O Espaço Vetorial Rn Subespaços e Geradores

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O Espaço Vetorial Rn: Subespaços e 
Geradores
Apresentação
O espaço Rn é uma generalização para dimensões maiores do que os R2 e R3. Nesses espaços, 
perde-se o recurso de representar graficamente alguns objetos, o que torna mais difícil a 
visualização e aumenta o apego às propriedades algébricas.
Para que você possa acompanhar adequadamente esta Unidade, é necessário que domine 
conhecimentos em geometria vetorial, determinantes e matrizes inversas.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você verá as propriedades da geometria tridimensional para o 
espaço de dimensão n, com n > 3, os subespaços vetoriais e o conjunto gerador de dado espaço 
vetorial.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Generalizar as propriedades da geometria tridimensional para o espaço de dimensão n, com n 
> 3.
•
Definir subespaços vetoriais a fim de reconhecer quando um conjunto munido de adição e 
multiplicação por escalar é subespaço de dado espaço vetorial.
•
Conceituar conjunto gerador para reconhecer quando um conjunto pode ser denominado 
gerador de determinado espaço vetorial.
•
Infográfico
Transformações lineares têm aplicações em diversas áreas da ciência. Em muitos casos, é 
importante conhecer alguns subespaços que desempenham papel central nos estudos de tais 
transformações.
Neste Infográfico, veja alguns subespaços especiais.
Conteúdo do livro
A álgebra linear desenvolve-se sobre base sólida. Nesta, os subespaços e espaços geradores têm 
papel muito importante.
No capítulo O espaço vetorial Rn: subespaços e geradores, do livro Álgebra linear, você verá as 
propriedades da geometria tridimensional para o espaço de dimensão n, com n > 3, os subespaços 
vetoriais e o conjunto gerador de dado espaço vetorial.
Boa leitura.
ÁLGEBRA LINEAR
Silvano Antonio Alves Pereira Junior
O espaço ℝn: subespaços 
e geradores
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Aplicar as propriedades da geometria tridimensional para o espaço 
de dimensão n, com n > 3.
 � Explicar subespaços vetoriais, a fim de reconhecer quando um con-
junto munido de adição e multiplicação por escalar é um subespaço 
de um dado espaço vetorial.
 � Definir conjuntos geradores, a fim de reconhecer quando um conjunto 
pode ser denominado conjunto gerador de um dado espaço vetorial.
Introdução
Neste capítulo, você estudará um pouco mais sobre álgebra linear, sendo 
apresentado ao espaço ℝn, uma generalização natural dos conceitos 
que aprendemos em ℝ2 e ℝ3. Verá, também, o que são subespaços e 
conjuntos de geradores, além de entender como alguns subespaços 
especiais se relacionam com transformações matriciais.
Espaços ℝn
O espaço ℝn é uma generalização natural dos espaços ℝ2 e ℝ3, para dimen-
sões maiores. No espaço ℝn, para n ≥ 4, perdemos a capacidade de desenhar, 
ficando sem o apelo da visualização. Contudo, como será visto, as propriedades 
algébricas dos espaços e das transformações matriciais continuam válidas e 
passam a ter um papel ainda mais importante. Seguiremos uma linha seme-
lhante à apresentada em Nicholson (2006).
Começamos de maneira muito semelhante ao que fizemos para o plano ℝ2, 
onde identificamos os seus pontos com os vetores que representam o transporte 
da origem até esses pontos. Seguindo por esse caminho, lembramo-nos de 
que os pontos do espaço ℝn são n-úplas de números reais:
P(x1, x2, ..., xn)
onde os xi são, também, números reais. 
Assim sendo, não faremos distinção entre o ponto P(x1, x2, ..., xn) e o vetor 
 associado ele, que representa o transporte da origem a esse ponto. 
Esses vetores são chamados de n-vetores, e o espaço ℝn é o que contém todos 
os n-vetores assim definidos.
Veja, a seguir, alguns exemplos de espaços do tipo ℝn.
Um exemplo é o plano espaço euclidiano ℝ2, estudado anteriormente, onde os pontos 
P(x1, x2) são identificados com os vetores correspondentes v
→ =
x1
x2
. Veja a Figura 1.
–3 –2 –1 0 1 2 3
1
2
3
P(x,y)
v
B
Figura 1. Ponto e vetor no plano euclidiano.
No plano ℝ2 você já estudou transformações como reflexões, rotações e projeções, 
onde a representação gráfica foi de grande auxílio.
O espaço ℝn: subespaços e geradores2
No próximo exemplo, adaptado de Nicholson (2006), você verá um pri-
meiro exemplo de um espaço onde os vetores apresentam mais do que três 
coordenadas.
Paulo, um economista que trabalha para uma rede de pizzarias, tem em mãos dados 
sobre as vendas das unidades e a quantidade de estudantes que moram nas redondezas 
dessas lojas. 
Quantidade de Estudantes (mil) Vendas (mil R$)
3 30
1 27
1 26
0,5 23
3,5 32
Paulo deseja encontrar a reta de regressão desses valores, isto é, uma reta que tente 
explicar como as vendas variam à medida que o número de estudantes aumenta. 
Veja a Figura 2.
Figura 2. Gráfico de desempenho de vendas.
Paulo precisa encontrar uma reta da forma y = mx + b, que melhor aproxime os 
pontos desse gráfico. A ideia central é encontrar valores y’i = mx + b que cheguem 
aos valores das vendas. 
3O espaço ℝn: subespaços e geradores
Essa noção de distância será semelhante à de distância no plano. Considere seguintes 
vetores:
Y = e Y’ =
y1
y2
y3
y4
y5
y’1
y’2
y’3
y’4
y’5
que são vetores de ℝ5. O problema consiste, então, em encontrar valores de m e b, 
de maneira que o valor:
d(Y,Y’) = √(y1 – y’1)
2 + (y2 – y’2)
2 + (y3 – y’3)
2 + (y4 – y’4)
2 + (y5 – y’5)
2
O método de minimizar a distância é conhecido como “mínimos quadrados”. 
Paulo, por exemplo, utilizando esse método e com o auxílio de uma planilha ele-
trônica, encontrou a seguinte equação para a reta:
y = 2,47x + 23,13
Você pode encontrar mais sobre o método dos mínimos quadrados em Nicholson 
(2006), na seção 4.6.
É importante observar que as operações de soma e produto por escalar, 
definidas em ℝn, são análogas às definidas em ℝ2 e ℝ3. Isto é, dados 
e em ℝn e α ∈ ℝ, temos:
1. 
2. 
O espaço ℝn: subespaços e geradores4
Portanto, assim como nos casos já estudados, operações de soma e produto 
por escalar ocorrem coordenada à coordenada.
Você verá que, na medida em que perdemos as representações gráficas, 
mais importante serão as propriedades algébricas dos objetos estudados. 
Subespaços vetoriais
Na seção anterior, apresentamos os espaços ℝn, como são definidos e alguns 
exemplos deles. Agora, você estudará os subespaços do espaço ℝn.
Começamos em moldes semelhantes ao apresentado em Nicholson (2006) 
e Anton e Busby (2006), apresentando a definição de subespaço.
Considere um espaço ℝn. Diremos que um subconjunto de vetores E ⊆ ℝn 
é um subespaço de ℝn, se, com as operações de soma e produto por escalar 
definidas em ℝn, ele atender às seguintes condições:
1. 0
→
 ∈ E;
2. se u→, v→ ∈ E, então u→ + v→ ∈ E;
3. dados α ∈ ℝ e v→ ∈ E, tem-se que α v→ ∈ E.
A primeira propriedade exprime a necessidade de que o elemento nulo 
seja de um subespaço. A segunda e a terceira propriedades exigem que o 
subespaço seja fechado quando as operações do espaço ℝn, isto é, ao operar 
dois elementos do subespaço, o resultado deve ainda ser um elemento dele.
Veja um primeiro exemplo envolvendo subespaços.
Vamos verificar que o E = {v
→ є R5|u→ = }
x1
x2
0
0
0
 é um subespaço de ℝ5. Com efeito, tomando 
x1 = x2 = 0, concluímos que a primeira condição é satisfeita. Agora, para verificar-
mos as demais, vamos tomar um par de vetores u→, v→ ∈ E e α ∈ ℝ, digamos com 
5O espaço ℝn: subespaços e geradores
u→ =
x1
x2
0
0
0
 e v→ =
y1
y2
0
0
0
. Temos, portanto:
1. u→ + v→ = + = = є E
x1
x2
0
0
0
y1
y2
0
0
0
x1 + y1
x2 + y2
0 + 0
0 + 0
0 + 0
x1 + y1
x2 + y2
0
0
0
2. αu→ = α = = є E
x1
x2
0
0
0
αx1
αx2
α0
α0
α0
αx1
αx2
0
0
0
.
Logo, E é, de fato, um subespaço de ℝ5. Na verdade, o leitor mais ávido percebeu 
que se trata, em algum sentido, de uma cópia do espaço ℝ2 imersa em ℝ5.
Existem dois subespaços que costumam ser chamados de subespaços 
triviais:o próprio ℝn e o subespaço nulo (o subespaço formado apenas pelo 
vetor nulo). 
Será que todos os subconjuntos de um espaço ℝn são também subespaços? 
Se assim fosse, não teríamos por que criar uma nova nomenclatura. Veja, a 
seguir, um exemplo de um subconjunto que não é um subespaço. 
Considere o subconjunto E do plano formado pelos vetores da forma v
→ = 1 + t
–1 + t
| t є R . 
Observe que ele não inclui o vetor nulo. De fato, se 1 + t = 0 → t = –1, temos a primeira 
coordenada nula. Mas, para esse mesmo valor, a segunda será igual a –2.
Esse conjunto coincide com a reta de equação:
y = x – 2 
que não passa pela origem do plano euclidiano. 
O espaço ℝn: subespaços e geradores6
Vejamos, ainda, mais um exemplo de subespaço de ℝn.
Considere o seguinte subconjunto de ℝn:
E = v→ є R4 | v→ = , onde x, y, є R
x + y
y
x – y
y
Vamos verificar que esse, de fato, é um subconjunto de ℝn. A primeira condição pode 
ser verificada tomando x = y = 0. Obtemos que o vetor nulo está nesse subconjunto. 
Para verificar as outras condições, vamos tomar vetores u→, v→ ∈ E e α ∈ ℝ com:
v→ =
v1 + v2
v2
v1 – v2
v2
u→ =
u1 + u2
u2
u1 – u2
u2
e
Obtemos:
u→ + v→ = + =
v1 + v2
v2
v1 – v2
v2
u1 + u2
u2
u1 – u2
u2
x + y
y
x – y
y
onde x = v1 + u2 e y = v2 + u2. Portanto, u
→ + v→ ∈ E
Temos, também, que:
αu→ = α + =
u1 + u2
u2
u1 – u2
u2
αu1 + αu2
αu2
αu1 – αu2
αu2
x + y
y
x – y
y
onde x = αu1 e y = αu2. Portanto, α u
→ ∈ E.
Concluímos que E é, de fato, um subespaço de ℝn.
Precisamos, ainda, definir dois subespaços de ℝn que aparecem em diversas 
aplicações da álgebra linear: o espaço anulado e o espaço imagem. Para tal, 
consideremos uma matriz An×n que induz uma transformação linear em ℝn. 
Definimos, então:
7O espaço ℝn: subespaços e geradores
Em palavras, o espaço anulado, aNul(A), é um subespaço do domínio 
da transformação A, enquanto o espaço imagem, Im(A), é um subespaço do 
contradomínio da transformação A.
Aqui, é oportuno relembrar um importante resultado sobre determinantes. 
Teorema: seja An×n uma matriz, são equivalentes as seguintes afirmações:
1. aNul(A) = {0→};
2. det(A) ≠ 0;
3. Im(A) = ℝn.
No exemplo a seguir, você verá o cálculo desses subespaços para uma 
transformação matricial.
Considere a matriz a seguir, que induz uma transformação no espaço ℝ3.
A =
1 1 1
0 2 1
0 0 1
Vamos determinar seu espaço anulado e seu espaço imagem.
Para encontrar o espaço anulado, precisamos buscar por todos os vetores que têm 
o vetor nulo como imagem. Temos:
1 1 1
0 2 1
0 0 1
x1
x2
x3
=
0
0
0
x1 + x2 + x3 = 0
2x2 + x3 = 0
x3 = 0
O espaço ℝn: subespaços e geradores8
Considere a seguinte matriz, que induz uma transformação no espaço ℝ4.
A =
1 1 1 1
0 0 2 1
0 2 1 0
0 0 1 0
Vamos determinar seu espaço anulado e seu espaço imagem.
Para encontrar o espaço anulado, precisamos buscar todos os vetores que têm o 
vetor nulo como imagem. Observe que o determinante dessa matriz é igual a 0, logo 
não podemos aplicar o resultado anterior. Temos:
1 1 1 1
0 0 2 0
0 2 1 0
0 0 1 0
x1
x2
x3
x4
=
0
0
0
0
x1 + x2 + x3 + x4 = 0
2x3 = 0
2x2 + x3 = 0
x3 = 0
x1 + x4 = 0
x3 = 0
x2 = 0
x3 = 0
Resolvendo o sistema por substituição, obtemos que a única solução é o vetor nulo 
x1 = x2 = x3 = 0. Segue, do resultado enunciado acima, que aNul(A) = {0
→
} e Im(A) = ℝ3.
Observe que poderíamos ter calculado o determinante de A para chegarmos à 
mesma conclusão.
Veja mais um exemplo do cálculo de espaço anulado e espaço imagem.
9O espaço ℝn: subespaços e geradores
Obtemos, portanto, que os vetores no espaço anulado de A são da forma 
x1
0
0
–x1
, ou 
ainda:
aNul(A) = {x1 | x1 є R}
1
0
0
–1
Para o espaço imagem, temos:
1 1 1 1
0 0 2 0
0 2 1 0
0 0 1 0
x1
x2
x3
x4
= = x1 + x2 + x3 + x4
x1 + x2 + x3 + x4
2x3
2x2 + x3
x3
1
0
0
0
1
0
2
0
1
2
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
2
0
1
2
1
1
= (x1 + x4) + x2 + x3
Assim, o espaço imagem é dado por:
Im(A) = v→ = (x1 + x4) + x2 + x3 ; x1, x2, x3, x4 є R
1
0
0
0
1
0
2
0
1
2
1
1
Sempre que possível, inicie problemas envolvendo o espaço anulado e o espaço 
imagem de uma transformação matricial por meio do cálculo do determinante. Utilizar 
o teorema anterior poderá ajudar a economizar algumas linhas de contas.
Conjuntos geradores Nesta seção, ainda em continuidade ao estudo do 
espaço ℝn, você aprenderá sobre geradores. Você deve ter reparado, no último 
exemplo da seção anterior, que o espaço imagem era essencialmente uma 
combinação de algumas das colunas da matriz A. Isso não ocorre por acaso.
O espaço ℝn: subespaços e geradores10
Seguindo o apresentado em Nicholson (2006), começamos apresentado a 
definição de geradores. Para isso, precisamos introduzir o conceito de com-
binação linear.
Dados os vetores em ℝn, diremos que o vetor:
é uma combinação linear dos vetores com coeficiente a1, 
a2, ..., an. Assim, a imagem da transformação do exemplo anterior era uma 
combinação linear de algumas das colunas daquela matriz.
Dados vetores em ℝn, o conjunto de todas as possíveis combi-
nações lineares desse constitui o conjunto gerado por eles. Mais precisamente:
Veja, a seguir, um primeiro exemplo.
Considere os vetores e1 =
1
0 e 
e2 =
0
1
. Vamos verificar que o conjunto gerado por 
eles é o próprio plano euclidiano. De fato, dado um vetor v
→ =
v1
v2
, podemos escrever:
v→ = = v1 + v2 = v1e1 + v2e2
v1
v2
1
0
0
1
Portanto, o vetor v→ pertence ao ger{e1, e2}. A outra inclusão — de que os vetores 
desse conjunto gerado pertencem ao plano — segue de forma natural. 
Uma importante interpretação dos espaços gerados está associada ao estudo 
de retas no plano euclidiano, no espaço euclidiano e nos espaços de dimensões 
maiores. Temos que, dado um vetor v→ ∈ ℝn, a reta r que passa pela origem e 
tem como vetor direto o vetor v→ é dada por:
11O espaço ℝn: subespaços e geradores
Essa representação fornece uma maneira compacta e inteligente de represen-
tar retas, mesmo em espaços onde a representação gráfica não é mais possível.
Um importante resultado apresentado em Nicholson (2015) relaciona su-
bespaços com conjuntos gerados. Tem-se o seguinte.
Teorema: sejam vetores quaisquer em ℝn, então:
1. ger{ } é um subespaço de ℝn que contém os vetores 
;
2. se um subespaço V contém os vetores , então ger{ } 
⊆ V.
Em outras palavras, o conjunto gerado é sempre um subespaço e, além 
disso, se um subespaço contém determinados vetores, ele também conterá o 
espaço gerado por esses. 
Um corolário natural desse resultado é o de que ger{ } é o menor 
subespaço que contém os vetores . Os vetores são 
chamados de geradores do subespaço ger{ }.
Veja o exemplo a seguir.
Os vetores v1 = , v2 = e v3 =
1
0
1
0
0
1
0
3
0
 formam um conjunto de geradores para o espaço 
euclidiano? Esse tipo de verificação costuma ser feito por meio de duas inclusões. 
A primeira ger{v1, v2, ..., vn } ⊆ ℝ3 é natural, restando a necessidade de verificar 
que ℝ3 ⊆ ger{v1, v2, v3}. Com efeito, dado um vetor v
→ ∈ ℝn, digamos v→ =
v1
v2
v3
, observe 
inicialmente que:
v→ =
v1
v2
v3
= v1 + v2 + v3
1
0
0
0
1
0
0
0
1
O espaço ℝn: subespaços e geradores12
Temos, ainda, que:
e1 = v1 – v2
e2 = v3
e3 = v2
1
3
Segue daí que:
v→ = = v1(v1 – v2) + v2 v3 + v3v2
v1
v2
v3
1
3
v→ = v1v1 + (v3 – v1) v2 + v3 є ger {v1, v2, v3 }
v2
3
De fato, o conjunto apresentado é de geradores para o espaço.
É importante apresentar, ainda, um exemplo em que o conjunto de geradores 
não consegue gerar o espaço que o contém. 
O vetor v1 =
2
0
, sozinho, não pode gerar o plano euclidiano. De fato, se isso fosse 
possível, existiriam números reais a e b, tais que:
av1 + bv1 =
1
1
Mas isso é o mesmo que:
(a + b)v1 =
1
1
(a + b)1
(a + b)0
1
1
=
implicando, portanto, que 0 = 1, o que é um absurdo. Dessa maneira, esse vetor 
sozinho não pode gerartodo o plano euclidiano.
13O espaço ℝn: subespaços e geradores
Em álgebra linear, é essencial praticar a resolução de problemas. Você poderá encontrar 
alguns problemas adicionais no livro de Nicholson (2006, p. 177).
ANTON, H.; BUSBY, R. C. Álgebra linear contemporânea. Porto Alegre: Bookman, 2007.
NICHOLSON, W. K. Álgebra linear. 2. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 2006.
Leitura recomendada
LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M. Álgebra linear. 4. ed. Porto Alegre: Bookman, 2011. (Coleção 
Schaum).
O espaço ℝn: subespaços e geradores14
Dica do professor
Uma maneira elegante de determinar se um conjunto é subespaço consiste em utilizar a relação 
entre subespaços e conjuntos gerados.
Veja como isso acontece na Dica do Professor. 
 
Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar.
 
https://fast.player.liquidplatform.com/pApiv2/embed/cee29914fad5b594d8f5918df1e801fd/1da42330b57eefda7d1bbc8eae7f4c79
Saiba +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor:
Khan Academy
Neste link, veja o site Khan Academy, que fornece excelentes exercícios e problemas com 
resolução.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar.
Biblioteca do professor Reginaldo dos Santos
Neste link, acesse a biblioteca do professor Reginaldo de Jesus, da UFMG, com as suas excelentes 
notas de aula e diversos outros materiais, como o texto "Introdução à álgebra linear" na seção 
livros.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar.
Introdução à álgebra linear
Neste link, assista ao vídeo do curso de Introdução à Álgebra Linear do Instituto de Matemática 
Pura e Aplicada, a fim de se aprofundar no assunto subespaços e geradores.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar.
https://pt.khanacademy.org/math/linear-algebra/matrix-transformations/linear-transformations/a/visualizing-linear-transformations?modal=1
https://regijs.github.io/livros.html
https://www.youtube.com/embed/ziiffc59l_A?list=PLo4jXE-LdDTSE0DFoq4es_iMvjlCeG8pP
Lista de exercícios
Para aprender o espaço vetorial Rn: subespaços e geradores, é importante que você treine fazendo 
diversas atividades. Para tanto, baixe a lista de exercícios a seguir e resolva as questões.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar.
http://publica.sagah.com.br/publicador/objects/attachment/2126298772/SaibaMaissubespacosGeradores.pdf?v=282409981