algebra ensino medio g

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29. **Encontre o valor da série infinita** ∑ (n^2/n!) para n=1 até ∞. 
 **Resposta:** e. 
 **Explicação:** Esta série está relacionada com a expansão da função exponencial. 
 
30. **Calcule a integral definida** ∫(0 até 1) (1 - x^2) dx. 
 **Resposta:** 2/3. 
 **Explicação:** A integral de um polinômio é calculada termo a termo. 
 
31. **Encontre a integral indefinida** ∫ (1/(x^2 + 1)) dx. 
 **Resposta:** arctan(x) + C. 
 **Explicação:** Esta é a forma padrão da integral da função arco tangente. 
 
32. **Determine o valor de** lim (x → ∞) (1 + x^2)^(1/x). 
 **Resposta:** 1. 
 **Explicação:** Use a propriedade de limites exponenciais para encontrar o resultado. 
 
33. **Calcule a integral definida** ∫(1 até e) (ln(x))^2 dx 
 
. 
 **Resposta:** e - 2. 
 **Explicação:** Use a substituição u = ln(x) e resolva. 
 
34. **Encontre a série de Taylor para** e^x em torno de x = 0. 
 **Resposta:** ∑ x^n/n! para n=0 até ∞. 
 **Explicação:** Esta é a expansão da função exponencial. 
 
35. **Determine a integral indefinida** ∫ x sin(x) dx. 
 **Resposta:** -x cos(x) + sin(x) + C. 
 **Explicação:** Use a integração por partes. 
 
36. **Encontre o valor da integral definida** ∫(0 até π/2) x^2 sin(x) dx. 
 **Resposta:** π^2/8 - 2. 
 **Explicação:** Use a integração por partes duas vezes. 
 
37. **Calcule o valor da série infinita** ∑ (1/n^3) para n=1 até ∞. 
 **Resposta:** ζ(3). 
 **Explicação:** Esta é a terceira função zeta de Riemann, que não tem uma forma fechada 
simples. 
 
38. **Determine o valor de** lim (x → 0) (1/x - 1/tan(x)). 
 **Resposta:** 1/3. 
 **Explicação:** Use a série de Taylor para tan(x) e simplifique. 
 
39. **Encontre a solução da equação diferencial** y'' + 4y = 0. 
 **Resposta:** y = C1 cos(2x) + C2 sin(2x). 
 **Explicação:** Resolva a equação diferencial usando as funções trigonométricas. 
 
40. **Calcule a integral definida** ∫(0 até 2) (x^2 e^x) dx. 
 **Resposta:** e^2(4 - 2) - 2. 
 **Explicação:** Use a integração por partes duas vezes. 
 
41. **Encontre a integral indefinida** ∫ (x e^(-x^2)) dx. 
 **Resposta:** -e^(-x^2)/2 + C. 
 **Explicação:** Use a substituição u = x^2. 
 
42. **Determine o valor de** lim (x → ∞) (ln(x)/x^2). 
 **Resposta:** 0. 
 **Explicação:** A função ln(x) cresce mais lentamente que x^2, então o limite é 0. 
 
43. **Calcule o valor da série infinita** ∑ (1/(n^2 + n)) para n=1 até ∞. 
 **Resposta:** 1.