calculo 1 Y

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6 \cdot 11}{6} = 55 \). Portanto, \( 385 - 55 = 330 \).* 
 
40. **Qual é a solução para a equação \( 2x^2 - 3x - 5 = 0 \)?** 
 a) \( \frac{5}{2} \) e \( -1 \) 
 b) \( 2 \) e \( -\frac{5}{2} \) 
 c) \( 1 \) e \( -\frac{5}{2} \) 
 d) \( \frac{5}{2} \) e \( \frac{-1}{2} \) 
 **Resposta: d) \( \frac{5}{2} \) e \( \frac{-1}{2} \)** 
 *Explicação: Usando a fórmula quadrática \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), 
obtemos as soluções \( x = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{5}{2} \) e \( \frac{-1}{2} \).* 
Claro! Vamos começar com um conjunto de questões de matemática para níveis superiores, 
cobrindo cálculo e análise numérica. Cada problema será seguido por quatro opções de 
resposta, a resposta correta e uma explicação. Vamos lá: 
 
**1.** Qual é a integral definida de \( \int_{0}^{1} (3x^2 - 2x + 1) \, dx \)? 
- a) \( \frac{1}{3} \) 
- b) \( 1 \) 
- c) \( \frac{4}{3} \) 
- d) \( \frac{5}{3} \) 
 
**Resposta:** d) \( \frac{5}{3} \) 
**Explicação:** A integral de \( 3x^2 - 2x + 1 \) é \( x^3 - x^2 + x \). Avaliando de 0 a 1, 
obtemos \( (1 - 1 + 1) - (0) = 1 \). Portanto, a resposta é \( \frac{5}{3} \). 
 
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**2.** Qual é a solução para a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = y - x \) com condição 
inicial \( y(0) = 1 \)? 
- a) \( y = e^x + x \) 
- b) \( y = e^x - x \) 
- c) \( y = e^{-x} + x \) 
- d) \( y = e^{-x} - x \) 
 
**Resposta:** a) \( y = e^x + x \) 
**Explicação:** A solução da equação diferencial é dada pela solução homogênea \( e^x \) 
mais a solução particular \( x \). Aplicando a condição inicial, obtemos \( y = e^x + x \). 
 
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**3.** Qual é a solução para o sistema de equações lineares dado por \( A \mathbf{x} = 
\mathbf{b} \), onde \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \) e \( \mathbf{b} = 
\begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix} \)? 
- a) \( \mathbf{x} = \begin{pmatrix} -4 \\ 4.5 \end{pmatrix} \) 
- b) \( \mathbf{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \end{pmatrix} \) 
- c) \( \mathbf{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \) 
- d) \( \mathbf{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \) 
 
**Resposta:** d) \( \mathbf{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \) 
**Explicação:** Resolvendo o sistema usando a inversa de \( A \), obtemos \( \mathbf{x} = A^{-
1} \mathbf{b} \). A inversa de \( A \) é \( \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 
\end{pmatrix} \), resultando em \( \mathbf{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \). 
 
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**4.** Qual é a série de Taylor de ordem 2 para \( \sin(x) \) em torno de \( x = 0 \)? 
- a) \( x - \frac{x^3}{6} \) 
- b) \( x - \frac{x^2}{2} \) 
- c) \( x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} \) 
- d) \( x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} \) 
 
**Resposta:** b) \( x - \frac{x^3}{6} \) 
**Explicação:** A série de Taylor de ordem 2 para \( \sin(x) \) em torno de \( x = 0 \) é \( x - 
\frac{x^3}{6} \). O termo \( \frac{x^2}{2} \) não aparece porque \( \sin(x) \) não possui termos 
de \( x^2 \) em sua expansão. 
 
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**5.** Qual é a raiz quadrada de \( 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} \)? 
- a) \( \sqrt{2} \) 
- b) \( \sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{2}}} \) 
- c) \( \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}} \) 
- d) \( \frac{1 + \sqrt{2}}{2} \) 
 
**Resposta:** a) \( \sqrt{2} \) 
**Explicação:** Simplificando a expressão, \( 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}} 
\). A raiz quadrada desta expressão é \( \sqrt{2} \). 
 
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**6.** Determine a integral \( \int_{0}^{\pi} \sin^2(x) \, dx \). 
- a) \( \frac{\pi}{2} \) 
- b) \( \frac{\pi}{4} \) 
- c) \( \frac{\pi}{8} \) 
- d) \( \pi \) 
 
**Resposta:** a) \( \frac{\pi}{2} \) 
**Explicação:** Utilizando a identidade \( \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \), a integral se 
torna \( \int_{0}^{\pi} \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx \). A integral de \( \frac{1}{2} \) sobre \( [0, \pi] 
\) é \( \frac{\pi}{2} \). 
 
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**7.** Qual é o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^2} \)? 
- a) \( \infty \) 
- b) \( 0 \) 
- c) \( 1 \) 
- d) \( e \)