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**Explicação:** Primeiro integre em relação a \(y\): \(\int_{0}^{x} (x^2 + y^2) \, dy = x^2y + 
\frac{y^3}{3} \bigg|_{0}^{x} = x^3 + \frac{x^3}{3} = \frac{4x^3}{3}\). Então integre em relação a 
\(x\): \(\int_{0}^{1} \frac{4x^3}{3} \, dx = \frac{4}{3} \cdot \frac{x^4}{4} \bigg|_{0}^{1} = 
\frac{1}{3}\). 
 
2. **Problema:** Encontre a série de Taylor para \(f(x) = e^{-x^2}\) em torno de \(x = 0\). 
 **Resposta:** \(f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{n!}\). 
 **Explicação:** A série de Taylor para \(e^x\) é \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\). 
Substituindo \(-x^2\) para \(x\), obtemos a série para \(e^{-x^2}\). 
 
3. **Problema:** Calcule a integral \(\int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{\pi}{2}\). 
 **Explicação:** Esta é a integral que define a função arco-tangente. \(\int_{0}^{\infty} 
\frac{1}{1+x^2} \, dx = \left. \tan^{-1}(x) \right|_{0}^{\infty} = \frac{\pi}{2} - 0\). 
 
4. **Problema:** Encontre o valor da série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\). 
 **Resposta:** \(\frac{\pi^2}{6}\). 
 **Explicação:** Esta é a famosa série de Basileia. É conhecida que a soma converge para 
\(\frac{\pi^2}{6}\). 
 
5. **Problema:** Determine o valor de \(\int_{0}^{2\pi} e^{i\theta} \, d\theta\). 
 **Resposta:** \(0\). 
 **Explicação:** A integral de uma função exponencial complexa \(e^{i\theta}\) sobre um 
intervalo completo de \(0\) a \(2\pi\) é zero, pois a função é periódica e os valores positivos e 
negativos se cancelam. 
 
6. **Problema:** Calcule a integral \(\int_{0}^{\pi/2} \sin(x) \cos(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{1}{2}\). 
 **Explicação:** Use a identidade \(\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)\). Então, \(\int_{0}^{\pi/2} 
\sin(x) \cos(x) \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/2} \sin(2x) \, dx = \frac{1}{2} \left. -\frac{1}{2} 
\cos(2x) \right|_{0}^{\pi/2} = \frac{1}{2}\). 
 
7. **Problema:** Determine o volume do sólido limitado pelas superfícies \(z = x^2 + y^2\) e 
\(z = 4\). 
 **Resposta:** \(\frac{64\pi}{3}\). 
 **Explicação:** Usando coordenadas cilíndricas: \(\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} \int_{x^2 + 
y^2}^{4} r \, dz \, dr \, d\theta\). O volume é \(\frac{64\pi}{3}\). 
 
8. **Problema:** Encontre a transformada de Laplace de \(f(t) = t^2\). 
 **Resposta:** \(\frac{2}{s^3}\). 
 **Explicação:** A transformada de Laplace de \(t^n\) é \(\frac{n!}{s^{n+1}}\). Aqui, \(n=2\), 
então \(\frac{2!}{s^3} = \frac{2}{s^3}\). 
 
9. **Problema:** Calcule a integral \(\int_{0}^{1} x e^{x^2} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{e - 1}{2}\). 
 **Explicação:** Use substituição \(u = x^2\), então \(du = 2x \, dx\). A integral se torna 
\(\frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^u \, du = \frac{e - 1}{2}\). 
 
10. **Problema:** Determine a série de Fourier de \(f(x) = x\) em \([- \pi, \pi]\). 
 **Resposta:** \(f(x) = \frac{\pi}{2} - \frac{2}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n}\). 
 **Explicação:** A série de Fourier para funções ímpares \(x\) é uma série em seno. 
 
11. **Problema:** Encontre a integral \(\int_{0}^{\infty} \frac{x^2}{e^x - 1} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{\pi^2}{6}\). 
 **Explicação:** Esta é a integral que define a função \(\Gamma(3)\zeta(3)\), que simplifica 
para \(\frac{\pi^2}{6}\). 
 
12. **Problema:** Calcule \(\int_{0}^{\pi} \sin^2(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{\pi}{2}\). 
 **Explicação:** Use a identidade \(\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}\). Então, \(\int_{0}^{\pi} 
\sin^2(x) \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} (1 - \cos(2x)) \, dx = \frac{\pi}{2}\). 
 
13. **Problema:** Determine a integral \(\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}}\). 
 **Resposta:** \(\frac{\pi}{2}\). 
 **Explicação:** Esta é a integral da função arco-seno: \(\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} 
= \arcsin(x) \bigg|_{0}^{1} = \frac{\pi}{2}\). 
 
14. **Problema:** Encontre a transformada de Fourier de \(f(x) = e^{-x^2}\).