Unidade 1 (Parte 2) - Sistemas de Numeração

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Unidade 1 - Introdução aos Sistemas Digitais:
Sistemas de Numeração e Códigos
Thainan Santos Theodoro
Universidade Federal de Ouro Preto
João Monlevade, MG
email: thainan.theodoro@ufop.edu.br
thainan.theodoro@ufop.edu.br (UFOP) Unidade 1 - Introdução aos Sistemas Digitais 1 / 38
Introducao
Como são usados os sistemas numéricos na Eletrônica Digital?
Decimal Hexadecimal
BCD
GrayBinario
Códigos Sistemas Numéricos
Figura 1: Digrama com aplicações dos sistemas numéricos na Eletrônica Digital.
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Conversão entre sistemas numéricos
Conceitos - sistemas de numeração
Sistema de numeração posicional:
Decimal; ex: 41 (4 dezenas e 1 unidade)
Binário;
Hexadecimal.
Valor =
n−1∑
i=0
diBi. (1)
di é o í-ésimo dígito, contando da esquerda para a direita;
B é a base;
n é a quantidade de dígitos do número.
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Conversão entre sistemas numéricos
Conceitos - sistemas de numeração
O número de símbolos utilizados varia de acordo com a base aplicada, ou seja, um
sistema de base N utiliza N símbolos.
Por exemplo, o sistema binário utiliza apenas os dígitos 0 e 1, enquanto que, o
sistema octal usa os números de 0 a 7.
Contudo, para sistemas de base maior que 10, novos símbolos são necessários. O
sistema hexadecimal usa símbolos de 0 a F.
Tabela 1: Representação de valores em diferentes bases.
Valor (10) 0 ... 10 11 12 13 14 15
Valor (2) 0000 ... 1010 1011 1100 1101 1110 1111
Valor (16) 0 ... A B C D E F
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Conversão entre sistemas numéricos
Conversão de base - binário para decimal
A) Sistema posicional:
Ex: Calcule o equivalente decimal:
1011 01012
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Conversão entre sistemas numéricos
Conversão de base - binário para decimal
Solução Calcule o equivalente decimal:1011 01012
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Conversão entre sistemas numéricos
Questões para revisão (binário para decimal)
1 Converta o binário 1000 1101 10112 em seu equivalente decimal somando os
produtos dos dígitos e pesos.
2 Qual é o peso do MSB de um número de 16 bits?
3 Repita a conversão na Questão 1 usando o método double-dabble.
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Conversão entre sistemas numéricos
Conversão de base - decimal para binário
Por exemplo, como ficaria a conversão do número 10112 para o sistema decimal?
10112 = 1 × 20 + 1 × 21 + 0 × 22 + 1 × 23 = 1 + 2 + 0 + 8 = 1110
E o processo reverso, como faz (Divisões sucessivas! )?
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5
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1
0
2
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0
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1
(MSB)
(LSB)
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Conversão entre sistemas numéricos
Conversão de base - decimal para binário
Por exemplo, como ficaria a conversão do número 10112 para o sistema decimal?
10112 = 1 × 20 + 1 × 21 + 0 × 22 + 1 × 23 = 1 + 2 + 0 + 8 = 1110
E o processo reverso, como faz (Divisões sucessivas! )?
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(MSB)
(LSB)
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Conversão entre sistemas numéricos
Conversão de base - decimal para binário
Exemplo: Converta 2510 para binário.
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Conversão entre sistemas numéricos
Conversão de base - decimal para binário
Exemplo: Converta 2510 para binário.
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Conversão entre sistemas numéricos
Questões para revisão (decimal para binário)
1 Converta 8310 em binário usando os dois métodos apresentados (Ver Tocci, 2007 ).
2 Converta 72910 em binário usando os dois métodos apresentados. Verifique sua
resposta, fazendo a conversão de volta para decimal.
3 Quantos bits são necessários para contar até 1 milhão em decimal?
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Conversão entre sistemas numéricos
Sistema Hexadecimal
Figura 2: Sistema de contagem hexadecimal.
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Conversão entre sistemas numéricos
Conversão de base - Hexa para decimal
Por exemplo, como ficaria a conversão do número 21C16 para o sistema decimal?
21C16 = C × 160 + 1 × 161 + 2 × 162 = 12 + 16 + 512 = 54010
Exemplo: converta o numero FF16 para o sistema decimal.
FF16 = F × 160 + F × 161 = 15 + 16 × 15 = 25510
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Conversão entre sistemas numéricos
Conversão de base - Hexa para decimal
Por exemplo, como ficaria a conversão do número 21C16 para o sistema decimal?
21C16 = C × 160 + 1 × 161 + 2 × 162 = 12 + 16 + 512 = 54010
Exemplo: converta o numero FF16 para o sistema decimal.
FF16 = F × 160 + F × 161 = 15 + 16 × 15 = 25510
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Conversão entre sistemas numéricos
Conversão de base - Hexa para decimal
Por exemplo, como ficaria a conversão do número 21C16 para o sistema decimal?
21C16 = C × 160 + 1 × 161 + 2 × 162 = 12 + 16 + 512 = 54010
Exemplo: converta o numero FF16 para o sistema decimal.
FF16 = F × 160 + F × 161 = 15 + 16 × 15 = 25510
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Conversão entre sistemas numéricos
Conversão de base - decimal para hexa
Como ficaria a conversão do número 54010 para o sistema hexa?
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5
2
1
0
2
2
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1
(MSB)
(LSB)
540
33
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0
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16
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528
32
0
12
1
2
(C)
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Conversão entre sistemas numéricos
Conversão de base - decimal para hexa
Como ficaria a conversão do número 54010 para o sistema hexa?
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1
0
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(MSB)
(LSB)
540
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(C)
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Conversão entre sistemas numéricos
Conversão de base - decimal para hexa
Como ficaria a conversão do número 42310 para o sistema hexa?
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Conversão entre sistemas numéricos
Conversão de base - decimal para hexa
Como ficaria a conversão do número 42310 para o sistema hexa?
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Conversão entre sistemas numéricos
Conversão de base – binário, octal e hexadecimal
A conversão de base permite expressar o mesmo valor em diferentes
representações;
Em aplicações digitais, é conveniente usar outras bases que não seja a decimal. As
bases mais empregas são a binária, octal e hexadecimal.
Memória
Unidade de 
controle
Unidade lógica 
e aritmética 
(ULA)
Entrada
Saída
0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0[ [ [ [
[[[[[[
84B1
015510 Octal
Binário
Hexadecimal
Figura 3: Representação do valor 6984(10) em diferentes bases.
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Conversão entre sistemas numéricos
Conversão de base
Como ficaria a conversão para Octal e Hexadecimal do seguinte número binário?
Memória
Unidade de 
controle
Unidade lógica 
e aritmética 
(ULA)
Entrada
Saída
0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0[ [ [ [
[[[[[[
84B1
015510 Octal
Binário
Hexadecimal
1 1 0 0 1 0 1 0 1 0
Octal
Binário
Hexadecimal
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Conversão entre sistemas numéricos
Conversão de base
Comoficaria a conversão para Octal e Hexadecimal do seguinte número binário?
A23
251 4
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Conversão entre sistemas numéricos
Questões para revisão (hexa, octa, binário e decimal)
1 Converta 24CE16 em decimal.
2 Converta 311710 em hexa e, em seguida, em binário.
3 Converta 1001 0111 1011 01012 em hexa.
4 Escreva os próximos quatro números da seguinte contagem hexa: E9A, E9B, E9C,
E9D, ?, ?, ?, ?.
5 Converta 352716 em binário.
6 Que faixa de valores decimais pode ser representada por números hexa de quatro
dígitos?
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Conversão entre sistemas numéricos
Código BCD - Binary-coded-decimal
BCD é uma maneira muito utilizada de apresentar números decimais em formato
binário. Combina características dos sistemas decimal e binário.
Cada dígito é convertido em um binário equivalente.
BCD não é um sistema numérico. É um número decimal com cada dígito codificado
para seu equivalente binário de 4 bits;
A principal vantagem do BCD é a relativa facilidade de conversão para e a partir do
decimal.
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Conversão entre sistemas numéricos
Exemplo de conversão para BCD
Converta o número 87410 para BCD, lembrando que cada dígito decimal é
representado por 4 bits.
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0
2
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(MSB)
(LSB)
540
33
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0
16
16
16
528
32
0
12
1
2
(C)
Inverta o processo para converter o BCD para decimal.
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0
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2
10
4
2
0
1
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0
1
(MSB)
(LSB)
540
33
2
0
16
16
16
528
32
0
12
1
2
(A)
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Conversão entre sistemas numéricos
Exemplo de conversão para BCD
Converta o BCD 0110 1000 0011 1001 em seu equivalente decimal.
Converta o BCD 0111 1100 0001 em seu equivalente decimal.
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Conversão entre sistemas numéricos
Resumo sobre sistemas de numeração
O sistema de numeração hexadecimal é usado em sistemas digitais como
alternativa para a representação binária (Muito fácil de errar a escrita de um número
grande em binário);
Conversão entre hexa e binário, cada dígito hexa corresponde a quatro bits;
O método de divisões sucessivas pode ser aplicado para converter números
decimais em binários ou hexadecimais;
O código BCD para um número decimal é formado convertendo-se cada dígito
decimal em seu equivalente binário de quatro bits.
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Conversão entre sistemas numéricos
Código Gray
O Código Gray é usado em aplicações em que os números se alteram rapidamente;
Apenas um bit muda de valor na contagem.
CAPÍTULO 2 • SISTEMAS DE NUMERAÇÃO, OPERAÇÕES E CÓDIGOS ■ 105
Uma Aplicação
Um diagrama simplificado de um mecanismo codificador de posição de eixo de três bits é mostra-
do na Figura 2–7. Basicamente, existem três anéis que são segmentados em oito setores. Quanto
mais setores existirem, maior será a precisão do posicionamento que pode ser representada, porém
estamos usando neste exemplo apenas oito para fins de ilustração. Cada setor de cada anel é fixa-
do a uma tensão de nível alto ou a uma tensão de nível baixo para representar 1s e 0s. Um 1 é in-
dicado por um setor colorido e um 0 por um setor branco. À medida que o eixo gira no sentido an-
ti-horário ao longo dos 360º, os oito setores se movem sob três escovas produzindo uma saída bi-
nária de 3 bits que indicam a posição do eixo.
EXEMPLO 2–37
(a) Converta o número binário 11000110 para código Gray.
(b) Converta o código Gray 10101111 para binário.
Solução (a) De binário para código Gray:
(b) De código Gray para binário:
Problema relacionado (a) Converta o binário 101101 para código Gray.
(b) Converta o código Gray 100111 para binário.
1 0 1 0 1 1 1 1 
1 1 0 0 1 0 1 0 
↓↓
↓ ↓
↓↓
↓
↓
↓
↓
↓↓
↓
↓
↓
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
1 0 1 0 0 1 0 1 
1 − +→1 − +→ 0 − +→ 0 − +→ 0 − + →1 − +→ 1 − + → 0 
3 bits
binário
3 bits
código
Gray
(a) Binário (b) Código Gray 
100101
111
110
011010
000
001
111110
101
100
010011
000
001
Escovas de contato em um cursor fixo ao longo 
da superfície dos anéis condutivos girantes
� FIGURA 2–7
Uma ilustração simplificada de como o código Gray resolve o problema de erro em codificadores da po-
sição de eixo.
Figura 4: Uma ilustração simplificada de como o código Gray resolve o problema de erro em codificadores da posição de
eixo
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Conversão entre sistemas numéricos
Conversão Código Binário para Código Gray
1 Use o binário mais significativo (MSB) como gray mais significativo (MSB)
→ G2 = B2;
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Conversão entre sistemas numéricos
Conversão Código Binário para Código Gray
2 Compare o binário mais significativo (B2) com o próximo binário (B1) ;
Se B2 = B1 ∴ G1 = 0; Se B2 ̸= B1 ∴ G1 = 1;
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Conversão entre sistemas numéricos
Conversão Código Binário para Código Gray
3 G0 pode ser encontrado comparando (B1) com o (B0) ;
Se B1 = B1 ∴ G0 = 0; Se B1 ̸= B0 ∴ G0 = 1 ;
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Conversão entre sistemas numéricos
Conversão do Gray para o Código Binário
1 E o contrário, como fica?
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Conversão entre sistemas numéricos
Códigos Alfanuméricos
Representa todos os caracteres e as funções encontrados em um teclado de
computador:
26 letras minúsculas e 26 maiúsculas;
10 dígitos;
7 sinais de pontuação;
de 20 a 40 outros caracteres.
O código alfanumérico mais utilizado é o ASCII - American Standard Code for
Information Interchange (Código Padrão Americano para Intercâmbio de
Informações).
Trata-se de um código de 7 bits: 27 = 128 possíveis grupos de código.
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Conversão entre sistemas numéricos
Desafio - Tabela ASCII
Fazer um codigo em python.
Requisitos:
Receber um caractere no formato string.
Imprimir na tela o caractere;
Imprimir na tela o código decimal;
Imprimir na tela o código hexa;
Imprimir na tela o código binario;
Exemplo:
Q = 8110 = 5116 = 0101 00012
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thain
Typewriter
https://colab.research.google.com/drive/1D62VnXQxPJAO8XjCFFSWypwFwnob1AR-
thain
Typewriter
https://www.ascii-code.com/
Conversão entre sistemas numéricos
Detecção de erros pelo método de paridade
A movimentação de dados e códigos binários de um local para outro é a operação
mais frequentemente realizada em sistemas digitais.
Voz digitalizada sobre um link de micro-ondas.
Armazenamento de dados de discos magnéticos e ópticos.
Comunicação entre sistemas de computador através de linhas telefônicas.
O ruído elétrico pode causar erros durante a transmissão.
Figura 5: Exemplo de um erro causado por um ruído em uma transmissão digital.
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Conversão entre sistemas numéricos
Detecção de erros pelo método de paridade
Método de paridade PAR - o número total de bits ALTO (um) em um
grupo, incluindo o bit de paridade, é um número par;
O grupo binário 1 0 1 1 exigiria a adição de um bit de paridade 1, tornando o grupo 1
1 0 1 1.
Similarmente, o método de paridade ÍMPAR - o número total de bits ALTO (um) em
um grupo, incluindo o bit de paridade, deve ser um número ímpar.
Os métodos de paridade funcionarão caso ocorra erro em dois bits?
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Conversão entre sistemas numéricos
Detecção de erros pelo método de paridade
O bit de paridade torna-se uma parte da palavra código. Adicionar um bit de
paridade ao código ASCII de 7 bits produz um código de 8 bits.
Escreva a palavra HELLO, usando ASCII e bit de paridade.
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Conversão entre sistemas numéricos
Detecção de erros pelo método de paridade
O bit de paridade torna-se uma parte da palavra código. Adicionar um bit de
paridade ao código ASCII de 7 bits produz um código de 8 bits.
Escreva a palavra HELLO, usando ASCII e bit de paridade.
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Conversão entre sistemas numéricos
Transmitindo com código ASCII - Aplicações
O método de transferência é chamado de comunicação de dados assíncronos (sem
o clock ).
Ao transmitir-se caracteres ASCII, deve-se contar ao receptor que um novo
personagem está chegando.
Uma tabela de caracteres ASCII deve ser “emoldurada” para que o receptor saiba
onde os dados começam e onde terminam.
O primeiro bit deve sempre ser um bit de início (lógica 0).
Código ASCII é enviado primeiro por LSB e MSB por último.
Após o MSB, um bit de paridade é acrescentado para verificar erros de transmissão.
A transmissão termina ao enviar um bit de parada (lógica 1).
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Conversão entre sistemas numéricos
Transmitindo com código ASCII - Aplicações
Transmissão assíncrona típica de um código ASCII de 7 bits para o símbolo #
Figura 6: Dados seriais assíncronos com paridade par.
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Conversão entre sistemas numéricos
Poder do armazenamento digital - Aplicações
Um CD-ROM típico pode armazenar 650 megabytes de dados digitais. Sendo 1M =
220 , quantos bits de dados um CD-ROM pode guardar?
Solução:
Lembre-se de que um byte corresponde a 8 bits.
Portanto, 650 megabytes equivalem a:
650 × 220 × 8 = 5.452.595.200 bits.
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Conversão entre sistemas numéricos
Poder do armazenamento digital - Aplicações
Um CD-ROM típico pode armazenar 650 megabytes de dados digitais. Sendo 1M =
220 , quantos bits de dados um CD-ROM pode guardar?
Solução:
Lembre-se de que um byte corresponde a 8 bits.
Portanto, 650 megabytes equivalem a:
650 × 220 × 8 = 5.452.595.200 bits.
thainan.theodoro@ufop.edu.br (UFOP) Unidade 1 - Introdução aos Sistemas Digitais 35 / 38
Conversão entre sistemas numéricos
Poder do armazenamento digital - Aplicações
Um computador típico pode armazenar 1 terabyte de dados digitais, quantos bits de
dados ele pode guardar?
Solução:
1 terabyte equivale a:
1 × 240 × 8 = 8.796.093.022.208 bits.
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Conversão entre sistemas numéricos
Poder do armazenamento digital - Aplicações
Um computador típico pode armazenar 1 terabyte de dados digitais, quantos bits de
dados ele pode guardar?
Solução:
1 terabyte equivale a:
1 × 240 × 8 = 8.796.093.022.208 bits.
thainan.theodoro@ufop.edu.br (UFOP) Unidade 1 - Introdução aos Sistemas Digitais 36 / 38
Conversão entre sistemas numéricos
Seções dos livros abordados nesta aula
Tocci - 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.8, 2.9 e 2.10
Floyd - 2-1, 2-2, 2-3, 2-8, 2-9, 2-10, 2-11, 2-12
thainan.theodoro@ufop.edu.br (UFOP) Unidade 1 - Introdução aos Sistemas Digitais 37 / 38
Conversão entre sistemas numéricos
Referências
[1] Tocci, Ronald J., Neal S. Widmer, and Gregory L. Moss. Sistemas digitais: princípios
e aplicações. Prentice Hall, 2007, 10ª edição.
[2] Floyd, T. "Sistemas Digitais: Fundamentos e Aplicações."Editora Bookman, 2007.
thainan.theodoro@ufop.edu.br (UFOP) Unidade 1 - Introdução aos Sistemas Digitais 38 / 38
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