Livro Texto - Unidade II

Prévia do material em texto

38
Unidade II
Unidade II
1 FRAÇÕES
Frações são pares ordenados de números naturais, com o segundo elemento diferente de 0.
Exemplo:
Qual a fração que representa a parte sombreada?
Se dividirmos um retângulo em cinco 
partes e pintarmos duas destas partes, 
teremos, então:
 2 partes pintadas de um total de 5.
Portanto, será a fração 2
5
Figura 3
As frações são formadas por duas partes bem caracterizadas:
a numerador
b denominador
De acordo com a relação entre os valores do numerador e do denominador, uma fração pode ser 
classificada como:
I – Fração Própria: numerador < denominador
II – Fração Imprópria: numerador > denominador
III – Fração Aparente: numerador é múltiplo do denominador
Exemplos:
a) 2/5: trata-se de uma fração própria, pois o numerador (2) é menor que o denominador (5).
b) 3/2: trata-se de uma fração imprópria, pois o numerador (3) é maior que o denominador (2).
c) 8/2: trata-se de uma fração aparente, pois o numerador (8) é múltiplo do denominador (2). No 
caso, as frações aparentes podem dar origem a um número inteiro. No exemplo: 8/2 = 4.
39
MATEMÁTICA APLICADA
Além dessa classificação, ainda podemos considerar outros dois grupos característicos de frações: 
Equivalentes e Decimais.
Frações Equivalentes são aquelas que representam a mesma parcela do todo.
Exemplo: 1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8 = 5/10.
Frações Decimais são aquelas cujo denominador é um múltiplo de dez. Elas podem ser convertidas em 
valores decimais, sendo interessantes na resolução de equações em que frações e decimais estejam presentes.
Exemplos:
a) 
2
10
 = 0,2
b) 
6
100
 = 0,06
c) 
3
1000
 = 0,003
 Lembrete
As frações são lidas de forma diferente de acordo com a classificação. Vejamos.
Frações Próprias e Impróprias, em que o denominador é menor que dez, 
por exemplo, 2/5 lê-se como dois quintos.
Frações Próprias e Impróprias, em que o denominador é maior que dez, 
por exemplo, 1/20 lê-se como um vinte avos.
Frações Decimais, por exemplo, 1/10 ou 2/100 leem-se respectivamente 
como um décimo e dois centésimos. Obs.: 1/1000 seria um milésimo.
1.1 Propriedade fundamental das frações
I – Multiplicar o numerador e denominador por um mesmo número não provoca alteração em seu 
valor final:
Exemplo:
3
4
3
4
6
8
3
4
 
 x 2
 x 2
 = = → 
3
4
3
4
6
8
3
4
 
 x 2
 x 2
 = = →
40
Unidade II
Mediante essa propriedade, pode-se inverter o sinal de qualquer um dos dois termos da fração 
algébrica ao se multiplicá-la por -1.
Dessa forma,
3
4
3
4
3
4
x (-1)
 = -�
�
ou
3
4
3
4
3
4x (-1)
 
-
 = -=
II – Podemos escrever frações de denominador 1 ou numerador 0:
3 = 
3
1 
0 = 
0
5
1.2 Classe de equivalência de números racionais
Trata-se do conjunto de frações equivalentes a uma fração dada. Cada classe de equivalência é 
chamada de número racional.
Por exemplo, a classe de equivalência para a fração 1/3 será:
1
3
2
6
3
9
4
12
5
15
6
18
, , , , , , ... 
1.3 Redução de frações a um mesmo denominador
Um grupo de frações com denominadores diferentes pode ser transformado em frações de mesmo 
denominador por meio do cálculo do denominador comum por mínimo múltiplo comum (m.m.c.).
Exemplo de Aplicação
Encontre o denominador comum para as frações 2/5, 3/8 e 4/9.
a) 120.
b) 320.
c) 460.
41
MATEMÁTICA APLICADA
d) 360.
e) 720.
Resolução:
Devemos encontrar o m.m.c entre 5, 8 e 9.
5, 8, 9
5, 4, 9
5, 2, 9
5, 1, 9
5, 1, 3
5, 1, 1
2
2
2
3
3
5
1, 1, 1 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5 = 360
Portanto, o denominador comum às três frações será 360. Para encontrar as frações de mesmo 
denominador, devemos dividir o m.m.c pelo denominador e multiplicar o resultado pelo numerador. 
Assim, as frações reduzidas a mesmo denominador ficarão:
• para a fração 
2
5
360 : 5 = 72
72 x 2 = 144
Portanto, 2
5
144
360
 = .
• para a fração 3
8
360 : 8 = 45
45 x 3= 135
Portanto, 2
5
135
360
= .
• para a fração 
4
9
360 : 9 = 40
40 x 4 = 160
42
Unidade II
Portanto, 4
9
160
360
4
9
2
5
135
360
 = = .
Resposta: 
144
360
135
360
160
360
, ,
1.45.4 Comparação entre frações (números racionais)
Para comparar de maneira eficiente duas frações, é necessário que estas contenham o mesmo 
denominador. Assim, a maior fração ou número racional será aquela com maior numerador.
Exemplo de Aplicação
Colocar em ordem decrescente as frações 6/12, 10/12 e 9/12.
Estando as três com o mesmo denominador (12), é possível ordená-las apenas pelo numerador. 
Assim, 6
12
10
12
9
12
10
12
9
12
6
12
, > > , → 6
12
10
12
9
12
10
12
9
12
6
12
, > > , → .
No caso de frações com denominadores diferentes, devem ser reduzidas ao menor denominador 
comum (m.m.c).
2. Colocar em ordem crescente as frações 3/4 e 7/10.
Por apresentarem denominadores diferentes, deve-se, inicialmente, encontrar o m.m.c e transformar 
as duas frações a um mesmo denominador.
4, 10
2, 5
1, 5
2
2
5
1, 1 2 x 2 x 5 = 20
Portanto,
3
4
15
20
 = 
7
10
14
20
 = 
Sendo 15 > 14, a ordem correta será: 7/10 < 3/4.
43
MATEMÁTICA APLICADA
1.5 Adição e subtração de frações (números racionais)
Valem as seguintes propriedades aritméticas:
Frações com mesmo denominador: mantém-se o denominador e somam-se ou subtraem-se os numeradores.
Exemplo:
5
8
2
8
5
8
7
8
 + 
 + 2
 = =
Frações com denominadores diferentes: deve-se reduzir ao fator comum (m.m.c) antes da 
realização do cálculo.
Exemplo:
1
2
2
5
5
10
4
10
5 4
10
1
10
 - - = 
 - 
 = =
1.6 Multiplicação de frações (números racionais)
O produto de duas frações é uma fração em que o numerador é o produto dos numeradores, e o 
denominador é o produto dos denominadores.
Exemplo:
1
2
3
5
1
2
3
10
 x = 
 x 3
 x 5
 = 
1.7 Divisão de frações (números racionais)
Para efetuar a divisão entre frações, pode-se usar a técnica dos números inversos, em que uma 
inversão entre denominador e numerador em uma das frações transforma a divisão em multiplicação.
Exemplo:
3
4
7
10 4
10
7
30
28
15
14
 = 
3
 x = = ÷
1.8 Potenciação de frações (números racionais)
Para efetuar cálculo envolvendo potenciação de números racionais, especialmente quando frações 
estiverem presentes, devem ser aplicadas as seguintes regras:
44
Unidade II
I – Para elevar uma fração à potência, devem-se elevar o numerador e o denominador a essa potência:
Exemplo:
2
3 3
8
273
�
�
�
�
�
�
3 3
 = 
2
 = 
II – Potência de expoente 1 é igual à própria base:
Exemplo:
2
3 3
2
31
�
�
�
�
�
�
1 1
 = 
2
 = 
III – Potência de expoente 0 é igual a 1:
Exemplo:
2
3 3
1
1
0 0
0
�
�
�
�
�
� = 
2
 = = 1
1.9 Radiciação de frações (números racionais)
Para extrair a raiz de uma fração, deve-se extrair a raiz do numerador e do denominador.
Exemplo:
4
9
4
9
2
3
 = = 
 Lembrete
Existe relação direta entre potência e raiz, e esse recurso pode ser 
utilizado para simplificar expressões. Assim, o inverso da potência de 
expoente 1/2 será a raiz quadrada, assim como o inverso da potência de 
expoente 1/3 será a raiz cúbica. Ex: 5
4
5
4
5
4
5
2
1
2�
�
�
�
�
� = = = 
45
MATEMÁTICA APLICADA
Você já deve ter percebido a relevância dessa matéria, uma vez que os cálculos aqui treinados fazem 
parte da rotina clínica, analítica e do planejamento em geral dentro de nossa área de atuação. Vamos agora 
nos aprofundar mais nas equações matemáticas e cálculos de diluição, proporção e fracionamento, tão 
comuns no ambiente laboratorial e hospitalar.
2 FUNÇÕES MATEMÁTICAS
Equações são expressões matemáticas que buscam encontrar um valor desconhecido, tendo por 
base algumas informações.
Exemplo:
Um automóvel custa R$20.000,00. Parte do pagamento foi efetuada com uma entrada de 
R$15.000,00, e o restante, em 10 parcelas iguais. Qual o valor das parcelas?
Entrada Prestação Total
 ↓ ↓ ↓
15.000 + 10.X = 20.000
10 . X = 20.000– 15.000
10 . X = 5000
X = 5000 : 10
X = 500 (ou seja, R$500,00)
Representaremos como função a expressão f(x), sendo x a incógnita, ou valor variávelda função.
2.1 Funções e equações de primeiro grau
Também chamadas de função afim, são representadas pela forma f(x) = a . X + b, em que a e b 
são constantes reais, e X é a incógnita. Para que essa função e equação matemática sejam válidas, é 
necessário que o valor de a seja diferente de zero.
Diversas situações dentro da área farmacêutica podem se configurar como função de primeiro 
grau. Por exemplo, situações em que dois parâmetros estão proporcionalmente relacionados podem 
ser discutidas como uma equação de primeiro grau. Da mesma forma, diversas técnicas instrumentais 
que utilizamos em laboratório são tratadas como equações ou sistemas de primeiro grau. Exemplo: a 
espectrofotometria, uma técnica muito empregada em análise clínica (dosagem de glicose, colesterol, 
entre outros), é baseada em um resultado lido no aparelho, que se chama absorbância. Por sua vez, essa 
absorbância é dada em função da concentração da substância analisada (glicose, colesterol etc). Essa 
relação é um entre muitos exemplos de uma função de primeiro grau.
46
Unidade II
O termo a presente nas funções é chamado de coeficiente, enquanto o termo b é denominado de 
termo constante ou independente.
 Observação
Especificamente para as funções de primeiro grau, o termo a pode ser 
chamado de coeficiente angular, e o termo b, de coeficiente linear da função.
A igualdade mantém-se mesmo ao adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir um mesmo número em 
ambos os lados da equação de primeiro grau.
Exemplo 1:
f(x) = 2 . x + 3
Observando a equação, é possível obter o valor de a igual a +2 e o valor de b será correspondente a +3.
Exemplo 2:
f(x) = – 4 . x + 5
Analisando a equação, é possível obter o valor de a igual a -4 e o valor de b igual a +5.
Exemplo 3:
f(x) = - . x - 8
3
4
Observando a equação, é possível obter o valor de a igual a -3/4 e o valor de b igual a -8.
Graficamente, qualquer função de primeiro grau, ou função afim, será representada por uma reta 
ascendente ou descendente em relação ao eixo das ordenadas (eixo Y, vertical). O eixo das ordenadas 
assume os valores de f(x), enquanto o eixo das abscissas assume os valores da incógnita “x”. Assim, 
qualquer função afim passa a ser representada pelos eixos X e Y do plano cartesiano:
Exemplo 1: f(x) = 2 . x + 3 y = 2 . x + 3
Exemplo 2: f(x) = – 4 . x + 3 y = – 4 . x + 5
Exemplo 3: f(x) = - . x - 8
3
4
 y = - . x - 8
3
4
47
MATEMÁTICA APLICADA
O termo a, ou coeficiente angular de uma equação de primeiro grau, pode ser graficamente 
representado como a inclinação da reta em relação ao eixo X, sendo esta ascendente para valores 
positivos de coeficiente angular e descendente para valores negativos de coeficiente angular.
O termo b, ou coeficiente linear, representa o valor da ordenada onde a reta corta o eixo Y. Para esse 
ponto, consideramos x = 0.
Para representar graficamente uma equação de primeiro grau, são necessários, pelo menos, dois 
pontos bem caracterizados. A melhor maneira de fazer tal representação é escolhendo como primeiro 
ponto característico aquele em que a abscissa (x) seja zero e, como segundo ponto, aquele em que a 
ordenada (y) seja zero. Assim, a representação gráfica dos exemplos citados será:
Exemplo 1:
y = 2 . x + 3
Para x = 0: y = 2 . 0 + 3 y = 0 + 3 y = +3
Para y = 0: 0 = 2 . x + 3 – 3 = 2 . x – 3/2 = x
(0, -3/2)
(+3, 0)
0
y
x
Figura 4
Exemplo 2:
y = – 4 . x + 5
– Para x = 0: y = -4 . 0 + 5 y = 0 + 5 y = +5
– Para y = 0: 0 = -4 . x + 5 -5 = -4 . x +5/4 = x
48
Unidade II
(+5/4,0)
(0, +5)
x
y
0
Figura 5
Exemplo 3:
y = - . x - 8
3
4
– Para x = 0: y = -3/4 . 0 - 8 y = 0 – 8 y = –8
– Para y = 0: 0 = -3/4 . x – 8 +8 = -3/4 . x +8/(3/4) = x 8 . 4/3 = x 12/3 = x +4 = x
(0 ,8)
(+4 ,0)
x
y
0
Figura 6
Existem dois casos especiais de funções de primeiro grau: função linear e função constante.
Função Linear: nesse caso, o termo independente (b) será igual a zero.
f(x) = a . X
Exemplos:
49
MATEMÁTICA APLICADA
a) f(x) = 5 . x
b) f(x) = – 4 . x
c) f(x) = . x
2
3
Graficamente, a função linear pode ser representada por uma reta inclinada e de posição ascendente 
ou descendente em relação ao eixo das ordenadas (eixo Y, vertical). A principal característica, entretanto, 
para um gráfico de função linear é que ele cruzará sempre o eixo das ordenadas (eixo Y, vertical) e o eixo 
das abscissas (eixo X, horizontal) em zero.
Assim, para esses exemplos, a representação gráfica será:
a) f(x) = 5 . x
0, 0 x
y
Figura 7
b) f(x) = -4 . x
0, 0 x
y
Figura 8
c) f(x) = . x
2
3
50
Unidade II
0, 0 x
y
Figura 9
 Lembrete
A função linear cruza na coordenada (0,0) do plano cartesiano (ordenada 
zero e abscissa zero) devido à ausência do termo b na equação. Assim, 
tomando como exemplo a equação f(x) = 5 . x e buscando os dois pontos 
do gráfico, como ensinado anteriormente, teremos:
– Para x = 0: y = 5 . 0 y = 0
– Para y = 0: 0 = 5 . x 0/5 = x 0 = x
Função Constante: nesse caso, o termo constante (a) será igual a zero. Assim, o valor da função será 
sempre igual ao termo independente (b).
Exemplos:
a) f(x) = 5
b) f(x) = – 2
c) f(x) = -
2
3
Graficamente, uma função constante será sempre paralela ao eixo das abscissas, podendo coincidir 
com ela toda vez em que o termo independente (b) for igual a zero.
Assim, para a função f(x) = 5, a representação gráfica será:
51
MATEMÁTICA APLICADA
0, 0
5
x
y
Figura 10
 Observação
O ponto central do plano cartesiano (0,0) ajuda a indicar o sinal dos 
valores nos eixos das ordenadas e abscissas. Assim, de maneira geral, temos:
0, 0
Ordenada: +
Abscissa: +
Ordenada: –
Abscissa: +
Ordenada: +
Abscissa: –
Ordenada: –
Abscissa: –
x
y
Figura 11
A resolução de uma função de primeiro grau passa pelo cálculo da chamada raiz ou zero da função 
de primeiro grau, o que acontece pela transformação da função em uma equação matemática (chamada 
de primeiro grau) ao se definir f(x) = 0.
Exemplo de aplicação
1. Determine a raiz para a função y = 4 . x + 2, marcando em seguida a resposta correta.
a) +4.
b) -1.
c) -0,25.
d) +0,54.
e) -0,5.
52
Unidade II
Resolução:
0 = 4 . x + 2
É o mesmo que: 4 . x + 2 = 0
Deve-se isolar a incógnita x na igualdade: 4 . x = -2 (ao invertermos a posição do valor na igualdade, 
deve-se inverter o sinal).
x = –2/4
x = -1/2 ou -0,5.
2. Determine a raiz para a função y = 9 . x – 3, indicando, em seguida, a resposta correta:
a) +0,333.
b) +0,999.
c) -3.
d) -3/9.
e) -1.
Resolução:
0 = 9 . x – 3
É o mesmo que: 9 . x – 3 = 0
Deve-se isolar a incógnita x na igualdade: 9 . x = + 3 (ao invertermos a posição do valor na igualdade, 
devemos inverter o sinal).
x = +3/9
x = +1/3 ou +0,333... (dízima periódica)
 Observação
Em cálculos com resultados positivos, o sinal positivo faz-se 
desnecessário. Portanto, reportando-nos ao exemplo, podemos considerar 
x = 1/3 ou 0,333...
3. Determine a raiz para a função y = 2 . x + 6, assinalando a alternativa de resposta correta.
53
MATEMÁTICA APLICADA
a) -3.
b) -2.
c) 0.
d) +3.
e) -5.
Resolução:
0 = 2 . x + 6
É o mesmo que: 2 . x + 6 = 0.
Deve-se isolar a incógnita “x” na igualdade: 2 . x = –6 (ao invertermos a posição do valor na igualdade, 
devemos inverter o sinal).
x = –6/2
x = –3
2.2 Inequações de primeiro grau
Trata-se de funções matemáticas de primeiro grau caracterizadas por uma desigualdade de forma a 
desejar resultados maiores (>) ou menores (<) relacionados à equação. A resolução pode ser alcançada 
isolando-se os termos que possuem a incógnita em questão (x) em um dos lados da desigualdade, 
enquanto os termos que não possuem a incógnita (“números puros”) ficam no outro lado.
Exemplo de aplicação
1. Resolva a inequação 5 . x – 8 < 3 . x + 12, marcando em seguida a alternativa de resposta correta.
a) x > 10.
b) x < 10.
c) x > 5.
d) x < 0.
e) x > -7.
Resolução:
Isolam-se os termos com incógnita em um lado da inequação:
5 . x – 3 . x < 12 + 8
54
Unidade II
2 . x < 20x < 20/2
x < 10
2. Resolva a inequação 12 . x + 4 – 2 . x > –4 . x + 20, indicando em seguida a alternativa de resposta correta.
a) x > 1,14.
b) x > 11,4.
c) x > 42,1.
d) x > -2.
e) x > 0,24.
Resolução:
Isolam-se os termos com incógnita em um lado da inequação:
12 . x – 2 . x + 4 . x > 20 – 4
(12 – 2 + 4) . x > 16
14 . x > 16
x > 16/14
x > 1,14
2.3 Sistemas de equações de primeiro grau
Diversas situações dentro da área farmacêutica podem representar casos nos quais se aplicam 
resoluções de sistemas de equações de primeiro grau. Tais sistemas são possíveis quando duas 
funções de primeiro grau estão relacionadas entre si. Nesse caso, o sistema conterá duas incógnitas, 
geralmente expressas por x e y. A melhor forma de resolução para um sistema de equações é pelo 
método da substituição.
 Lembrete
Método da Substituição: consiste em isolar uma das incógnitas na 
primeira equação e substituí-la na segunda equação.
55
MATEMÁTICA APLICADA
Exemplo de aplicação
1. Resolva o sistema de equações a seguir, encontrando os valores das raízes de x e y.
x + 2 . y = 4
2 . x – 6 . y = 3
a) x = 4 e y = -1.
b) x = 3 e y = -1/2.
c) x = 4 e y = 1/2.
d) x = 1 e y = -1.
e) x = 2 e y = -4.
Resolução:
Devemos isolar o x na primeira equação:
x = 4 – 2 . y
Em seguida, devemos substituir o x da segunda equação:
2 . x – 6 . y = 3
2 . (4 – 2 . y) – 6 . y = 3
Aplicando a regra da multiplicação distributiva:
8 – 4 . y – 6 . y = 3
Isolando os termos que contêm a incógnita y:
–4 . y – 6 . y = 3 – 8 (lembrando que, ao trocar a posição de algum dos termos da equação na 
igualdade, devemos inverter o sinal).
–10 . y = –5
y = -5/-10 (lembrando que, pela regra de sinais, a divisão entre dois números negativos gera resultado 
positivo, assim como em multiplicações).
y = +1/2 ou +0,5 (lembrando que números positivos não precisam ter o sinal indicado).
56
Unidade II
Então, y = 1/2 ou 0,5.
Para encontrarmos a raiz de x, devemos retornar à primeira equação e substituirmos o valor 
encontrado de y:
x = 4 – 2 . y
x = 4 – 2 . (0,5)
x = 4 – 1
x = 3
2. Resolva o sistema de equações a seguir, encontrando os valores das raízes de x e y.
 +3 . y – 4 = 12
2 . x + 4 . y = 24
a) x = 2 e y = 2.
b) x = 3 e y = -1.
c) x = -2 e y = 4.
d) x = 4 e y = 4.
e) x = 0 e y = 0,5.
Resolução:
Isolando x na primeira equação:
x = 12 + 4 – 3 . y
x = 16 – 3 . y
Substituindo o x na segunda equação:
2 . (16 – 3 . y) + 4 . y = 24
32 – 6 . y + 4 . y = 24
–6 . y + 4 . y = 24 – 32
–2 . y = –8
57
MATEMÁTICA APLICADA
y = –8/–2
y = +4 ou, simplesmente, y = 4
Retornando com o valor de y na primeira equação:
x = 16 – 3 . y
x = 16 – 3 . (4)
x = 16 – 12
x = 4
2.4 Funções quadráticas e equações de segundo grau
As funções quadráticas (também conhecidas por funções polinomiais de segundo grau) são toda e 
qualquer função dentro do conjunto dos números reais (R), que é dado por uma lei na forma f(x) = a.x2 
+ b.x + c, em que a, b e c são constantes reais e x é a incógnita.
Em toda função quadrática, o termo constante a assume o valor que multiplica a incógnita x elevada 
ao quadrado, o termo constante b assume o valor que multiplica a incógnita x e o termo constante c 
é aquele não multiplicado pela constante x. O sinal de cada uma dessas constantes deve ser observado 
para que não ocorra erro durante a resolução da equação ou interpretação do gráfico da função.
Exemplos:
f(x) = 2 . x2 – 3 . x + 4
em que a = 2, b = –3 e c = 4.
f(x) = -4 . x2 + 12 . x – 8
em que a = –4, b = 12 e c = –8.
f(x) = 1/2 . x2 – 6 . x + 5
em que a = 1/2, b = –6 e c = 5.
Graficamente, toda função quadrática é representada perfeitamente por uma parábola, cuja 
definição matemática é a de um conjunto de pontos equidistantes em relação a um ponto qualquer 
chamado foco. Pode-se dizer, assim, que a distância de qualquer ponto de uma parábola em relação 
ao foco desta será sempre constante. As parábolas geradas pelas equações de segundo grau podem ter 
58
Unidade II
sua concavidade voltada para cima (ocorre quando a constante a é positiva) ou para baixo (quando a 
constante a é negativa).
Exemplo:
a) f(x) = a.x2 + b . x + c
x
y
Figura 12
b) f(x) = –a . x2 + b . x + c
x
y
Figura 13
A resolução de uma função quadrática dá-se pela determinação de seus “zeros” ou “raízes”. As raízes 
de uma função quadrática representam os valores da incógnita x, onde a função f(x) é nula (ou seja, 
igual a zero).
As raízes de qualquer função quadrática são obtidas a partir da fórmula de Bháskara:
x = 
-b 
2 . a
� �
Sendo ∆ = b2 – 4 . a . c
59
MATEMÁTICA APLICADA
Exemplo de aplicação
Encontre as raízes da função quadrática e esboce a parábola resultante para a função.
1) f(x) = 2 . x2 + 3 . x + 1
a) -1 e -0,5.
b) +1 e -0,5.
c) +1.
d) 0.
e) Não tem raiz.
Resolução:
a = 2
b = 3
c = 1
Substituindo na fórmula do ∆:
∆ = (3)2 – 4 . (2) . (1)
∆ = 9 – 8
∆ = 1
Substituindo na fórmula de Bháskara:
x = 
-b 
2 . a
� �
x = 
-3 
2 . 2
± 1
x = 
-3 ±1
4
60
Unidade II
Teremos duas raízes:
Raiz x1:
x = 
-3 + 1
1 4
x = 
-2
1 4
x = 
-1
1 2
, ou -0,5.
Raiz x2:
x = 
-3 - 1 
2 4
x = 
-4 
2 4
x2 = –1
Graficamente, a parábola resultante terá sua concavidade voltada para cima (a constante a é positiva) 
e cruzará o eixo x em dois pontos (-1/2, 0) e (-1, 0). Lembrando que as raízes encontradas são os pontos 
onde a função é nula; y, portanto, é igual a 0.
(– 1 ,0) (- 0,5 ,0) 0 ,0 x
y
Figura 14
2) f(x) = 4 . x2 + 4 . x + 1
a) -1 e -0,5.
61
MATEMÁTICA APLICADA
b) +1 e -0,5.
c) +1.
e) -0,5.
f) Não tem raiz.
Resolução:
a = 4
b = 4
c = 1
Substituindo na fórmula do ∆:
∆ = (4) . 2 – 4 . (4) . (1)
∆ = 16 – 16
∆ = 0
Substituindo na fórmula de Bháskara:
x = 
-b 
 . a
� �
2
x = 
-4 
 . 4
± 0
2
x = 
-4 ± 0
8
Essa função apresenta apenas uma raiz real:
x = 
-4
8
x = –1/2, ou -0,5.
62
Unidade II
(-1/2, 0) 0 ,0 x
Figura 15
3) f(x) = 2 . x2 + 5 . x + 7
a) -1.
b) +1 e - 0,5.
c) -2.
d) 0.
e) Não tem raiz.
Resolução:
a = 2
b = 5
c = 7
Substituindo na fórmula do ∆:
∆ = (5)2 – 4 . (2) . (7)
∆ = 25 – 56
∆ = –31
Substituindo na fórmula de Bháskara:
x = 
-b 
 . a
� �
2
63
MATEMÁTICA APLICADA
x = 
-5 -31
 . 2
±
2
Essa função não apresenta raiz real e, portanto, não terá nenhum ponto onde a função seja nula 
e a parábola cruze com o eixo x. Como o valor da constante a é positivo, a parábola terá concavidade 
voltada para cima.
x
y
0 ,0
Figura 16
2.5 Funções exponenciais e equações exponenciais
Diversas situações dentro da área químico-farmacêutica seguem, matematicamente, o modelo de 
uma função exponencial.
A equação exponencial pode ser descrita como aquela em que a incógnita encontra-se no expoente 
de pelo menos uma potência (rever o capítulo 2: Potenciação).
Exemplos:
a) 2x = 14
b) 
3
5
�
�
�
�
�
�
x
 = 84
c) 3x+1 – 42x+1 = 16
Para qualquer função exponencial, temos duas situações possíveis, a depender do valor da base da 
potência (a):
Considerando y = ax, para a > 1, a função exponencial será crescente:
64
Unidade II
x
y
Figura 17
Para 0 < a < 1, a função exponencial será decrescente:
x
y
Figura 18
O fenômeno da radioatividade, em que um núcleo atômico muito energético (átomo radioativo) 
tende à estabilidade pela liberação de energia na forma de partículas ou ondas (radiações), é 
tipicamente representado por um modelo de função exponencial chamado de decaimento radioativo 
ou meia-vida.
Graficamente, a meia-vida de um átomo radioativo pode ser representada como a seguir:
65
MATEMÁTICA APLICADA
Meia-vida
Número de átomos radioativos
Figura 19
Outros exemplos de situações em nossa área em que a função exponencial explica um fenômeno 
são: morte celular em processos de esterilização, degradação de uma série de substâncias químicas, 
entre outros.
 Saiba mais
Para aumentar seu conhecimento a respeito da meia-vida dos elementos 
radioativos, tão importantes na área de radiofarmácia, consulte: OKUNO. 
E; CALDAS, I.L.; CHOW, C. Físicapara ciências biológicas e biomédicas. São 
Paulo: Harper e Row do Brasil, 1982.
2.6 Funções modulares
Existem situações em que as funções são definidas por mais de uma sentença ou equação matemática.
Exemplo de aplicação
Uma função f(x) é válida para as seguintes condições:
f(x) = 3 . x + 4, se x ≤ 2
f(x) = 2 . x + 3, se x > 2
Encontre os valores de x para f(4) e f(1).
• f(4)
Nesse caso, encontrar o resultado para a função dependerá do valor de x analisado. Para o caso de 
f(4), o valor de x a ser considerado é 4.
66
Unidade II
Para x = 4 usaremos a segunda sentença da função (uma vez que, 4 é maior que 2, satisfazendo a 
segunda sentença).
f(x) = 2 . x + 3
f(4) = 2 . 4 + 3
f(4) = 8 + 3
f(4) = 11
• f(1)
Para o caso de f(1), o valor de x a ser considerado é 1.
Para x = 1, usaremos a primeira sentença da função (uma vez que 1 é menor que 2, satisfazendo a 
primeira sentença).
(x) = 3 . x + 4
f(1) = 3 . 1 + 4
f(1) = 3 + 4
f(1) = 7
Um número x qualquer será chamado de módulo ou valor absoluto quando satisfizer uma situação 
específica de função com várias sentenças, como o caso que acabamos de estudar.
Todo módulo de x é simbolizado por |x|, sendo um número real não negativo, tal que:
|x| = 
x, se x 0
ou
-x, se x < 0
��
�
�
�
�
Assim, o módulo de um número real será sempre maior ou igual a zero.
Exemplos:
a) |3| = 3
67
MATEMÁTICA APLICADA
b) |–6| = 6
c) |0,5 – 0,8| = |–0,3| = 0,3
Graficamente, as funções modulares apresentam-se como equações de primeiro e segundo graus 
sempre com valores de f(x) maiores que zero, portanto, positivos. Para tanto, serão considerados apenas 
os valores de x e –x que resultem em f(x) > 0.
Exemplo: f(x) = |x| + 1
Como uma reta pode ser caracterizada por dois pontos, podemos encontrar:
Para x = 0
f(x) = 0 + 1
f(x) = 1
Para x = -1 (módulo de -1 será sempre 1)
f(x) = 1 + 1 = 2
Para x = +1 (módulo de +1 será sempre 1)
f(x) = 1 + 1 = 2
Graficamente:
+2
–1 +1
(1, 0)
Figura 20
3 RAZÃO, PROPORÇÃO E CÁLCULO DE FRACIONAMENTO
Em diferentes situações dentro da área farmacêutica, nos vemos obrigados a trabalhar 
matematicamente com a relação entre dois parâmetros diferentes. Em geral, essas questões podem ser 
facilmente resolvidas por meio da famosa Regra de Três ou pelas regras de razão e proporção.
68
Unidade II
Exemplo:
Foram prescritos 80 mg de um analgésico após a realização de uma cirurgia em um paciente. 
Sabendo-se que o fármaco está disponível na formulação de 100 mg/mL, qual deve ser o volume de 
dose fornecido a esse paciente?
Nessa questão rotineira dentro da área hospitalar, temos dois parâmetros relacionados (dose de 
princípio ativo e volume da formulação). Para resolvê-la é necessário trabalharmos com os conceitos de 
razão e proporção.
3.1 Razão
A razão entre dois valores (a e b) será o quociente entre os dois: a
b
a primeiro termo ou antecendente
b segundo termo ou consequente
Costuma-se representar uma razão como a : b.
Para que uma razão seja válida, é necessário que o termo b seja sempre diferente de zero.
A razão inversa é o quociente que mantém invertidas as posições do termo antecedente e consequente. 
Portanto, por regra geral, a razão inversa de a : b será b
a
.
Exemplos:
A razão entre 3 e 2 será: 3 : 2 ou 3
2
.
b) A razão inversa entre 4 e 10 será: 10 : 4 ou 10
4
.
3.2 Proporção
A proporção é a comparação por meio de igualdade entre duas razões numéricas. Assim, por regra 
geral, dizemos que os números a, b, c e d formam uma proporção quando a razão entre a e b for igual à 
razão entre c e d (considerando-se b e d ≠ 0).
Assim, a proporção será:
a
b
c
d
 = 
Exemplo:
69
MATEMÁTICA APLICADA
a) A razão entre 4 e 2 é proporcional à razão entre 10 e 5.
4
2
10
20
 = 2→
b) A razão entre 2 e 8 é inversamente proporcional à razão entre 20 e 5.
2
8
5
20
1
4
 = →
3.3 Propriedades das proporções
Para todo cálculo envolvendo proporções, existem quatro propriedades básicas a 
serem observadas:
I – Propriedade Fundamental: a multiplicação entre os termos antecedentes de uma das razões com 
os termos consequentes da outra mantém a proporção.
a
b
c
d
 = a . d = b . c↔
II – Segunda Propriedade: a soma dos termos antecedente e consequente da razão, dividida pelo 
termo consequente, mantém a proporção.
a
b
c
d
a c
 = 
 + b
b
 = 
 + d
d
↔
III – Terceira Propriedade: a soma dos termos antecedentes, dividida pela soma dos termos 
consequentes das duas razões, terá resultado igual a qualquer uma das razões utilizadas na proporção.
a
b
c
d
a a
b
c
d
 = 
 + c
b + d
 = = ↔
IV – Quarta Propriedade: a multiplicação dos dois termos antecedentes da proporção, dividida pela 
multiplicação dos dois termos consequentes da proporção, será sempre igual a qualquer uma das razões 
elevada ao quadrado.
a
b
c
d
a a
b
c
d
 = 
 . c
b . d
 = = ↔
2
2
2
2
70
Unidade II
3.4 Grandezas diretamente proporcionais
Duas grandezas A e B serão consideradas diretamente proporcionais quando a razão entre elas for 
mantida constante.
Exemplo de aplicação
1. A relação entre distância percorrida e tempo pode ser considerada diretamente proporcional, caso 
seja mantida constante a velocidade aplicada.
Assim, podemos estabelecer uma proporção para a seguinte tabela:
Tabela 2
Distância (km) 80 160 x
Tempo (h) 1 2 3
a) 120.
b) 240.
c) 360.
d) 480.
e) 500.
Resolução: considerando diretamente proporcionais os dois parâmetros, a razão entre distância e 
tempo ficará:
80
1
160
2 3
 = = 
x
Pela aplicação da regra fundamental da proporção, temos: 160 . 3 = 2 . x
480 = 3 . x
480/2 = x
240 = x
Portanto, em 3 horas, terão sido percorridos 240 km.
2. Foram prescritos 80 mg de um analgésico após a realização de uma cirurgia em um paciente. 
Sabendo que o fármaco está disponível na formulação de 100 mg/mL, qual deve ser o volume de dose 
fornecido a esse paciente?
71
MATEMÁTICA APLICADA
a) 1,6 mL.
b) 0,8 mL.
c) 2,4 mL.
d) 10 mL.
e) 8 mL.
Resolução: considerando diretamente proporcionais os parâmetros de dose de princípio ativo e 
volume da formulação, teremos:
100
1
80
 = 
x
Pela aplicação da regra fundamental da proporção, temos:
100 . x = 80 . 1
100 . x = 80
X = 80/100
X = 0,8 mL
Portanto, deve-se fornecer 0,80 mL do medicamento.
3. Sabendo que a relação entre a quantidade de um nutriente A está diretamente relacionada com a 
quantidade de metabólito B produzido no organismo, determine os valores de x e y na tabela:
Tabela 3
Nutriente (mg) 6 x 15
Metabólito (ng) 2 3 y
a) 9 mg e 5 ng.
b) 12 mg e 10 ng.
c) 24 mg e 12 ng.
d) 5 ng e 9 mg.
e) 0,9 mg e 0,5 ng.
Resolução: considerando diretamente proporcionais os dois parâmetros, teremos:
6
2 3
15
 = = 
x
y
72
Unidade II
Para encontrar o valor de x, usaremos as duas primeiras razões:
6
2 3
 = 
x
2 . x = 6 . 3
2 . x = 18
X = 18/2
X = 9 mg
Para encontrar o valor de y, usaremos as duas últimas razões:
x
y3
15
 = 
9
3
15
 = 
y
9 . y = 15 . 3
9 . y = 45
y = 45/9
y = 5 ng
3.5 Grandezas inversamente proporcionais
Duas grandezas, A e B, serão inversamente proporcionais quando o produto entre os termos 
ascendente e consequente forem constantes para todas as razões formadas por essas grandezas. Assim, 
para a seguinte tabela relacionando A e B, inversamente proporcionais,
Tabela 4
A a1 a2 a3
B b1 b2 b3
73
MATEMÁTICA APLICADA
teremos a seguinte proporção:
a1 . b1 = a2 . b2 = a3 . b3
Exemplo de aplicação
1. A relação entre a duração de uma viagem de trem (horas) e a velocidade desenvolvida por ele 
(km/h) é considerada inversamente proporcional. Sabendo que, ao desenvolver uma velocidade média 
de 50 km/h, o trem demora 4h para chegar ao destino, qual deverá ser a velocidade a ser desenvolvida 
por ele para que alcance o destino em 3h?
a) 72 km/h.
b) 66,7 km/h.
c) 120 km/h.
d) 214 km/h.
e) 27 km/h.
Resolução:
Sendo a primeira razão descrita como 50 : 4 e a segunda razão x : 3, pertencentes a grandezas 
inversamente proporcionais, é possível montar a seguinte equação:50 . 4 = x . 3
200 = x . 3
200 / 3 = x
66,7 = x
Portanto, para que o trem chegue ao destino em 3h, será necessário que a velocidade desenvolvida 
seja de 66,7 Km/h.
2. Tendo duas séries representando as grandezas A e B, inversamente proporcionais, encontre os 
valores de x e y.
A = (x, 2, 6)
B = (3, y, 24)
a) x = 48 e y = 72.
b) x = 24 e y = 32.
c) x = 40 e y = 80.
d) x = 12 e y = 32.
e) x = 68 e y = 72.
74
Unidade II
Resolução:
Por se tratar de grandezas inversamente proporcionais, a resolução passa pela montagem da relação 
de igualdade:
x . 3 = 2 . y = 6 . 24
Portanto,
x . 3 = 2 . y = 144
Selecionando os dois últimos termos da igualdade, conseguiremos encontrar o valor de y:
2 . y = 144
y = 144/2
y = 72
Selecionando os dois primeiros termos da igualdade e já conhecendo o valor de y, será possível 
determinar o valor de x:
x . 3 = 2 . y
x . 3 = 2 . 72
x . 3 = 144
x = 144/3
x = 48
3.6 Regra de Três Simples
Método prático para resoluções em que temos dois valores para uma grandeza e apenas um valor 
para a outra grandeza relacionada. Essa regra baseia-se na multiplicação em cruz característica da 
aplicação da regra fundamental da proporção.
a1 b1
x b2
Figura 21
75
MATEMÁTICA APLICADA
Observe que, para a montagem da Regra de Três, os termos de mesma grandeza devem ser posicionados 
um abaixo do outro. A resolução deve ser efetuada por meio de uma multiplicação em cruz.
Exemplo de aplicação
1. Sabendo que 1 mL de ácido sulfúrico corresponde a 1,84 g, determine qual o volume necessário 
para termos 12 g de ácido sulfúrico em um frasco.
a) 6,5 mL.
b) 12,7 mL.
c) 3,3 mL.
d) 8,9 mL.
e) 18 mL.
Resolução:
As duas grandezas em questão são massa e volume. Portanto, para a montagem da Regra de Três, 
devemos manter os dados de massa em um lado e os dados de volume no outro lado da relação. Assim,
1 mL ----------------------------------- 1,84 g
X mL ----------------------------------- 12 g
Portanto,
X . 1,84 = 1 . 12
X . 1,84 = 12
X = 12 / 1,84 (lembre-se de que, ao inverter o lado do termo, inverte-se a função matemática; logo, 
quem multiplica à esquerda dividirá à direita da igualdade)
X = 6,5 mL
3.7 Regra de Três Composta
Para os casos envolvendo mais de duas grandezas proporcionais, é necessário construir a chamada 
Regra de Três Composta, de forma a construir a seguinte relação:
a1 b1 c1
x b2 c2
Figura 22
76
Unidade II
Pela regra geral, é possível construir uma Regra de Três Composta toda vez que uma determinada 
grandeza A for proporcional, simultaneamente, a duas outras grandezas (B e C). Para a resolução desse 
tipo de cálculo, é necessário montar a seguinte igualdade:
a
x
b
b
c
c
1 1
2
1
2
 = x 
Exemplo de aplicação
Um tanque de 500 m3 de capacidade leva 3 h para ser cheio ao se utilizarem duas torneiras. Outro 
tanque de 800 m3 de capacidade levará quanto tempo para ser cheio, sendo que ele terá 5 torneiras 
para a adição do líquido?
a) 2,45 h.
b) 8,94 h.
c) 1,92 h.
d) 13,4 h.
e) 14,6 h.
Resolução: neste exercício, temos três grandezas presentes, volume do tanque, tempo e número de 
torneiras. Entretanto, o volume de líquido adicionado dependerá do tempo e do número de torneiras. 
Tal relação entre os três parâmetros permite que a resolução se desenvolva por meio da Regra de Três 
Composta. Assim,
500 m3 ---------------------–3 h ---------------------–2 torneiras
800 m3 ---------------------–x h --------------------–5 torneiras
500
800
3 2
5
500
800
6
5
 = x 
 = 
 . 
x
x
5 . x . 500 = 6800
x . 2500 = 4800
x = 
4800
2500
x = 1,92h
77
MATEMÁTICA APLICADA
3.8 Percentagem e cálculos de percentagem
Os cálculos envolvendo percentagem (ou porcentagem) podem ser considerados como casos 
especiais abrangendo razão e proporção. Considera-se a porcentagem como uma razão envolvendo 
termos consequentes de base 10. Por regra geral, entende-se que a razão percentual será:
x
x
% = 
100
Assim, todo cálculo de percentagem pode ser resolvido por um sistema de grandezas direta ou 
inversamente proporcionais.
Exemplo de aplicação
Em uma cidade de 230.000 habitantes, cerca de 50.000 possuem menos de 30 anos. Qual será a 
percentagem da população com mais de 30 anos?
a) 21,7%.
b) 78,3%.
c) 52,4%.
d) 25,8%
e) 32,3%.
Resolução: deseja-se saber a percentagem de habitantes com mais de 30 anos, entretanto, o dado 
disponível é o número de habitantes de idade inferior a esta. Assim, em primeiro lugar, devemos calcular 
o número de habitantes com mais de 30 anos na cidade (chamaremos de N):
N = 230.000 – 50.000 = 180.000 (portanto, 180.000 habitantes da cidade possuem mais de 30 anos).
Sabendo que a relação de percentagem é para um termo consequente igual a 100, a Regra de Três 
a ser montada será:
 180.000 hab. ------------------------------------ 230.000 hab.
 X hab. ------------------------------------ 100 hab.
Portanto,
X . 230.000 = 180.000 . 100
X . 230.000 = 18.000.000
X = 78,3%
78
Unidade II
4 CÁLCULOS DE DILUIÇÃO E FRACIONAMENTO
4.1 Unidades de medida principais
Sem dúvida alguma, as duas medidas mais importantes dentro da área farmacêutica estão 
relacionadas à massa e volume. Portanto, é necessário saber a conversão básica entre subunidades de 
massa e volume para o cálculo correto de dosagens e fracionamentos. Sempre é bom lembrar que:
a) grama (g): unidade de medida de massa ou quantidade.
b) miligrama (mg): milésima parte da unidade grama.
1 g = 1000 mg
c) litro (l ou L): unidade de volume ou capacidade.
d) mililitro (ml ou mL): milésima parte da unidade litro.
1 L = 1000 mL
Outras subunidades importantes:
1 g = 10 dg = 100 cg = 1000 mg = 106 mg = 109 ng
 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
 Decigrama Centigrama Miligrama Micrograma Nanograma
Essas mesmas subunidades podem ser empregadas para qualquer outra grandeza (ex.: volume, 
comprimento etc).
Exemplo de aplicação
1. Um rótulo informa que existem 120 mg de princípio ativo por 100 mL de formulação. Qual será 
essa quantidade em gramas e microgramas?
a) 0,24 g e 240 mg.
b) 0,12 g e 120.000 mg.
c) 0,10 g e 0,00010 mg.
d) 1,20 g e 0,12 mg.
e) 2,40 g e 24.000 mg.
Resolução:
1 g ----------------------– 1000 mg
X g ----------------------– 120 mg
79
MATEMÁTICA APLICADA
x . 1000 = 1 . 120
x = 120/1000
x = 0,12 g
1000 mg ----------------------– 106 mg
120 mg ----------------------– x mg
x . 1000 = 106 . 120
x = 120 . 106 / 1.000
x = 120.000 mg
2. Um procedimento laboratorial solicita que se colete 0,080 L de uma solução. Sabendo-se que a 
vidraria a ser utilizada para coleta está em escala de mililitros (mL), qual deverá ser a marca observada 
na vidraria?
a) 80 mL.
b) 160 mL.
c) 120 mL.
d) 48 mL.
e) 8 mL.
Resolução:
1 L
0,080 L
----------------------–
----------------------–
1000 mL
x mL
x . 1 = 1000 . 0,080
x = 80 mL
4.2 Cálculos de concentração
Ao se trabalhar com soluções, a forma mais indicada de estabelecer uma proporção entre a 
quantidade de soluto (ex.: princípio ativo) e a solução como um todo é pelo cálculo da concentração 
dessa solução. De maneira geral, a concentração pode ser definida como a forma como uma substância 
(de menor quantidade, a que chamaremos de soluto) distribui-se em outra (maior quantidade e a que 
chamaremos de solvente). As soluções são, portanto, a soma da quantidade de soluto e solvente presente 
na formulação ou reagente preparado.
80
Unidade II
No caso específico das soluções, a concentração será a razão entre quantidade (massa) de soluto e 
capacidade (volume) total da solução.
c
m
v
 = 1
em que:
m1 = massa do soluto
V = volume da solução
Principais unidades:
g.L-1 (grama por litro)
mg.L-1 (miligrama por litro)
Exemplo de aplicação
1. Uma solução foi preparada pela adição de 20 g de hidróxido de cálcio em 900 mL de água. Indique 
qual será a concentração em g.L-1.
a) 2,22.
b) 22,2.
c) 12,2.
d) 1,22.
e) 0,322.
Resolução: para que se obtenha a concentração em grama por litro é primeiro necessário converteros 900 mL para litro. Como visto anteriormente, essa conversão resultará em 0,9 L.
c
L
g = = 22,2g . L-120
0 9,
2. Para dispensar corretamente uma formulação, você deve coletar um volume correspondente a 40 mg de 
princípio ativo de uma formulação na concentração 0,18 g.L-1. Qual deverá ser o volume coletado dessa solução?
a) 0,22 L.
b) 0,44 L.
c) 1,22 L.
d) 22 L.
e) 4,4 L.
81
MATEMÁTICA APLICADA
Resolução: para efetuar esse cálculo, é necessário que a massa esteja em grama e o volume em litros. 
Portanto, primeiro, converteremos os 40 mg do soluto em grama.
1 g ----------------– 1.000 mg
X g ---------------–- 40 mg
X = 0,04 g
Para obter o volume de solução a ser coletado, podemos substituir na fórmula de concentração:
c
m
v
v
 = 
 = 
1
0 18
0 04
,
,
0,18 . v = 0,04
v = = 0,22 L
0 04
0 18
,
,
4.3 Cálculos de diluição
Diluição é a redução da concentração de uma solução pela adição de solvente. Trata-se de um 
cálculo envolvendo grandezas inversamente proporcionais e, portanto, pode ser resolvido de acordo 
com a propriedade fundamental das grandezas inversamente proporcionais:
Ca . Va = Cb . Vb
Em que: C = concentração e V = volume.
A forma de representação correta de uma diluição segue a mesma adotada para uma razão 
convencional. Assim, diluição A : B pode ser descrita como a diluição da condição A para a condição B.
Exemplo de aplicação
1. Deseja-se diluir uma solução de glicose 5%, de forma a obter 25 mL de uma solução 2%. Como 
proceder? Indique, em seguida aos cálculos, a alternativa de resposta correta.
a) 12 mL.
b) 10 mL.
82
Unidade II
c) 14 mL.
d) 1,5 mL.
e) 50 mL.
Resolução: ao relacionarmos as duas grandezas (concentração e volume) nas duas condições 
estudadas (diluída e concentrada), teremos:
5% ----------------------------– x mL
2% ----------------------------– 25 mL
5 . x = 25 . 2
5 . x = 50
X = 50/5
X = 10 mL
Portanto, coletaremos 10 mL da solução 5%, transferiremos a outro frasco e completaremos até 
25 mL com água para obtermos a solução 2%.
2. Um analista preparou uma solução 6 g.L-1 de glicose utilizando 20 mL de uma solução 18 g.L-1. 
Qual o volume final da solução diluída?
a) 6 mL.
b) 12 mL.
c) 40 mL.
d) 60 mL.
e) 120 mL.
Resolução: ao relacionarmos as duas grandezas (concentração e volume) nas duas condições 
estudadas (diluída e concentrada), teremos:
x mL --------------------------------–- 6 g . L-1
20 mL ------------------------------–--- 18 g . L-1
Assim,
6 . x = 18 . 20
6 . x = 360
83
MATEMÁTICA APLICADA
X = 360/6
X = 60 mL
Portanto, conseguiremos 60 mL da solução diluída ao empregarmos 20 mL de uma solução de 18 g . 
L-1 para obtermos outra de concentração 6 g . L-1.
 Saiba mais
Uma das principais técnicas de análise química empregada na área 
química e farmacêutica é a titrimetria, também chamada de titulação, que 
envolve a determinação da concentração real em uma amostra a partir da 
adição controlada de um reagente de concentração conhecida. Após atingir 
o final da análise, no chamado ponto de equivalência, é possível descobrir 
a concentração na amostra pela mesma forma empregada no cálculo de 
diluição aqui aprendido:
CAmostra x VAmostra = CReagente X VReagente
Procure ler a respeito dessa técnica em livros de Química Geral e Inorgânica 
e observe como o cálculo de diluição está presente mesmo nas técnicas mais 
importantes dentro do controle de qualidade farmacêutico. Indicamos este: 
USBERCO, J.; SALVADOR, E. Química. 12. ed. São Paulo: Saraiva, 2006. v. 1.
4.4 Cálculos de doses orais e fracionamento de dose
Os cálculos envolvendo fracionamento de dose podem ser facilmente solucionados, se obedecermos 
as regras de razão e proporção descritas anteriormente.
 Observação
Os mesmos cálculos de fracionamento podem ser realizados pelo uso 
da seguinte fórmula:
DP
DD
 x Q = x
em que: DP = dose prescrita; DD = dose disponível; Q = quantidade; 
x = dose a ser administrada.
84
Unidade II
 Saiba mais
Em unidades de terapia intensiva, as doses são prescritas em função da 
concentração do princípio ativo, e o profissional responsável deve efetuar 
cálculos visando manter um ou mais parâmetros (ex.: pressão arterial). 
Para mais informações sobre os cálculos de doses em infusões intravenosas 
e outros casos específicos relacionados a cálculos de dose, é interessante 
buscar livros de preparação de medicamentos como o da autora Mary Jo 
Boyer: Cálculo de dosagem e preparação de medicamentos. 7. ed. Rio de 
Janeiro: Guanabara Koogan, 2010.
Exemplo de aplicação
Exemplo 1
Simplifique a expressão 10 . a . x
15 . a . x
2
3
, identificando, em seguida, a resposta correta.
A) 2 . x
3 . a2
B) x
3
C) 2 . x
3 . a
D) x
a2
E) 2
3 . a2
Resolução:
= 
 
15 . a2
10 . x
= 
2 
3 . a2
. x
Resposta correta: alternativa A.
85
MATEMÁTICA APLICADA
Exemplo 2
Simplifique a expressão x - y
x + y
 - 1 
x - y
x + y
 + 1
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� . Em seguida, indique a alternativa de 
resposta correta.
A) -y
x
�
��
�
��
B) -1
x
�
��
�
��
C) -2y
x
�
��
�
��
D) -3y
4x
�
��
�
��
E) y
x
�
��
�
��
Resolução:
= 
x - y - 1 . (x + y)
x + y
 
x - y + 1 . (x + y)
x + 
�
�
�
�
�
� �
yy
�
�
�
�
�
�
= 
x - y - x - y
x + y
 
x - y + x + y
x + y
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
= 
-2 . y
x + y
 
2 . x
x + y
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
Aplicando a propriedade do quociente e produto em frações:
= 
-2 . y
x + y
 
x + y
2 . x
�
�
�
�
�
�
�
��
�
��
x
86
Unidade II
Cancelando os termos x+y:
= 
-2 . y
2 . x
�
��
�
�� 
= 
-y
x
�
��
�
�� 
Resposta correta: alternativa A.
Exemplo 3
Simplifique a fração = 
a . b + a . c
b - c2 2
�
�
�
�
�
� , marcando, em seguida, a alternativa de resposta correta.
A) a
b
B) a
c
C) 3
2
a
b( )- c
D) a
b( )2 - 2c
E) a
b( )- c
Resolução:
Nesse caso, mostra-se conveniente fatorar os termos:
= a . (b + c)
(b + c) . (b - c)
= a
(b - c)
Resposta correta: alternativa E.
Exemplo 4
Um paciente deverá utilizar uma determinada medicação de via oral por 5 dias, fazendo uso, a 
cada 8 h, de 200 mg de princípio ativo. Sabendo que cada frasco do medicamento contém 100 mL e 
87
MATEMÁTICA APLICADA
que o rótulo indica que a cada 60 mL de medicamento há 900 mg de princípio ativo, qual o número 
de frascos necessários para completar este tratamento?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Resolução:
Primeiro, devemos descobrir a dose total em miligramas do princípio ativo que o paciente 
deverá utilizar:
 8h ----------------------------- 200 mg
24h (1 dia) -------------------–--------- x mg
X = 600 mg (por dia)
Como o tratamento inteiro durará 5 dias: 600 . 5 = 3000 mg
O paciente utilizará 3000 mg de princípio ativo durante todo o tratamento.
Para sabermos o número de frascos necessário, teremos de converter o teor em massa para o volume 
de formulação correspondente:
60 mL formulação ----------------------------– 900 mg de princípio ativo
 X mL ----------------------------- 3000 mg
X = 200 mL
O paciente deverá utilizar um total de 200 mL de formulação. Como cada frasco contém 100 mL, 
conclui-se que serão necessários 2 frascos durante todo o tratamento.
Resposta correta: alternativa A.
Exemplo 5
Um paciente de 60 kg deve receber 40 mg de fentanila contido em 250 mL de SG 
(solução glicofisiológica, 0,9% de sal e 5% de glicose) mantendo velocidade de infusão de 
2 mg . kg-1. min-1. Indique qual a velocidade a ser ajustada na bomba de infusão eletrônica em mL . h-1.
88
Unidade II
A) 45 mL/h
B) 120 mL/h
C) 0,45 mL/h
D) 1,20 mL/h
E) 7,2 mL/h
Resolução:
Primeiro, devemos individualizar a informação para o paciente em questão:
A dose de infusão deve, a cada minuto, ser de:
2 mg --------------------------–- 1 kg de massa corpórea
X mg -------------------------–-- 60 kg
X = 120 mg por minuto de infusão
Como a bomba deve ser ajustada em mililitro por hora, é necessário efetuar a conversão de minutos 
para a hora de infusão:
120 mg ---------------------– 1 min
 y mg ---------------------–60 min (1 hora)
y = 7200 mg por hora = 7,2 mg por hora
Como a formulação contém 40 mg do princípio ativo em 250 mL:
40 mg ------------–----- 250 mL
7,2 mg ---–-------------- z mL
z = 45 mL por hora
Resposta correta: alternativa A.
Exemplo 6
Foram prescritas 800 mg de dipirona sódica por via oral de 6/6 h. Quantos mL deverão ser 
administrados a cada 6h ao paciente e quantas gotas devem ser administradas, sabendo que, no 
rótulo do medicamento, está indicado que se trata de um frasco de 10 mL, cuja concentração 
presente é de 0,5 g/mL de dipirona sódica e que, a cada 20 gotas, se tem dose equivalente a 500 mg 
do princípio ativo?
89
MATEMÁTICA APLICADA
A) 1,6 mL ou 32 gotas
B) 3,2 mL ou 32 gotas
C) 12 mL ou 100 gotas
D) 4,8 mL ou 54 gotas
E) 5,6 mL ou 67 gotas
Resolução:
0,5 g ------------> 500 mg -------------------------– 1 mL
 800 mg -------------------------– x mL
500 . x = 800 . 1
X = 800/500
X = 1,6 mL
Deverá ser, então, administrada a dose de 1,6 mL de dipirona sódica a cada 6h.
Para transformarmos para a dose em número de gotas, usaremos a relação descrita no rótulo:
20 gotas --------------------------------------– 500 mg
 X gotas --------------------------------------– 800 mg
500 . x = 20 . 800
X = 16000/500
X = 32 gotas.
Resposta correta: alternativa A.
Exemplo 7
Administre 500 mg de um fármaco 2 vezes/dia. Ele está disponível em comprimidos de 250 mg. 
Quantos comprimidos devem ser administrados por dia?
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 12.
90
Unidade II
Resolução:
Substituindo na fórmula: DP
DD
 x Q = x
500
250
 x 2 = x
X = 4.
Portanto, serão administrados 4 comprimidos no total ou 2 comprimidos a cada 12h.
Resposta correta: alternativa B.
 Resumo
Em frações, é possível multiplicar o numerador e o denominador por 
um mesmo número sem que se provoque alteração do valor final. Ao 
mesmo tempo, podemos igualar o denominador de diferentes frações, 
encontrando um denominador comum pelo cálculo de seu m.m.c. Essa 
redução ao mesmo denominador mostra-se importante para conseguir 
identificar a maior ou menor fração entre diferentes valores apresentados, 
assim como em toda vez que se desejar efetuar uma soma ou subtração 
de frações. Os cálculos envolvendo multiplicações podem ser efetuados 
apenas multiplicando, separadamente, os numeradores e os denominadores 
das frações. Enquanto isso, os cálculos de divisão de frações podem ser 
mais bem solucionados, transformando-se a divisão em multiplicação, ou 
seja, invertendo o numerador e denominador em uma das duas frações 
envolvidas na divisão.
Equações são expressões matemáticas que buscam encontrar um 
valor desconhecido, tendo por base algumas informações. As funções 
matemáticas mais importantes são as de primeiro e segundo grau, 
exponenciais e logarítmicas.
As funções de primeiro grau são também chamadas de função afim, 
sendo representadas sob a forma f(x) = a. X + b, em que a e b são constantes 
reais e X é a incógnita. Especificamente para as funções de primeiro grau, 
o termo a” pode ser chamado de coeficiente angular, e o termo b, de 
coeficiente linear da função, enquanto, graficamente, qualquer função de 
primeiro grau é representada por uma reta ascendente ou descendente em 
relação ao eixo das ordenadas (eixo Y, vertical).
91
MATEMÁTICA APLICADA
As chamadas inequações de primeiro grau são funções matemáticas 
caracterizadas por uma desigualdade, de forma a desejar resultados 
maiores (>) ou menores (<) relacionados à equação.
As funções quadráticas (também conhecidas por funções polinomiais 
de segundo grau) são toda e qualquer função dentro do conjunto dos 
números reais (R) que é dada por uma lei na forma f(x) = a . x2 + b . x 
+ c, em que a, b e c são constantes reais e x é a incógnita. Para efetuar 
a resolução de qualquer cálculo de função quadrática, é necessário 
empregar a fórmula de Bháskara. Graficamente, toda função quadrática 
é representada por uma parábola.
A proporção é a comparação por meio de igualdade entre duas razões 
numéricas. Assim, por regra geral, dizemos que os números a, b, c e d 
formam uma proporção quando a razão entre a e b for igual à razão entre 
c e d (considerando b e d ≠ 0). A principal regra da proporção leva em conta 
que a multiplicação entre os termos antecedentes de uma das razões, com 
os termos consequentes da outra, mantém a proporção. Duas grandezas A e 
B serão consideradas diretamente proporcionais quando a razão entre elas 
for mantida constante (a1 / b1 = a2 / b2 = a3 / b3), enquanto poderão ser 
consideradas inversamente proporcionais toda vez que o produto entre os 
termos ascendente e consequente forem constantes para todas as razões 
formadas por elas (a1 . b1 = a2 . b2 = a3 . b3).
A Regra de Três é um método prático para resoluções, em que temos 
dois valores para uma grandeza e apenas um valor para a outra grandeza 
relacionada. Baseia-se na multiplicação em cruz característica da aplicação 
da regra fundamental da proporção, sendo que os termos de mesma 
grandeza devem ser posicionados um abaixo do outro.
Os cálculos envolvendo percentagem (ou porcentagem) podem ser 
considerados como casos especiais envolvendo razão e proporção, em que 
a razão é sempre dada envolvendo termos consequentes de base dez e, 
com isso, gerando decimais entre 0 e 1. Assim, o valor 0,20 pode equivaler 
a 20%, e 0,56, equivaler a 56%.
A concentração pode ser definida como a forma como uma substância 
(em menor quantidade, a que chamamos de soluto) distribui-se em outra 
(maior quantidade, a que chamamos de solvente). As soluções são, portanto, 
a soma da quantidade de soluto e solvente presente na formulação ou 
reagente preparado e seu cálculo será efetuado pela razão entre quantidade 
(massa) de soluto e capacidade (volume) total da solução.
92
Unidade II
 Exercícios
Questão 1. Veja a figura a seguir:
Figura
Fonte: Pixabay.
Os xaropes precisam ter a viscosidade muito bem controlada, tanto para a facilidade no bombeamento 
dentro das tubulações e envasamento quanto para a sua ingestão.
A viscosidade de um xarope pode ser medida pela resistência ao escoamento, através de um 
viscosímetro rotacional. 
O viscosímetro tem uma mola com o torque conhecido que, ao rotacionar um sensor dentro do 
xarope, fará a mola se distender de acordo com a força de resistência do xarope.
Um dado viscosímetro apresenta uma imprecisão de ±200cP (centiPoise). Ao distender totalmente 
(100%), a viscosidade é de 2000cP; se distender 80%, a viscosidade é de 1600cP. Dessa forma, pode-se 
fazer a seguinte tabela:
Tabela
Distensão % Viscosidade Incerteza Erro %
100 2000cP ±200cP 10
80 1600cP ±200cP 12,5
50 1000cP ±200cP 20
20 400cP ±200cP 50
10 200cP ±200cP 100
Qual das fórmulas a seguir foi usada para calcular o erro %?
93
MATEMÁTICA APLICADA
A) erro = incerteza ÷ (distensão% ÷ 100 × 2000) × 100
B) erro = (incerteza ÷ distensão% ÷ 100 + 2000) ÷ 100
C) erro = (incerteza ÷ distensão% ÷ 100) × 2000 × 100
D) erro = incerteza × (distensão% ÷ 100) × 2000 ÷ 100
E) erro = incerteza ÷ distensão% ÷ 100 × 2000 × 100
Resposta correta: alternativa A.
Análise da questão
Os cálculos envolvendo percentagem (ou porcentagem) podem ser considerados como casos 
especiais abrangendo razão e proporção. Considera-se a porcentagem como uma razão envolvendo 
termos consequentes de base 10. Por regra geral, entende-se que a razão percentual será:
x
x
% =
100
O erro é a relação entre a incerteza e o resultado obtido: 
incerteza
erro
viscosidade
=
Utilizando-se a regra de três, pode-se calcular a relação entre a viscosidade e a distensão: 
100% 2000
distensão % viscosidade
2000 distensão % distensão%
viscosidade 2000
100 100
=
×
= = ×
Substituindo no erro:
=
×
incerteza
erro
distensão%
2000
100
O resultado é decimal. Temos que converter para percentual; portanto, multiplicar por 100:
( )
incerteza
erro 100
distensão%
2000
100
erro incerteza distensão% 100 2000 100
= ×
×
= ÷ ÷ × ×
94
Unidade II
Questão 2. Um paciente apresentava sintomasde “tosse brava”, um surto de infecção respiratória 
que estava assolando a região. Ele trouxe a seguinte receita: 
Figura
O estoque do medicamento por via oral, devido ao surto, estava esgotado. O frasco do medicamento 
com a apresentação em suspensão oral contém 100 mL e o rótulo indica que a cada 60 mL há 1200 mg 
de princípio ativo. 
95
MATEMÁTICA APLICADA
Assinale a alternativa que apresenta a equação incorreta:
A) 
200mg 24h
total do dia
6h
×
=
B) 60ml total do dia 10dias
total volume suspensão
1200mg
× ×
=
C) total do tratamento 200mg 4 10dias= × ×
D) 
volume do frasco
total de frascos
total do volume
=
E) 
60ml 200mg 4
total volume suspensão dia
1200mg
× ×
=
Resposta correta: alternativa D.
Análise da questão
Inicialmente, o total de princípio ativo diário.
Usando a regra de três:
6h 200mg
24h total do dia
=
Portanto:
200mg 24h
total do dia
6h
×
=
A equação da alternativa A está correta.
Também é possível simplificar 24 por 6, desta forma:
total do dia 200mg 4= ×
Assim, o total do tratamento será:
total do tratamento 200mg 4 10dias= × ×
A equação da alternativa C está correta.
Para converter o teor em massa para o volume de formulação correspondente, utilizando novamente 
a regra de 3:
96
Unidade II
60mL 1200mg
Vol Suspensão massa Principio Ativo
massa P.A. 1200mg
Vol Suspensão
60mL
=
×
=
Podemos extrair duas informações:
60ml 200mg 4
total volume suspensão dia
1200mg
× ×
=
A equação da alternativa E está correta.
60ml total do dia 10dias
total volume suspensão
1200mg
× ×
=
A equação da alternativa B está correta.
A equação incorreta é a apresentada na alternativa D, pois a quantidade de frascos é:
total do volume
total de frascos
volume do frasco
=
97
REFERÊNCIAS
BARBOSA, H. M; TORRES, B. B., FURLANETO, M. C. Microbiologia básica. São Paulo: Atheneu, 1999.
BOYER, M. J. Cálculo de dosagem e preparação de medicamentos. 7. ed. Rio de Janeiro: 
Guanabara Koogan, 2010.
GUELLI, O. Matemática. São Paulo: Ática, 2006.
GIOVANNI, J. R.; CASTRUCCI, B. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 1985.
IEZZI, G.; DOLCE, O; DEGENSZAJN, D.; PÉRIGO, R. Matemática. 5. ed. São Paulo: Atual, 2011.
MOORE, D. A estatística básica e sua prática. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2011.
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de física básica. Mecânica. 4. ed. São Paulo: Edgard Blucher, 2002. v. 1.
OKUNO. E; CALDAS, I.L.; CHOW, C. Física para ciências biológicas e biomédicas. São Paulo: Harper e 
Row do Brasil, 1982.
PAIVA, M. Matemática. São Paulo: Moderna, 2005.
ROCHA, L. M. Cálculo I. 11 ed. São Paulo: Atlas, 1994. v. 1.
USBERCO, J.; SALVADOR, E. Química. 12. ed. São Paulo: Saraiva, 2006. v. 1
98
99
100
Informações:
www.sepi.unip.br ou 0800 010 9000