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No próximo exemplo, adaptado de Nicholson (2006), você verá um pri-
meiro exemplo de um espaço onde os vetores apresentam mais do que três 
coordenadas.
Paulo, um economista que trabalha para uma rede de pizzarias, tem em mãos dados 
sobre as vendas das unidades e a quantidade de estudantes que moram nas redondezas 
dessas lojas. 
Quantidade de Estudantes (mil) Vendas (mil R$)
3 30
1 27
1 26
0,5 23
3,5 32
Paulo deseja encontrar a reta de regressão desses valores, isto é, uma reta que tente 
explicar como as vendas variam à medida que o número de estudantes aumenta. 
Veja a Figura 2.
Figura 2. Gráfico de desempenho de vendas.
Paulo precisa encontrar uma reta da forma y = mx + b, que melhor aproxime os 
pontos desse gráfico. A ideia central é encontrar valores y’i = mx + b que cheguem 
aos valores das vendas. 
3O espaço ℝn: subespaços e geradores
Essa noção de distância será semelhante à de distância no plano. Considere seguintes 
vetores:
Y = e Y’ =
y1
y2
y3
y4
y5
y’1
y’2
y’3
y’4
y’5
que são vetores de ℝ5. O problema consiste, então, em encontrar valores de m e b, 
de maneira que o valor:
d(Y,Y’) = √(y1 – y’1)
2 + (y2 – y’2)
2 + (y3 – y’3)
2 + (y4 – y’4)
2 + (y5 – y’5)
2
O método de minimizar a distância é conhecido como “mínimos quadrados”. 
Paulo, por exemplo, utilizando esse método e com o auxílio de uma planilha ele-
trônica, encontrou a seguinte equação para a reta:
y = 2,47x + 23,13
Você pode encontrar mais sobre o método dos mínimos quadrados em Nicholson 
(2006), na seção 4.6.
É importante observar que as operações de soma e produto por escalar, 
definidas em ℝn, são análogas às definidas em ℝ2 e ℝ3. Isto é, dados 
e em ℝn e α ∈ ℝ, temos:
1. 
2. 
O espaço ℝn: subespaços e geradores4
Portanto, assim como nos casos já estudados, operações de soma e produto 
por escalar ocorrem coordenada à coordenada.
Você verá que, na medida em que perdemos as representações gráficas, 
mais importante serão as propriedades algébricas dos objetos estudados. 
Subespaços vetoriais
Na seção anterior, apresentamos os espaços ℝn, como são definidos e alguns 
exemplos deles. Agora, você estudará os subespaços do espaço ℝn.
Começamos em moldes semelhantes ao apresentado em Nicholson (2006) 
e Anton e Busby (2006), apresentando a definição de subespaço.
Considere um espaço ℝn. Diremos que um subconjunto de vetores E ⊆ ℝn 
é um subespaço de ℝn, se, com as operações de soma e produto por escalar 
definidas em ℝn, ele atender às seguintes condições:
1. 0
→
 ∈ E;
2. se u→, v→ ∈ E, então u→ + v→ ∈ E;
3. dados α ∈ ℝ e v→ ∈ E, tem-se que α v→ ∈ E.
A primeira propriedade exprime a necessidade de que o elemento nulo 
seja de um subespaço. A segunda e a terceira propriedades exigem que o 
subespaço seja fechado quando as operações do espaço ℝn, isto é, ao operar 
dois elementos do subespaço, o resultado deve ainda ser um elemento dele.
Veja um primeiro exemplo envolvendo subespaços.
Vamos verificar que o E = {v→ є R5|u→ = }
x1
x2
0
0
0
 é um subespaço de ℝ5. Com efeito, tomando 
x1 = x2 = 0, concluímos que a primeira condição é satisfeita. Agora, para verificar-
mos as demais, vamos tomar um par de vetores u→, v→ ∈ E e α ∈ ℝ, digamos com 
5O espaço ℝn: subespaços e geradores
u→ =
x1
x2
0
0
0
 e v→ =
y1
y2
0
0
0
. Temos, portanto:
1. u→ + v→ = + = = є E
x1
x2
0
0
0
y1
y2
0
0
0
x1 + y1
x2 + y2
0 + 0
0 + 0
0 + 0
x1 + y1
x2 + y2
0
0
0
2. αu→ = α = = є E
x1
x2
0
0
0
αx1
αx2
α0
α0
α0
αx1
αx2
0
0
0
.
Logo, E é, de fato, um subespaço de ℝ5. Na verdade, o leitor mais ávido percebeu 
que se trata, em algum sentido, de uma cópia do espaço ℝ2 imersa em ℝ5.
Existem dois subespaços que costumam ser chamados de subespaços 
triviais: o próprio ℝn e o subespaço nulo (o subespaço formado apenas pelo 
vetor nulo). 
Será que todos os subconjuntos de um espaço ℝn são também subespaços? 
Se assim fosse, não teríamos por que criar uma nova nomenclatura. Veja, a 
seguir, um exemplo de um subconjunto que não é um subespaço. 
Considere o subconjunto E do plano formado pelos vetores da forma v
→ = 1 + t
–1 + t
| t є R . 
Observe que ele não inclui o vetor nulo. De fato, se 1 + t = 0 → t = –1, temos a primeira 
coordenada nula. Mas, para esse mesmo valor, a segunda será igual a –2.
Esse conjunto coincide com a reta de equação:
y = x – 2 
que não passa pela origem do plano euclidiano. 
O espaço ℝn: subespaços e geradores6
Vejamos, ainda, mais um exemplo de subespaço de ℝn.
Considere o seguinte subconjunto de ℝn:
E = v→ є R4 | v→ = , onde x, y, є R
x + y
y
x – y
y
Vamos verificar que esse, de fato, é um subconjunto de ℝn. A primeira condição pode 
ser verificada tomando x = y = 0. Obtemos que o vetor nulo está nesse subconjunto. 
Para verificar as outras condições, vamos tomar vetores u→, v→ ∈ E e α ∈ ℝ com:
v→ =
v1 + v2
v2
v1 – v2
v2
u→ =
u1 + u2
u2
u1 – u2
u2
e
Obtemos:
u→ + v→ = + =
v1 + v2
v2
v1 – v2
v2
u1 + u2
u2
u1 – u2
u2
x + y
y
x – y
y
onde x = v1 + u2 e y = v2 + u2. Portanto, u→ + v→ ∈ E
Temos, também, que:
αu→ = α + =
u1 + u2
u2
u1 – u2
u2
αu1 + αu2
αu2
αu1 – αu2
αu2
x + y
y
x – y
y
onde x = αu1 e y = αu2. Portanto, α u→ ∈ E.
Concluímos que E é, de fato, um subespaço de ℝn.
Precisamos, ainda, definir dois subespaços de ℝn que aparecem em diversas 
aplicações da álgebra linear: o espaço anulado e o espaço imagem. Para tal, 
consideremos uma matriz An×n que induz uma transformação linear em ℝn. 
Definimos, então:
7O espaço ℝn: subespaços e geradores

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