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Universidade Federal de Ouro Preto
Instituto de Ciências Exatas e Biológicas
Departamento de Matemática
MTM131 � Geometria Analítica e Cálculo Vetorial
Profa. Fabiana Lopes Fernandes
L5P1 � Elipses
Instruções: Reveja a teoria e exercícios feitos em classe. Evite �decorebas�, procure compreender
bem a teoria para melhor aplicá-la à resolução dos problemas. A resolução de um exercício deve
estar na forma de um texto organizado, claro e objetivo; os conceitos utilizados devem estar
explicitados passo a passo. Utilize os conceitos e fórmulas vistos em classe.
Bom estudo!
1. Escreva as equações das elipses mostradas na �gura abaixo e determine as
coordenadas de seus focos.
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
(g) (h)
1
2. Em cada item, é dada a equação de uma elipse. Pede-se: (i) as coordenadas
dos focos e vértices; (ii) o comprimento do eixo maior; (iii) o comprimento do
eixo menor; (iv) esboço.
(a)
x2
4
+
y2
9
= 1 (b) 225x2 + 289y2 = 65025
(c) 144x2 + 169y2 = 24336
3. Em cada item, determine a equação reduzida e faça um esboço da elipse que
satisfaz às condições dadas:
(a) focos (±3, 0) e passsa pelo ponto P = (0, 4);
(b) centro na origem, um foco em (0, 3) e eixo maior de comprimento 10;
(c) vértices
(
±5
2
, 0
)
e focos
(
±3
2
, 0
)
;
(d) focos (0,±3) e eixo maior de comprimento 6
√
3;
(e) vértices (±2, 0) e passa pelo ponto Q =
(
−1,
√
3
2
)
;
(f) centro em (4,−2), um vértice está em (9,−2) e, um foco, em (0,−2);
(g) passa pelos pontos (2, 0), (−2, 0) e (0, 1).
4. Determine o lugar geométrico dos pontos do plano, cuja soma das distâncias
aos pontos (0,±5) é igual a 26. Faça um esboço.
5. Em cada item, determine os pontos em que a reta r intercepta a elipse de
equação dada. Faça um esboço no plano cartesiano assinalando os pontos de
interseção.
(a) r : 5x+ y = 5, elipse: 25x2 + y2 = 25
(b) r : x+ 2y = 6, elipse: x2 + 4y2 = 20
6. Obtenha equações das tangentes à elipse λ : 4x2 + 9y2 = 36 que passam pelo
ponto (7, 2) e faça um esboço.
7. A �gura abaixo, mostra o vão da entrada de um armazém, pelo qual deverá
passar um caminhão que tem 4 metros de largura. Determine a altura máxima
que o caminhão pode ter, sabendo que o arco superior do vão é semi-elíptico.
8. O teto de saguão, com 10m de largura, tem o formato de uma semielipse com
9m de altura no centro e 6m de altura nas paredes laterais. Determine a altura
do teto a 2m de cada parede.
2
9. O arco de uma ponte tem o formato de uma semielipse com um vão horizontal
de 40m e com 16m de altura no centro. Qual a altura do arco a 9m à esquerda
ou à direita do centro?
10. Dertermine o valor da constante m para que a reta r : y = mx+8 seja tangente
à elipse 16x2 + 25y2 = 400.
11. Conduza por O = (0, 0) as retas t que são tangentes à elipse
λ : x2 + 4y2 − 16y + 12 = 0.
12. Seja a elipse E : x2 + 4y 2 = 4. Determine a equação do lugar geométrico dos
pontos P do plano, externos à elipse E , que são tais que as tangentes à elipse
traçadas por P , sejam perpendiculares.
RESPOSTAS
1. (a)
x2
36
+
y2
16
= 1; F =
(
±2
√
5, 0
)
(b) x2 +
y2
16
= 1; F =
(
0±
√
15
)
(c)
x2
25
+
y2
9
= 1; F = (±4, 0)
(d)
x2
169
+
y2
25
= 1; F = (±12, 0)
(e)
x2
9
+
y2
25
= 1; F = (0,±4)
(f)
(x− 10)2
100
+
y2
36
= 1; F = (±8, 0)
(g)
(x− 6)2
25
+
(y − 7)2
9
= 1
(h)
(x+ 9)2
25
+
(y − 14)2
169
= 1; F = (−9,±12)
2. (a) (i) F =
(
0,±
√
5
)
, V = (0,±3), P = (±2, 0);
(ii) 6;
(iii) 4.
(b) (i) F = (±8, 0), V = (±17, 0), P = (0,±15);
(ii) 34;
(iii) 30.
(c) (i) F = (±5, 0), V = (±13, 0) , P = (0,±12);
(ii) 26;
(iii) 24.
3. (a)
x2
25
+
y2
16
= 1
(b)
x2
16
+
y2
25
= 1
(c)
x2
25/4
+
y2
4/25
= 1
(d)
x2
18
+
y2
27
= 1
(e)
x2
4
+ y2 = 1
(f)
(x− 4)
2
25
+
(y + 2)
2
9
= 1
(g)
x2
4
+ y2 = 1
4. 169x2 + 144y2 = 24336
5. (a) (0, 5) e (1, 0)
(b) (2, 2) e (4, 1)
3
6. y = 2 ou y = 7
10x− 29
10
7.
8 + 3
√
3
2
m
8.
42
5
m
9. 4
5
√
319 m
10. m = ±48
25
11. y = ±
√
3
2
x
12. x2 + y2 = 5
4