Resolução Exercicios_TeroriadosNumeros_

Prévia do material em texto

13/06/2024 12:17 https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/666a2b4b6c41165863dabbab/gabarito/
https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/666a2b4b6c41165863dabbab/gabarito/ 1/9
Você acertou 9 de 10 questões
Verifique o seu desempenho e continue treinando! Você pode refazer o exercício quantas
vezes quiser.
Verificar Desempenho
A
B
C
D
E
1 Desmarcar para revisão
A relação de divisibilidade é um conceito fundamental em teoria dos números e descreve
uma relação particular entre dois inteiros. Com base na Relação de Divisibilidade em  é
somente correto afirmar que:
Z
2 ∣ 8.
8 ∣ 2.
−8 ∣ 2.
−18 ∣ 3.
2 ∤ 20.
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
 CORRETO  pois 
 ERRADO. , pois não existe um inteiro  de modo que .
 ERRADO. , pois não existe um inteiro  de modo que .
 ERRADO. , pois não existe um inteiro  de modo que .
  ERRADO.  pois .
2 ∣ 8 2 ∣ 8, 8 = 2 ⋅ 4
8 ∣ 2 8 ∤ 2 q 2 = 8q
−8 ∣ 2 −8 ∣ 2 q 2 = −8q
−18 ∣ 3 −18 ∤ 3 q 3 = −18q
2 ∤ 20 2 ∣ 20 20 = 2 ⋅ 10
13/06/2024 12:17 https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/666a2b4b6c41165863dabbab/gabarito/
https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/666a2b4b6c41165863dabbab/gabarito/ 2/9
A
B
C
D
E
2 Desmarcar para revisão
Cada número inteiro encontra-se em um de dois reinos distintos: o dos números pares e o
dos números ímpares. Qualquer que seja um inteiro , considerando os números inteiros  e
 , é somente correto afirmar que:
n
n + 5
Os números inteiros  e  tem a mesma paridade.n n + 5
Tem paridades distintas.
Os números inteiros  e  sempre são pares.n n + 5
Os números inteiros  e  sempre são ímpares.n n + 5
Não é possível determinar a paridade desses números.
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Considerando  o quociente e  o resto da divisão de   por , temos que
Somando 5 a igualdade,
Os números deixam restos diferentes na divisão por 2, tem, portanto, paridades
distintas.
q r n 2
n = 2q + r
0 ≤ r < 2
n + 5 = 2q + r + 5 = {
2q + 5 = 2q + 4 + 1 = 2(q + 2) + 1  se  r = 0
2q + 1 + 5 = 2q + 6 = 2(q + 3) + 0  se  r = 1
3 Desmarcar para revisão
O conjunto dos números inteiros  possui diversos subconjuntos relevantes. Com relação a
esses subconjuntos, analise as afirmativas:
I. 
II. 
III. 
É correto apenas o que se afirma em:
Z+ = {x ∈ Z ∣ x ≤ 0}
Z∗
+ = {x ∈ Z ∣ x > 0}
Z∗ = {x ∈ Z ∣ x ≠ 0}
13/06/2024 12:17 https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/666a2b4b6c41165863dabbab/gabarito/
https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/666a2b4b6c41165863dabbab/gabarito/ 3/9
A
B
C
D
E
I, apenas.
II, apenas.
III, apenas.
I e II, apenas.
II e III, apenas.
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Conjunto dos inteiros não negativos, ou seja, dos maiores ou iguais a zero .  
Conjunto dos inteiros positivos  .
Conjunto dos inteiros não nulos, ou seja, diferentes de zero .
(≥ 0)
Z+ = {x ∈ Z ∣ x ≥ 0}
(> 0)
Z∗
+ = {x ∈ Z ∣ x > 0}
(≠ 0)
Z∗ = {x ∈ Z ∣ x ≠ 0}
4 Desmarcar para revisão
Enquanto a sequência de números naturais é familiar para muitos, poucos param para
considerar as propriedades intrínsecas que essa sequência possui. O Princípio da Boa
Ordenação é uma dessas propriedades, estabelecendo um alicerce crucial na teoria dos
números. Considerando o Princípio da Boa Ordenação, analise as afirmativas:
I.    é um subconjunto não vazio do conjunto dos inteiros não negativos
. Pelo Princípio da Boa Ordenação, o conjunto  possui elemento
mínimo, .
II.   é um subconjunto não vazio do conjunto dos inteiros não
negativos . Pelo Princípio da Boa Ordenação, o conjunto  possui
elemento mínimo, .
III.    � Conjunto dos inteiros não positivos,  é um subconjunto não
vazio do conjunto dos inteiros não negativos . Pelo Princípio da Boa
Ordenação, o conjunto  possui elemento mínimo, .
É correto apenas o que se afirma em:
A = {3, 5, 7, 9, ⋯}
Z+ = {0, 1, 2, 3, ⋯} A
3 = minA
A = {2, 4, 8, 16, 32 ⋯}
Z+ = {0, 1, 2, 3, ⋯} A
2 = minA
Z− Z− = {x ∈ Z ∣ x ≤ 0}
Z+ = {0, 1, 2, 3, ⋯}
A 0 = minA
13/06/2024 12:17 https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/666a2b4b6c41165863dabbab/gabarito/
https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/666a2b4b6c41165863dabbab/gabarito/ 4/9
A
B
C
D
E
III, apenas.
II, apenas.
I, apenas.
I e II, apenas.
II e III, apenas.
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
 é elemento mínimo do subconjunto , ou ainda,
, e se .
I � Verdadeira.  é um subconjunto não vazio do conjunto dos
inteiros não negativos   . Pelo Princípio da Boa Ordenação, o
conjunto  possui elemento mínimo, .
II � Verdadeira.  é um subconjunto não vazio do conjunto dos
inteiros não negativos  . Pelo Princípio da Boa Ordenação, o
conjunto  possui elemento mínimo, .
III � Falsa.  � Conjunto dos inteiros não positivos,  é um
subconjunto não vazio do conjunto dos inteiros não negativos 
. Pelo Princípio da Boa Ordenação, o conjunto  possui elemento mínimo, .
Na verdade, temos que
 � Conjunto dos inteiros não negativos, ou seja, dos maiores ou iguais a zero   .
 � Conjunto dos inteiros não positivos, ou seja, dos menores ou iguais a zero   .
a0 A ⊂ Z
a0 = minA : a0 ≤ a, ∀a ∈ A ⊂ Z a0 ∈ A
A = {3, 5, 7, 9, ⋯}
Z+ = {0, 1, 2, 3, ⋯}
3 = minA
A = {2, 4, 8, 16, 32 ⋯}
Z+ = {0, 1, 2, 3, ⋯}
A 2 = minA
Z− Z− = {x ∈ Z ∣ x ≤ 0}
Z+ = {0, 1, 2, 3, ⋯}
A 0 = minA
Z+ (≥ 0)
Z+ = {x ∈ Z ∣ x ≥ 0} = {0, 1, 2, 3, ⋯}
Z− (≤ 0)
Z− = {x ∈ Z ∣ x ≤ 0} = {⋯ , −3, −2, −1, 0}
5 Desmarcar para revisão
O Algoritmo da Divisão é um procedimento fundamental utilizado para dividir dois inteiros,
obtendo um quociente e um resto. Determinando o quociente  e o resto  da divisão de 36
por �9, satisfazendo as condições do algoritmo da divisão, obtemos:
q r
13/06/2024 12:17 https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/666a2b4b6c41165863dabbab/gabarito/
https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/666a2b4b6c41165863dabbab/gabarito/ 5/9
A
B
C
D
E
A
B
C
 e q = −4 r = 4.
 e q = 0 r = −4.
 e q = −4 r = 9.
 e q = −4 r = 0.
 e q = 4 r = 0.
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
36 = 9 ⋅ 4 + 0 ∴ 36 = (−9) ⋅ (−4) + 0
q = −4 er  = 0
6 Desmarcar para revisão
Embora a divisibilidade possa inicialmente parecer uma simples operação aritmética, ela
carrega consigo implicações profundas em teoria dos números, criptografia, e até mesmo na
música. Sobre a relação de divisibilidade no conjunto dos números inteiros, analise as
afirmativas:
I.   O inteiro 5 divide 0, pois .
II.   O inteiro 0 divide 8.
III.   O inteiro 1 divide ,   .
É correto apenas o que se afirma em:
0 = 0 ⋅ 5
n ∀n ∈ N
I e III, apenas.
I e II, apenas.
II e III, apenas.
13/06/2024 12:17 https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/666a2b4b6c41165863dabbab/gabarito/
https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/666a2b4b6c41165863dabbab/gabarito/ 6/9
D
E
A
B
C
D
E
II, apenas.
I, II e III.
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
I VERDADE. O inteiro 5 divide 0, pois 
II FALSO. O inteiro 0 NÃO divide , pois não existe um inteiro  de modo que
 .
III VERDADE. O inteiro 1 divide , , pois 
0 = 0 ⋅ 5
8.0 ∤ 8 q
9 = 0q
n ∀n ∈ N n = 1 ⋅ n
7 Desmarcar para revisão
Um divisor comum de dois números inteiros  e  é todo número inteiro  de modo
que  e . Assim, determinando os divisores comuns de  e , obtemos:
a b d ≠ 0
d ∣ a d ∣ b 10 −12
{−10, −5, −2, −1, 1, 2, 5, 10}.
{−12, −6, −4, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 4, 6, 12}.
{−6, −5, −4, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
{−2, −1, 1, 2}.
{−12, −10, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12}.Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
D(10) = {−10, −5, −2, −1, 1, 2, 5, 10}
D(−12) = D(12) = {−12, −6, −4, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 4, 6, 12}
D(−12, 10) = {−2, −1, 1, 2}
13/06/2024 12:17 https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/666a2b4b6c41165863dabbab/gabarito/
https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/666a2b4b6c41165863dabbab/gabarito/ 7/9
A
B
C
D
E
8 Desmarcar para revisão
Os axiomas de Peano definem propriedades fundamentais dos números naturais. Resolvendo
a equação  Obtemos:( 10
2x
) = ( 10
x + 1
) ≠ 0
 ou x = 2 x = 3.
 ou x = 1 x = 2.
 ou x = 1 x = 3.
 ou x = 1 x = 4.
 ou x = 2 x = 10.
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra C. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Temos que ou os denominadores são iguais ou os números binomiais são
complementares e, portanto, a soma dos denominadores deve ser igual ao numerador
comum.
Denominadores iguais:
Números binomiais são complementares:
Assim, temos que   ou 
2x = x + 1
x = 1
2x + x + 1 = 10
3x = 9
x = 3
x = 1 x = 3.
9 Desmarcar para revisão
Os números naturais são uma sequência familiar que todos nós usamos no dia a dia.
Determinando o(s) valore(s) inteiro(s) positivo(s)  de modo que tenhamos 
 como um quadrado perfeito, obtemos:
n ≤ 5 n! + 2
Questão 7
d
10
Corretas �9�
Incorretas �1
Em branco �0
1 2 3 4
6 7 8 9
Exercicio
Números Inteiros, Divisibilidade e Algoritmo Da
Divisão
Sair
13/06/2024 12:17 https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/666a2b4b6c41165863dabbab/gabarito/
https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/666a2b4b6c41165863dabbab/gabarito/ 8/9
A
B
C
D
E
4.
2.
5.
3.
1.
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
 não é quadrado perfeito
 é quadrado perfeito
 não é quadrado perfeito
 não é quadrado perfeito
 não é quadrado perfeito
O único valor inteiro positivo  de modo que tenhamos  como um quadrado
perfeito é o 2.
n = 1
1! + 2 = 3
n = 2
2! + 2 = 4
n = 3
3! + 2 = (3 ⋅ 2 ⋅ 1) + 2 = 8
n = 4
4! + 2 = (4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1) + 2 = 26
n = 5
5! + 2 = (5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1) + 2 = 122
n ≤ 5 n! + 2
10 Desmarcar para revisão
A indução matemática é uma ferramenta poderosa e elegante que permite provar
declarações sobre uma sequência infinita de casos. Utilizando indução matemática para
mostrar que  vale a proposição  analise as
afirmativas:
I.  Para  não é válido. De fato, a desigualdade vale somente a partir de  .
II.  A Hipótese de Indução nos afirma que vale para :
III. Na Etapa Indutiva precisamos mostrar que vale para :
É correto apenas o que se afirma em:
∀n ∈ N P(n) : + + + ⋯ + ≤ 1,1
2
1
22
1
23
1
2n
n = 1 n = 4
k : 2k−1 ≤ k!
(k + 1)
+ + + ⋯ + + = (1 + + + + ⋯ + ) ≤ (1 + 1) = 11
2
1
22
1
23
1
2k
1
2k+1
1
2
1
2
1
22
1
23
1
2k
1
2
13/06/2024 12:17 https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/666a2b4b6c41165863dabbab/gabarito/
https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/666a2b4b6c41165863dabbab/gabarito/ 9/9
A
B
C
D
E
I, apenas.
II, apenas.
I e II, apenas.
II e III, apenas.
I, II e III.
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Vamos mostrar que,  vale a proposição 
 é verdadeiro. De fato,   É válido.
�2� Hipótese de indução.
Considere que a proposiçãoé válida para .
.
�3� Etapa Indutiva
Vamos mostrar que a proposição é válida para .
Precisamos mostrar que
Vamos iniciar então a prova, colocando  em evidência:
Pela hipótese de indução:
∀n ∈ N P(n) : + + + ⋯ + ≤ 11
2
1
22
1
23
1
2n
(1) P(1)  ≤ 11
2
k
+ + + ⋯ + ≤ 11
2
1
22
1
23
1
2n
k + 1
+ + + ⋯ + + ≤ 11
2
1
22
1
23
1
2k
1
2k+1
1
2
+ + + ⋯ + + = (1 + + + + ⋯ + )1
2
1
22
1
23
1
2k
1
2k+1
1
2
1
2
1
22
1
23
1
2k
+ + + ⋯ + + = (1 + + + + ⋯ + ) ≤ (1 + 1) = 11
2
1
22
1
23
1
2k
1
2k+1
1
2
1
2
1
22
1
23
1
2k
1
2