exercicio c

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52. **Problema:** Encontre a transformada de Laplace de \( \cos(at) \). 
 **Resposta:** \( \frac{s}{s^2 + a^2} \). 
 **Explicação:** Usamos a fórmula padrão da transformada de Laplace. 
 
53. **Problema:** Calcule o valor de \( \int_1^e \frac{1}{x \ln(x)} \, dx \). 
 **Resposta:** \( 1 \). 
 **Explicação:** Usamos a substituição \( u = \ln(x) \). 
 
54. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( y' = 3y - x \). 
 **Resposta:** \( y = Ce^{3x} - \frac{x}{3} - \frac{1}{9} \). 
 
 
 **Explicação:** Usamos o método do fator integrante. 
 
55. **Problema:** Encontre o determinante da matriz \( \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 
\end{pmatrix} \). 
 **Resposta:** \( -1 \). 
 **Explicação:** Calculamos o determinante de uma matriz 2x2. 
 
56. **Problema:** Calcule o valor de \( \int \frac{e^x}{x} \, dx \). 
 **Resposta:** Não existe uma primitiva elementar. 
 **Explicação:** A integral é expressa em termos da integral exponencial. 
 
57. **Problema:** Determine a série de Fourier da função \( f(x) = \pi - x \) no intervalo \( 0 < x 
< \pi \). 
 **Resposta:** \( f(x) = \frac{\pi^2}{2} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n 2}{n^2} \cos(nx) \). 
 **Explicação:** Usamos a fórmula da série de Fourier para funções periódicas. 
 
58. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( y'' - 2y' + y = 0 \). 
 **Resposta:** \( y = C_1 e^x + C_2 x e^x \). 
 **Explicação:** Usamos a equação característica para encontrar a solução. 
 
59. **Problema:** Encontre a transformada de Laplace de \( t^n \). 
 **Resposta:** \( \frac{n!}{s^{n+1}} \). 
 **Explicação:** Usamos a fórmula padrão da transformada de Laplace para \( t^n \). 
 
60. **Problema:** Determine o valor de \( \int_0^2 e^{x^2} \, dx \). 
 **Resposta:** Não possui uma primitiva elementar. 
 **Explicação:** A integral não pode ser expressa em termos de funções elementares. 
 
61. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( y'' + 4y = 0 \). 
 **Resposta:** \( y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \). 
 **Explicação:** Usamos a equação característica para encontrar a solução. 
 
62. **Problema:** Encontre a série de Taylor de \( \ln(1 + x) \) em torno de \( x = 0 \). 
 **Resposta:** \( \ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots \). 
 **Explicação:** A série é a expansão em torno de zero da função logarítmica. 
 
63. **Problema:** Calcule o valor de \( \int_0^\pi x \sin(x) \, dx \). 
 **Resposta:** \( \pi \). 
 **Explicação:** Usamos integração por partes. 
 
64. **Problema:** Resolva a equação \( y' = -y + e^x \). 
 **Resposta:** \( y = C e^{-x} + e^x - 1 \). 
 **Explicação:** Usamos o método do fator integrante. 
 
65. **Problema:** Determine a solução da equação diferencial \( y'' + 5y' + 6y = 0 \). 
 **Resposta:** \( y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-3x} \). 
 **Explicação:** A solução é encontrada resolvendo a equação característica. 
 
66. **Problema:** Encontre o determinante da matriz \( \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 
\end{pmatrix} \). 
 **Resposta:** \( 10 \).