matematica P

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**Resposta:** a) \(\frac{\pi}{2}\) 
 **Explicação:** Esta integral corresponde à integral da função \(\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\), 
que é \(\arcsin x\). Avaliada de 0 a 1, dá \(\frac{\pi}{2}\). 
 
29. **Questão:** Qual é o valor da integral \(\int_0^\infty e^{-2x} \, dx\)? 
 a) \(\frac{1}{2}\) 
 b) 1 
 c) \(\frac{1}{4}\) 
 d) \(\frac{1}{8}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{2}\) 
 **Explicação:** A integral é \(\int_0^\infty e^{-2x} \, dx = \frac{1}{2}\). 
 
30. **Questão:** Determine o valor da série \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}\). 
 a) 1 
 b) \(\frac{1}{2}\) 
 c) \(\frac{3}{4}\) 
 d) \(\frac{2}{3}\) 
 **Resposta:** a) 1 
 **Explicação:** A série é telescópica e pode ser simplificada para \(\sum_{n=1}^\infty 
\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = 1\). 
 
31. **Questão:** Qual é a derivada de \(e^{3x}\)? 
 a) \(3 e^{3x}\) 
 b) \(e^{3x}\) 
 c) \(3 e^x\) 
 d) \(3 e^{x}\) 
 **Resposta:** a) \(3 e^{3x}\) 
 **Explicação:** A derivada de \(e^{3x}\) é \(3 e^{3x}\) devido à regra da cadeia. 
 
32. **Questão:** Determine o valor de \(\int_{0}^\pi \sin^2 x \, dx\). 
 a) \(\frac{\pi}{2}\) 
 b) \(\frac{\pi}{4}\) 
 c) \(\frac{\pi}{3}\) 
 d) \(\frac{\pi}{6}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{\pi}{2}\) 
 **Explicação:** Utilizando a identidade \(\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}\), a integral é 
\(\int_{0}^\pi \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{\pi}{2}\). 
 
33. **Questão:** Qual é o valor da integral \(\int_0^2 (x^2 - 3x + 2) \, dx\)? 
 a) -2 
 b) -4 
 c) 2 
 d) 4 
 **Resposta:** a) -2 
 **Explicação:** \(\int_0^2 (x^2 - 3x + 2) \, dx = \left[\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 
2x\right]_0^2 = -2\). 
 
34. **Questão:** Qual é a solução para a equação diferencial \(y' + 3y = e^{-2x}\)? 
 a) \(y = C e^{-3x} - \frac{1}{5} e^{-2x}\) 
 b) \(y = C e^{-3x} + \frac{1}{5} e^{-2x}\) 
 c) \(y = C e^{3x} - \frac{1}{5} e^{-2x}\) 
 d) \(y = C e^{3x} + \frac{1}{5} e^{-2x}\) 
 **Resposta:** b) \(y = C e^{-3x} + \frac{1}{5} e^{-2x}\) 
 **Explicação:** Utilizando o método do fator integrante, a solução é \(y = C e^{-3x} + 
\frac{1}{5} e^{-2x}\). 
 
35. **Questão:** Qual é a derivada de \(\ln(x^2 + 1)\)? 
 a) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\) 
 b) \(\frac{x}{x^2 + 1}\) 
 c) \(\frac{1}{x^2 + 1}\) 
 d) \(\frac{2x}{x^2 + 2}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\) 
 **Explicação:** \(\frac{d}{dx}[\ln(x^2 + 1)] = \frac{2x}{x^2 + 1}\) usando a regra da cadeia. 
 
36. **Questão:** Qual é a integral \(\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx\)? 
 a) 2 
 b) 1 
 c) \(\frac{1}{2}\) 
 d) \(\frac{2}{3}\) 
 **Resposta:** a) 2 
 **Explicação:** \(\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = \left[2 \sqrt{x}\right]_0^1 = 2\). 
 
37. **Questão:** Determine o valor de \(\int_0^\infty x e^{-x^2} \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{2}\) 
 b) 1 
 c) \(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\) 
 d) \(\sqrt{\pi}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{2}\) 
 **Explicação:** Utilizando a substituição \(u = x^2\), a integral é \(\int_0^\infty \frac{1}{2} 
e^{-u} \, du = \frac{1}{2}\). 
 
38. **Questão:** Qual é a transformada de Laplace de \(\cosh(at)\)? 
 a) \(\frac{s}{s^2 - a^2}\) 
 b) \(\frac{s}{s^2 + a^2}\) 
 c) \(\frac{s - a}{s^2 - a^2}\) 
 d) \(\frac{s - a}{s^2 + a^2}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{s}{s^2 - a^2}\) 
 **Explicação:** A transformada de Laplace de \(\cosh(at)\) é \(\frac{s}{s^2 - a^2}\). 
 
39. **Questão:** Qual é a solução geral da equação \(y'' - y = 0\)? 
 a) \(y = C_1 e^x + C_2 e^{-x}\) 
 b) \(y = C_1 \cosh(x) + C_2 \sinh(x)\) 
 c) \(y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}\) 
 d) \(y = C_1 e^x + C_2 \cos(x)\) 
 **Resposta:** a) \(y = C_1 e^x + C_2 e^{-x}\)