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Lista de Exerćıcios Transformada Z e
Transformada de Laplace
DAS5113 Sinais e Sistemas Lineares II
Daniel M. Lima
Julio Elias Normey-Rico
2014/2
1. Determinar a transformada Z das funções abaixo usando a definição e
o peŕıodo de amostragem Ts
f1(t) = eat, f2(t) = et−5Ts , fi(t) = 0, t < 0,
confirme os resultados usando a tabela e as propriedades.
2. Calcule a transformada Z de f(t) = at , a > 0. Para o cálculo use a
definição e a seguinte propriedade das derivadas
d(z−k)
dz
= −kz−k−1 = −kz−(k+1),
confirme o resultado com a tabela e as propriedades.
3. Usando a propriedade
Z{tf(t)} = −Tsz
d(F (z))
dz
Calcule as transformadas de:
f1(t) =
at2
2
; f2(t) =
aT 2
s
2
1
Confirme o resultado com
F1(z) =
aT 2
s
2
z(z + 1)
(z − 1)3
, F2(z) =
aTsze
−bTs
(z − e−bTs)2
4. Usando tabelas e propriedades, calcule as transformadas Z das funções
de transferência:
a) G(s) = 1
(s+2)(s+1)2
b) G(s) = s+1
(s+5)2
c) G(s) = 2(s+2)
(s+3)(s+5)
Lembrar que L{te−at} = 1
(s+a)2
(usar o resultado do item anterior).
5. Calcular o valor final das sequências digitais cujas transformadas são:
a) E1(z) = z(z+2)
(z−1)(z2−3z+1)
b) E2(z) = Kz(z+1)
(z−1)(z2−0.5z+0.5)
c) E3(z) = Kz(z−2)
(z−1)(z+0.5)(z+2)(z2−0.5z+0.4)
d) E4(z) = 2(z−0.5)
(z−1)(z−0.75)
6. Determine as funções de transferência C(z)
R(z)
dos sistemas caracterizados
pelas equações à diferença seguintes:
a) c(kTs) = −2c((k − 1)Ts) + c((k − 2)Ts) + r(kTs)− 0.4r((k − 2)Ts)
b) c(kTs) = −0.1c((k − 1)Ts) + 0.15c((k − 2)Ts) + 0.2c((k − 3)Ts) +
k {r(kTs)− 1.5r((k − 2)Ts) + 0.5r((k − 3)Ts)}
7. Obtenha as equações à diferença lineares dos sistemas amostrados des-
critos por:
a) C(z)
R(z)
= z2+3z+2
z3+1.5z2+1.5z+0.5
b) C(z)
R(z)
= z2−0.5
z2+2z−1
8. Seja o sistema descrito na Figura 1
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Figura 1: Exerćıcio 8
• Calcular a transformada Z da sáıda em malha aberta para um
degrau unitário e(kTs). Calcular y(kTs).
• Calcular Y (z) e y(kTs) para uma entrada degrau unitário em yr(t)
(sistema em malha fechada).
• Qual o valor final da sáıda em malha fechada (suponha o sistema
estável)?
• Considerando τ = 1 e Ts = 0.1 estuda a estabilidade do sistema
para variações de g. (aproxime e−0.1 = 0.9).
9. Seja o sistema descrito pela Figura 2
Figura 2: Exerćıcio 9
• Achar a função de transferência em malha fechada.
• Determinar y(kTs) para uma entrada yr(t) degrau unitário.
• Considerando g = 1, τ = 10, Ts = 1 (e−0.1 ∼= 0.9), estude a
estabilidade para variações de K. Calcula a faixa de valores que
mantem a estabilidade.
• Se K = 5, qual é o erro em regime permanente do sistema?
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10. Seja o sistema do item anterior com
G(s) =
g
(τ1s+ 1)(τ2s+ 1)
• Calcule a função de transferência de malha fechada.
• Estude a estabilidade para variações de K, supondo Ts = 0.1,
τ1 = 1, τ2 = 2, g = 1. (e−0.1 ∼= 0.1; e−0.2 ∼= 0.2).
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