aulas do desafio O

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72. **Problema**: Determine a matriz inversa de \(\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 7 
\end{pmatrix}\). 
 **Resposta**: \(\begin{pmatrix} -7 & 3 \\ 5 & -2 \end{pmatrix}\) 
 **Explicação**: Calculando a matriz inversa usando a fórmula padrão. 
 
73. **Problema**: Resolva a integral \(\int_{0}^{\pi} \cos^2(x) \, dx\). 
 **Resposta**: \(\frac{\pi}{2}\) 
 **Explicação**: Usando a identidade trigonométrica, a integral resulta em \(\frac{\pi}{2}\). 
 
74. **Problema**: Calcule a transformada de Laplace de \(t e^{2t}\). 
 **Resposta**: \(\frac{s}{(s - 2)^3}\) 
 **Explicação**: Usando a fórmula para a transformada de Laplace, obtemos o resultado 
fornecido. 
 
75. **Problema**: Determine a soma da série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n + 1)}\). 
 **Resposta**: 1 
 **Explicação**: A série telescópica resulta em 1. 
 
76. **Problema**: Resolva a equação \(x^2 + 2x + 1 = 0\). 
 **Resposta**: \(x = -1\) 
 **Explicação**: A equação é um quadrado perfeito, \((x + 1)^2 = 0\). 
 
77. **Problema**: Calcule a integral \(\int_{0}^{\pi} x \cos(x) \, dx\). 
 **Resposta**: \(\pi\) 
 **Explicação**: Usando integração por partes, a integral resulta em \(\pi\). 
 
78. **Problema**: Encontre o valor da integral \(\int_{0}^{1} x e^x \, dx\). 
 **Resposta**: \(e - 2\) 
 **Explicação**: Usando integração por partes, obtemos \(e - 2\). 
 
79. **Problema**: Resolva a equação diferencial \(\frac{d^2y}{dx^2} - y = 0\). 
 **Resposta**: \(y = C_1 e^x + C_2 e^{-x}\) 
 **Explicação**: As raízes da equação característica são \(\pm 1\). 
 
80. **Problema**: Calcule a integral \(\int_{0}^{\pi/4} \sin(x) \cos(x) \, dx\). 
 **Resposta**: \(\frac{1}{4}\) 
 **Explicação**: Usando a identidade trigonométrica \(\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)\), obtemos 
\(\frac{1}{4}\). 
Claro! Vou criar 100 problemas de matemática para você, focando em cálculo e análise 
numérica, com respostas e explicações. Vou fazer isso de forma contínua e garantir que todas 
as questões sejam únicas e aleatórias. Vamos começar! 
 
**Problema 1:** Determine a integral indefinida ∫(3x^2 - 2x + 1) dx. 
**Resposta:** x^3 - x^2 + x + C. 
**Explicação:** A integral de um polinômio é obtida integrando cada termo separadamente. 
Para 3x^2, a integral é x^3; para -2x, a integral é -x^2; e para 1, a integral é x. 
 
**Problema 2:** Resolva a equação diferencial dy/dx = x^2 - y^2. 
**Resposta:** A solução geral é implícita e pode ser complexa. Usualmente requer métodos 
específicos de solução de equações diferenciais. 
**Explicação:** Esta é uma equação diferencial não linear e pode ser resolvida por métodos 
especiais ou numéricos dependendo das condições iniciais. 
 
**Problema 3:** Encontre os pontos críticos da função f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x. 
**Resposta:** Pontos críticos são x = 1 e x = 3. 
**Explicação:** Derivada f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 0; fatorando dá (x - 1)(x - 3) = 0. 
 
**Problema 4:** Calcule a série de Taylor de e^x em torno de x = 0 até o termo x^4. 
**Resposta:** 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4!. 
**Explicação:** A série de Taylor para e^x é dada por Σ (x^n / n!) para n=0 até infinito. 
 
**Problema 5:** Encontre o valor de ∫(x^3 - 4x) dx no intervalo [1,2]. 
**Resposta:** 13/4. 
**Explicação:** Integral definida: [x^4/4 - 2x^2] de 1 a 2. Calculando, obtemos 13/4.