III_teorico

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Elementos de 
Máquinas II
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Me. Lincoln Nascimento Ribeiro
Revisão Textual:
Prof.ª Dr.ª Luciene Oliveira da Costa Granadeiro
Eixos
• Introdução;
• Esforços Mecânicos Atuantes em um Eixo;
• Dimensionamento de um Eixo;
• Exemplos de Aplicação.
• Apresentar os tipos de eixos presentes em máquinas e equipamentos, o seu dimensiona-
mento e suas aplicações nos projetos de engenharia.
OBJETIVO DE APRENDIZADO
Eixos
Orientações de estudo
Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem 
aproveitado e haja maior aplicabilidade na sua 
formação acadêmica e atuação profissional, siga 
algumas recomendações básicas: 
Assim:
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
da sua rotina. Por exemplo, você poderá determinar um dia e 
horário fixos como seu “momento do estudo”;
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar; lembre-se de que uma 
alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo;
No material de cada Unidade, há leituras indicadas e, entre elas, artigos científicos, livros, vídeos 
e sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade. Além disso, você tam-
bém encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar, que ampliarão sua 
interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados;
Após o contato com o conteúdo proposto, participe dos debates mediados em fóruns de discus-
são, pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento, além de propiciar o 
contato com seus colegas e tutores, o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e de 
aprendizagem.
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Determine um 
horário fixo 
para estudar.
Aproveite as 
indicações 
de Material 
Complementar.
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar; lembre-se de que uma 
Não se esqueça 
de se alimentar 
e de se manter 
hidratado.
Aproveite as 
Conserve seu 
material e local de 
estudos sempre 
organizados.
Procure manter 
contato com seus 
colegas e tutores 
para trocar ideias! 
Isso amplia a 
aprendizagem.
Seja original! 
Nunca plagie 
trabalhos.
UNIDADE Eixos
Introdução
Para que servem os eixos de máquinas?
Ex
pl
or
O eixo é um elemento de máquina que possui formato cilíndrico e é utilizado 
para suportar outros elementos de máquinas que realizam um movimento de rota-
ção apoiados sobre esse eixo.
Como exemplos de elementos de máquinas que operam apoiados em eixos, é 
possível citar polias, engrenagens, rolamentos, entre outros.
Os eixos podem ser classificados em 2 tipos:
• Eixos fixos: trabalham fixos e, dessa forma, têm como única função suportar 
os outros elementos de máquinas que operam apoiados. Esse tipo de eixo não 
está sujeito a esforços de torção.
• Eixos-árvore: trabalham em movimento de rotação de forma conjunta os ou-
tros elementos de máquinas que operam apoiados sobre eles. Esse tipo de eixo 
está sujeito a esforços de torção. Servem para a transmissão de potência em 
sistemas de transmissão.
Na Figura 1, é possível visualizar um exemplo de eixo-árvore cuja extremidade 
está indicada na figura. Sobre esse eixo, está apoiada uma engrenagem de dentes 
helicoidais. Um motor elétrico está acoplado ao sistema e fornece movimento de 
rotação para o conjunto.
Figura 1 – Exemplo de eixo-árvore
Fonte: Adaptado de Getty Images
Praticamente todas as máquinas rotativas possuem eixos em seus mecanismos. 
Isso explica a importância do estudo sobre os esforços mecânicos presentes em um 
eixo e o seu dimensionamento.
8
9
Esforços Mecânicos Atuantes em um Eixo
Os principais esforços atuantes em um eixo são os esforços de flexão e torção. 
Quando esses 2 tipos de esforços atuam conjuntamente, afirma-se que esse eixo 
está submetido a uma flexo-torção.
A seguir, esses esforços serão devidamente apresentados.
Esforço de torção em um eixo
Entender a relação entre a potência fornecida por uma máquina rotativa, como 
um motor, por exemplo, e o torque fornecido (momento torçor) é de extrema im-
portância para o dimensionamento de eixos.
Na Figura 2, é possível visualizar um motor elétrico que fornece uma potência 
(Nm) para um eixo, causando um Momento Torçor (Mt).
Mt
Ft
vt
R
Eixo
Motor
Nm
Figura 2 – Exemplo de eixo submetido a um esforço de torção
O Momento Torçor (Mt), também conhecido como Torque, atuante em um 
eixo é obtido através do produto (multiplicação) entre a Força Tangencial (Ft) 
aplicada nesse eixo e o raio de rotação (R), conforme ilustrado na Figura 2. Para 
se determinar o valor da intensidade do Momento Torçor (Mt), deve-se utilizar a 
equação 1.
 Mt = Ft × R (Equação 1)
Onde:
Ft → Força Tangencial
R → Raio de Rotação
Mt → Momento Torçor ou Torque
9
UNIDADE Eixos
Unidades de Medida (SI):
[Ft] = N
[R] = m
[Mt] = N ∙ m
Ainda analisando a figura 2, é possível visualizar que o eixo possui uma rotação 
(n) devido à ação do motor elétrico.
A relação entre a potência do motor e o Momento Torçor aplicado ao eixo é 
dada pela equação 2.
2
60
t
m
M nN p× × ×
= (Equação 2)
Onde:
Nm → Potência Mecânica 
Mt → Momento torçor 
n → Número de rotações por minuto
p → 3,1415926...
Unidades de medida:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
m
t
JN W Watts
s
M N m
rotm rpm
min
Adimensionalp
= = =
= ×
= =
=
A tensão atuante e um eixo submetido a esforços de torção é a Tensão de Cisa-
lhamento (τ).
A relação entre a Tensão de Cisalhamento atuante no eixo e o Momento Torçor 
aplicado nesse eixo é obtida através da equação 3.
t
p
M
W
t = (Equação 3)
Onde:
Mt → Momento Torçor ou Torque atuante no eixo
Wp → Módulo de Resistência Polar
τ → Tensão de Cisalhamento Admissível no Projeto
10
11
Unidades de Medida (SI):
[ ]
[ ]
3
2
p
Mt N m
W m
N Pa
m
t
= ×
é ù =ê úë û
= =
Para um eixo de seção circular maciça, o Módulo de Resistência Polar (Wp) pode 
ser determinado através da equação 4.
3
16p
DW p ×
= (Equação 4)
Onde:
Wp → Módulo de Resistência Polar
p → 3,1415926...
D → Diâmetro do Eixo
Unidades de Medida (SI):
[p] = Adimensional
[Wp] = m3
[D] = m
Esforço de flexão em um eixo
Em boa parte dos eixos, existe a aplicação de esforços que causam a flexão des-
ses eixos. Entender a relação entre o esforço aplicado no eixo e o Momento Fletor 
causado nesse eixo é de extrema importância para o seu dimensionamento.
Na figura 2, é possível visualizar um eixo acoplado a um motor elétrico. Na extremi-
dade do eixo, atua uma Força F a uma distância x do apoio do eixo no mancal do motor. 
F
x
R
Eixo
Motor
Figura 3 – Exemplo de eixo submetido a um esforço de Flexão
11
UNIDADE Eixos
O Momento Fletor (Mf) é obtido através do produto (multiplicação) entre a 
Força (F) aplicada no eixo e a distância (x) dessa força em relação ao ponto de 
apoio do eixo, conforme ilustrado na figura 3. Para se determinar o valor da inten-
sidade do Momento Fletor (Mf), deve-se utilizar a equação 5.
Mf = F × x (Equação 5)
Onde:
F → Força atuante no corpo
x → Distância entre o ponto de aplicação da força e o ponto de apoio do eixo
Mf → Momento Fletor
Unidades de Medida (SI):
[F] = N
[x] = m
[Mf] = N ∙ m
A tensão atuante e um eixo submetido a esforços de flexão é a Tensão Normal (σ).
A relação entre a tensão de normal atuante no eixo e o momento fletor aplicado 
nesse eixo é obtida através da equação 6. 
Mf
W
s = (Equação 6)
Onde:
W → Momento fletor atuante na barra
p → Módulo de Resistência
D → Tensão Normal Admissível no Projeto
Unidades de Medida (SI):
[ ]
[ ]
[ ]
3
2
Mf N m
W m
N Pa
m
s
= ×
=
= =
Para um eixo de seção circular maciça, o Módulo de Resistência (W) pode ser 
determinado através da equação 7.
3
32
DW p ×
= (Equação 7)
12
13
Onde:
W → Módulo de Resistência
p → 3,1415926...
D → Diâmetro do Eixo
Unidades de Medida (SI):
[p] = Adimensional
[W] = m3
[D] = m
Dimensionamentode um Eixo
Sabendo-se que os principais esforços atuantes em um Eixo são os esforços de 
Flexão, que geram tensões normais no eixo, e os esforços de Torção, que geram 
tensões de cisalhamento no eixo, deve-se selecionar o material a ser utilizado no 
projeto mecânico desse eixo.
A seleção desse material é realizada com base na tensão de escoamento normal 
(σe) e na tensão escoamento ao cisalhamento (τe) que esse material suporta. 
Quando o fabricante fornece apenas a Tensão de Escoamento Normal (σe) e o 
material for dúctil, a tensão escoamento ao cisalhamento (τe) pode ser estimada 
através da equação 8.
0,6e et s@ × (Equação 8)
Onde:
τe → Tensão de Escoamento ao Cisalhamento
σe → Tensão de Escoamento Normal
Porém, deve-se ainda dividir o valor da tensão de escoamento (Normal ou de 
Cisalhamento) por um Coeficiente de Segurança (Cs) que deve “corrigir” o valor 
dessa tensão, de acordo com a aplicação do eixo. O valor da tensão obtida após 
essa divisão é chamado de Tensão Admissível.
Caso o esforço no eixo seja de torção e o material for dúctil, o valor da Tensão 
de Cisalhamento Admissível no projeto será obtido através da equação 9.
e
sC
t
t = (Equação 9)
13
UNIDADE Eixos
Onde:
τ → Tensão de Cisalhamento Admissível 
τe → Tensão de Escoamento ao Cisalhamento
Cs → Coeficiente de Segurança
Unidades de medida:
[ ]
[ ]
[ ]
2
2e
s
N Pa
m
N Pa
m
C Adimensional
t
t
= =
= =
=
Caso o esforço seja de flexão e o material for dúctil, o valor da Tensão Normal 
Admissível será obtido através da equação 10:
e
sC
s
s = (Equação 10)
Onde:
σ → Tensão Normal Admissível 
σe → Tensão Normal de Escoamento do Material
Cs → Coeficiente de Segurança
Unidades de medida:
[ ]
[ ]
[ ]
2
2e
s
N Pa
m
N Pa
m
C Adimensional
s
s
= =
= =
=
Diâmetro de um eixo submetido à Flexão Pura
Para se determinar o diâmetro mínimo de um eixo submetido à Flexão Pura, va-
mos voltar à equação 6, que relaciona Tensão Normal Admissível e Momento Fletor.
Mf
W
s = (Equação 6)
Substituindo-se o valor do módulo de resistência W (Equação 7) na equação 6, tem-se:
3
82
Mf
D
s
p
=
×
14
15
Isolando-se o diâmetro D nessa equação, o diâmetro mínimo do eixo (D) subme-
tido à Flexão Pura pode ser determinado através da equação 11. 
3
32 MfD
p s
×
=
×
(Equação 11)
Diâmetro de um eixo submetido à Torção Pura
Para se determinar o diâmetro mínimo de um eixo submetido à Flexão Pura, 
vamos voltar à equação 3, que relaciona Tensão de Cisalhamento Admissível e 
Momento Torçor.
t
p
M
W
t = (Equação 3)
Substituindo-se o valor do módulo de resistência polar Wp (Equação 4) na equa-
ção 3, tem-se:
3
16
Mt
D
t
p
=
×
Isolando-se o diâmetro D nessa equação, o diâmetro mínimo do eixo (D) subme-
tido à Torção Pura pode ser determinado através da equação 12.
3
16 MtD
p t
×
=
×
(Equação 12)
Diâmetro de um eixo submetido à Flexo-Torção
Para se determinar o diâmetro mínimo de um eixo submetido à Flexo-Torção, 
um dos métodos mais utilizados é conhecido como Critério de Von Mises. Esse 
critério é bastante utilizado em materiais dúcteis e consiste em se adotar uma rela-
ção entre a Tensão Normal Admissível do Projeto (σ) e o Momento Fletor e Torçor 
atuante no eixo. Essa relação é dada pela equação 13.
22
3Mf Mt
W Wp
s
é ùæ öæ öê ú÷ç÷ç= + × ÷÷ ççê ú÷÷ç ç ÷çè ø è øê úë û
(Equação 13)
Substituindo-se o valor do módulo de resistência polar Wp (Equação 4) e o valor 
do Módulo de Resistência W (Equação 7) na equação 13, tem-se:
2 2
3 33
32 16
Mf Mt
D D
s
p p
é ùæ ö æ öê ú÷ ÷ç ç÷ ÷ç çê ú÷ ÷ç ç÷ ÷ç çê ú÷ ÷= + ×ç ç÷ ÷ê úç ç÷ ÷× ×ç ç÷ ÷ê ú÷ ÷ç ç÷ ÷ç çêè ø è ø úë û
(Equação 14)
15
UNIDADE Eixos
Isolando-se o diâmetro D nessa equação, o diâmetro mínimo do eixo (D) subme-
tido à Flexo-Torção, pode ser determinado através da equação 15. 
2 23
16 4 3D Mf Mt
p s
= × × + ×
×
(Equação 15)
Exemplos de Aplicação
Exemplo 1
O eixo da figura está parado. Porém, está submetido à ação de uma força F = 
2000N, e a distância para x entre a força e o mancal de apoio no motor é igual 
a 600mm, causando um esforço de flexão nesse eixo. Sabendo-se que o material 
disponível para a fabricação desse eixo é o aço ABNT 1045 (σe = 400Mpa), e o 
coeficiente de segurança a ser adotado no projeto é igual a 4, determinar:
a) A Tensão Normal Admissível do Projeto;
b) O Momento Fletor atuante no eixo;
c) O diâmetro mínimo do eixo.
Adotar: p = 3,14
F
x
R
Eixo
Motor
Figura 5
Solução
Item a) A Tensão Normal Admissível do Projeto
A Tensão Normal Admissível no Projeto para materiais dúcteis é dada por:
400
4
e
sC
MPa
2= 100 = 100 NMPa
mm
s
s
s
=
=
s
16
17
Item b) O Momento Fletor atuante no eixo
O Momento Fletor atuante no eixo é dado por:
Mf = F × x
Mf = 2000N × 600mm
Mf = 1200000N ∙ mm
Item c) O diâmetro mínimo do eixo
O diâmetro mínimo do eixo submetido à Flexão Pura é dado por:
3
32 MfD
p s
×
=
×
Substituindo-se pelos valores obtidos no exemplo de aplicação, tem-se:
3
2
32 120000
3,14 100
N mmD N
mm
× ×
=
×
= 49,636D mm
Exemplo 2
O eixo da figura possui uma rotação de 1800rpm. A potência do motor 
que aciona o eixo é igual a 800W, causando um esforço de torção nesse eixo.
Sabendo-se que o material disponível para a fabricação desse eixo é o aço 
ABNT 1045 (σe = 400Mpa), e o coeficiente de segurança a ser adotado no projeto
é igual a 4, determinar:
a) A Tensão de Cisalhamento Admissível do Projeto;
b) O Momento Torçor atuante no eixo;
c) O diâmetro mínimo do eixo.
Adotar: p = 3,14 
Mt
Ft
vt
R
Eixo
Motor
Nm
Figura 6
17
UNIDADE Eixos
Solução
Item a) A Tensão de Cisalhamento Admissível do Projeto
A Tensão de Escoamento ao Cisalhamento é dada por:
0,6
0,6 400
240
e e
e
e
MPa
MPa
t s
t
t
@ ×
@ ×
@
A Tensão de Cisalhamento Admissível no Projeto para materiais dúcteis é dada por:
240
4
e
sC
MPa
2= 60 = 60 NMpa
mm
t
t
t
=
=
t
Item b) O Momento Torçor atuante no eixo
A relação entre o Momento Torçor atuante no eixo e a Potência do Motor é 
dada por:
2
60
t
m
M nN p× × ×
=
Isolando-se o Momento Torçor, tem-se:
60
2
60 800
2 3,14 1800
m
t
t
N M
n
W M
rpm
4,24628 = tN m M
p
×
=
× ×
×
=
× ×
×
Multiplicando-se por 1000, tem-se:
4246,28 N ∙ mm = Mt
Item c) O diâmetro mínimo do eixo
O diâmetro mínimo do eixo submetido à torção pura é dado por:
3
16 MtD
p t
×
×
18
19
Substituindo-se pelos valores obtidos no exemplo de aplicação, tem-se:
3
2
16 4246,28
3,14 60
N mmD N
mm
× ×
×
= 7,118D mm
Exemplo 3
O eixo da figura possui uma rotação de 2200rpm. A potência do motor que 
aciona o eixo é igual a 1200W, causando um esforço de torção nesse eixo. Esse 
eixo também está submetido à ação de uma força F = 4000N, e a distância para 
x entre a força e o mancal de apoio no motor é igual a 500mm, causando um 
esforço de flexão nesse eixo. Sabendo-se que o material disponível para a fabrica-
ção desse eixo é o aço ABNT 1045 (σe = 400Mpa), e o coeficiente de segurança 
a ser adotado no projeto é igual a 5, determinar:
a) A Tensão Normal Admissível do Projeto;
b) O Momento Fletor atuante no eixo;
c) A Tensão de Cisalhamento Admissível do Projeto;
d) O Momento Torçor atuante no eixo;
e) O diâmetro mínimo do eixo.
Adotar: p = 3,14
Mt
Nm
F
x
R
Eixo
Motor
Figura 7
19
UNIDADE Eixos
Solução
Item a) A Tensão Normal Admissível do Projeto
A Tensão Normal Admissível no Projeto para materiais dúcteis é dada por:
400
5
e
sC
MPa
2= 80 = 80 NMpa
mm
s
s
s
=
=
s
Item b) O Momento Fletor atuante no eixo
O Momento Fletor atuante no eixo é dado por:
Mf = F × x
Mf = 4000N × 500mm
Mf = 2000000N ∙ mm
Item c) A Tensão de Cisalhamento Admissível do Projeto
A Tensão de Escoamento ao Cisalhamento é dada por:
0,6
0,6 400
240
e e
e
e
MPa
MPa
t s
t
t
@ ×
@ ×
@
A Tensão de Cisalhamento Admissível no Projeto para materiais dúcteis é dada por:
240
5
e
sC
MPa
2= 48 = 48 NMpa
mm
t
t
t
=
=
t
Item d) O Momento Torçor atuante no eixo
A relação entre o Momento Torçor atuante no eixo e a Potência do Motoré 
dada por:
2
60
t
m
M nN p× × ×
=
20
21
Isolando-se o Momento Torçor, tem-se:
60
2
60 1200
2 3,14 2200
m
t
t
N M
n
W M
rpm
p
×
=
× ×
×
=
× ×
×5,211349 = tN m M
Multiplicando-se por 1000, tem-se:
5211,349 N ∙ mm = Mt
Item e) O diâmetro mínimo do eixo
O diâmetro mínimo do eixo submetido à Flexo-Torção é dado por:
2 23
16 4 3f tD M M
p s
= × × + ×
×
Substituindo-se pelos valores obtidos no exemplo de aplicação, tem-se:
( ) ( )2 2
3
2
16 4 2000000 3 5211,349
3,14 80
D N mm N mmN
mm
= × × × + × ×
×
= 63,3948D mm
21
UNIDADE Eixos
Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Livros
Após entrar em sua “Área do aluno”, no menu à esquerda da tela, clique em “Serviços”, 
depois em “Biblioteca” e, no centro da tela, clique em “E-books – Minha Biblioteca”. 
No topo da tela que abrirá, haverá um campo de busca para autor, título, assunto etc. 
Nesse espaço, digite o nome da obra e clique na capa que aparecerá como resultado.
Elementos de Máquinas
Leia o capítulo 12 (pp. 244-263) da obra de Sarkis Melconiam, intitulada “Elementos 
de Máquinas”.
Elementos de Máquinas de Shigley
Leia o capítulo 7 da parte 3 (p 345-393) da obra de Richard G. Budynas e J. Keith 
Nisbett, intitulada “Elementos de Máquinas de Shigley”.
 Vídeos
Elementos de Máquinas – 27 Eixos e árvores
Vídeo bem interessante que trata de eixos-árvore de máquinas.
https://youtu.be/JYAHuNF_LJs
Resistência dos Materiais – Aula 05 – Torção em eixos circulares
Vídeo bem interessante que trata da torção em eixos circulares.
https://youtu.be/UlXQhZMvetg
22
23
Referências
BUDYNAS, R. G.; NISBETT, J. K. Elementos de Máquinas de Sigley. 10. ed. 
Porto Alegre: AMGH, 2016.
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson Prentice 
Hall, 2010.
MELCONIAN, S. Elementos de Máquinas. 10. ed. São Paulo: Érica, 2013.
_________. Mecânica técnica e resistência dos materiais. 19. ed. São Paulo: 
Érica, 2013.
PEREIRA, C. P. M. Mecânica dos materiais avançada. Rio de Janeiro: 
Interciência, 2014.
23