2x21− 88 = −10 ⇒ 2x21 = 78 ⇒ x21 = 39
Concluímos que X =
[
5
2
−3
2
39 −22
]
Exemplo 36. Considere as matrizes A =
[
2 −4
0 5
]
, B =
[
0 1 5 4
7 −2 8 2
]
, C =

1 1 6
−4 5 −1
0 1 −7
0 0 1
.
Resolva a equação AX = BC.
Resolução: Observe inicialmente que BC é uma matriz 2× 3. Como A é uma matriz 2× 2,
para que AX esteja bem de�nido precisamos que X tenha 2 linhas. Como queremos que AX
seja uma matriz 2× 3, então X deve ser uma matriz 2× 3. Vamos tomar uma matriz X, 2× 3
genérica:
X =
[
x11 x12 x13
x21 x22 x23
]
Vamos utilizar a equação matricial para obter equações nas incógnitas x11, x12, x13, x21, x22 e
x23. Temos que
AX =
[
2x11 − 4x21 2x12 − 4x22 2x13 − 4x23
5x21 5x22 5x23
]
BC =
[
−4 10 −32
15 5 −10
]
Logo, exigir que AX = BC é exigir que[
2x11 − 4x21 2x12 − 4x22 2x13 − 4x23
5x21 5x22 5x23
]
=
[
−4 10 −32
15 5 −10
]
o que só vai acontecer se 
2x11 − 4x21 = −4 (1)
2x12 − 4x22 = 10 (2)
2x13 − 4x23 = −32 (3)
5x21 = 15 (4)
5x22 = 5 (5)
5x23 = −10 (6)
19
� (4) ⇒ x21 = 3
� (5) ⇒ x22 = 1
� (6) ⇒ x23 = −2
� Substituindo x21 = 3 em (1) : 2x11 − 12 = −4 ⇒ 2x11 = 8 ⇒ x11 = 4
� Substituindo x22 = 1 em (2) : 2x12 − 4 = 10 ⇒ 2x12 = 14 ⇒ x12 = 7
� Substituindo x23 = −2 em (3) : 2x13 + 8 = −32 ⇒ 2x13 = −40 ⇒ x13 = −20
Concluímos que X =
[
4 7 −20
3 1 −2
]
20