aulas com questões BR

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- **Explicação:** Usando substituição \( e^x = t \), a equação se transforma em \( t^2 - 5t + 6 
= 0 \). Fatorando, obtemos \( (t - 2)(t - 3) = 0 \). Assim, \( t = 2 \) e \( t = 3 \), logo, \( e^x = 2 \) e 
\( e^x = 3 \). 
 
17. Qual é a solução da equação \( \sin 2x = \cos x \)? 
 - a) \( x = \frac{\pi}{12} \) 
 - b) \( x = \frac{\pi}{6} \) 
 - c) \( x = \frac{\pi}{4} \) 
 - d) \( x = \frac{\pi}{3} \) 
 - **Resposta:** a) \( x = \frac{\pi}{12} \) 
 - **Explicação:** Usando a identidade \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \), a equação se transforma 
em \( 2 \sin x \cos x = \cos x \). Dividindo ambos os lados por \( \cos x \) (exceto onde \( \cos x 
= 0 \)), obtemos \( 2 \sin x = 1 \), ou \( \sin x = \frac{1}{2} \). Portanto, \( x = \frac{\pi}{6} \) e 
outros valores no intervalo, verificando a identidade completa. 
 
18. Encontre a solução da equação \( x^3 - 3x + 2 = 0 \). 
 - a) \( x = 1 \) e \( x = -2 \) 
 - b) \( x = 2 \) e \( x = -1 \) 
 - c) \( x = 1 \) e \( x = 2 \) 
 - d) \( x = 0 \) e \( x = 2 \) 
 - **Resposta:** a) \( x = 1 \) e \( x = -2 \) 
 - **Explicação:** Testando \( x = 1 \) e \( x = -2 \), obtemos \( 1^3 - 3 \cdot 1 + 2 = 0 \) e \( (-
2)^3 - 3(-2) + 2 = -8 + 6 + 2 = 0 \). Portanto, \( x = 1 \) e \( x = -2 \) são raízes. 
 
19. Qual é a integral definida \( \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x^2} \, dx \)? 
 - a) \( \frac{\pi}{4} \) 
 - b) \( \frac{\pi}{2} \) 
 - c) \( \frac{1}{2} \) 
 - d) \( \frac{1}{4} \) 
 - **Resposta:** a) \( \frac{\pi}{4} \) 
 - **Explicação:** A integral \( \int \frac{1}{1 + x^2} \, dx \) é \( \arctan x + C \). Avaliando de 
\( 0 \) a \( 
 
 1 \), obtemos \( \arctan(1) - \arctan(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4} \). 
 
20. Qual é a solução da equação \( \log_{10} (x^2 + x) = 1 \)? 
 - a) \( x = 9 \) 
 - b) \( x = 8 \) 
 - c) \( x = 10 \) 
 - d) \( x = 11 \) 
 - **Resposta:** a) \( x = 9 \) 
 - **Explicação:** Reescrevendo a equação como \( x^2 + x = 10 \), temos \( x^2 + x - 10 = 0 
\). Fatorando, obtemos \( (x - 2)(x + 5) = 0 \), resultando em \( x = 2 \) e \( x = -5 \). Somente \( x 
= 9 \) satisfaz \( \log_{10} (x^2 + x) = 1 \) quando substituído corretamente. 
 
21. Encontre a integral indefinida \( \int e^{2x} \sin(3x) \, dx \). 
 - a) \( \frac{e^{2x}(2 \sin 3x - 3 \cos 3x)}{13} + C \) 
 - b) \( \frac{e^{2x}(2 \cos 3x - 3 \sin 3x)}{13} + C \) 
 - c) \( \frac{e^{2x}(3 \cos 3x - 2 \sin 3x)}{13} + C \) 
 - d) \( \frac{e^{2x}(3 \sin 3x - 2 \cos 3x)}{13} + C \) 
 - **Resposta:** a) \( \frac{e^{2x}(2 \sin 3x - 3 \cos 3x)}{13} + C \) 
 - **Explicação:** Usando o método de integração por partes duas vezes, obtemos \( \int 
e^{2x} \sin(3x) \, dx = \frac{e^{2x}(2 \sin 3x - 3 \cos 3x)}{13} + C \). 
 
22. Determine a solução da equação \( \cos^2 x - \sin^2 x = \frac{1}{2} \). 
 - a) \( x = \frac{\pi}{6} \) ou \( x = \frac{5\pi}{6} \) 
 - b) \( x = \frac{\pi}{4} \) ou \( x = \frac{3\pi}{4} \) 
 - c) \( x = \frac{\pi}{3} \) ou \( x = \frac{2\pi}{3} \) 
 - d) \( x = \frac{\pi}{2} \) ou \( x = \frac{3\pi}{2} \) 
 - **Resposta:** b) \( x = \frac{\pi}{4} \) ou \( x = \frac{3\pi}{4} \) 
 - **Explicação:** Usando a identidade \( \cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x \), a equação se torna 
\( \cos 2x = \frac{1}{2} \). Portanto, \( 2x = \frac{\pi}{3} \) ou \( 2x = \frac{5\pi}{3} \), resultando 
em \( x = \frac{\pi}{6} \) ou \( x = \frac{5\pi}{6} \). 
 
23. Resolva a equação \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1 \). 
 - a) \( x = y = 2 \) 
 - b) \( x = y = 1 \) 
 - c) \( x = 2 \) e \( y = 3 \) 
 - d) \( x = 3 \) e \( y = 2 \) 
 - **Resposta:** a) \( x = y = 2 \) 
 - **Explicação:** Multiplicando ambos os lados por \( xy \), obtemos \( x + y = xy \). 
Testando \( x = y = 2 \), obtemos \( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \), o que confirma que \( x = y = 
2 \) é a solução. 
 
24. Encontre a integral definida \( \int_{0}^{\pi} \sin x \, dx \). 
 - a) \( 0 \) 
 - b) \( 1 \) 
 - c) \( 2 \) 
 - d) \( -1 \) 
 - **Resposta:** a) \( 0 \) 
 - **Explicação:** A integral de \( \sin x \) é \( -\cos x \). Avaliando de \( 0 \) a \( \pi \), temos 
\( -\cos(\pi) - (-\cos(0)) = -(-1) - (-1) = 2 - 2 = 0 \). 
 
25. Qual é a solução da equação \( \log_{2} (x^2 - 2x) = 3 \)? 
 - a) \( x = 4 \) 
 - b) \( x = 8 \) 
 - c) \( x = 10 \) 
 - d) \( x = 12 \) 
 - **Resposta:** a) \( x = 4 \) 
 - **Explicação:** Reescrevendo a equação como \( x^2 - 2x = 2^3 = 8 \), obtemos \( x^2 - 2x 
- 8 = 0 \). Fatorando, obtemos \( (x - 4)(x + 2) = 0 \), resultando em \( x = 4 \) (a solução 
negativa não é válida para a logaritmo). 
 
26. Qual é a integral indefinida \( \int \frac{1}{x^3} \, dx \)? 
 - a) \( -\frac{1}{2x^2} + C \) 
 - b) \( -\frac{1}{x^2} + C \) 
 - c) \( \frac{1}{2x^2} + C \) 
 - d) \( \frac{1}{x^2} + C \) 
 - **Resposta:** b) \( -\frac{1}{2x^2} + C \) 
 - **Explicação:** A integral \( \int x^{-3} \, dx \) é \( -\frac{1}{2x^2} + C \) quando resolvida.