questões e

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Resposta: \( \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) \cdot \cos(x) + C \) 
Explicação: Use integração por partes. 
 
99. **Determine a integral de \( \int \frac{e^{-x}}{\sqrt{x^2 - 4}} \, dx \)** 
Resposta: A integral não possui uma antiderivada expressa em termos de funções elementares. 
Explicação: Não há uma forma fechada. 
 
100. **Calcule a integral de \( \int \frac{1}{x \sqrt{x^2 - 1}} \, dx \)** 
Resposta: \( \text{arccos}(x) + C \) 
Explicação: Use substituição trigonométrica. 
Claro, vou criar 100 problemas matemáticos de nível avançado, com suas respostas e 
explicações. Vamos começar! 
 
1. **Problema:** Determine a integral \(\int_0^1 x e^x \, dx\). 
 **Resposta:** \(e - 1\). 
 **Explicação:** Use a integração por partes com \(u = x\) e \(dv = e^x dx\). Então, \(du = dx\) 
e \(v = e^x\). Aplicando a fórmula \(\int u \, dv = uv - \int v \, du\), temos: 
 \[ 
 \int_0^1 x e^x \, dx = \left. x e^x \right|_0^1 - \int_0^1 e^x \, dx = e - 1 - (e - 1) = e - 1. 
 \] 
 
2. **Problema:** Resolva a equação diferencial \(\frac{d^2y}{dx^2} - 4y = 0\). 
 **Resposta:** \(y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}\). 
 **Explicação:** A equação diferencial é homogênea com coeficientes constantes. A equação 
característica é \(r^2 - 4 = 0\), cujas raízes são \(r = \pm 2\). Assim, a solução geral é uma 
combinação linear das soluções exponenciais associadas. 
 
3. **Problema:** Encontre os valores próprios da matriz \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 
\end{pmatrix}\). 
 **Resposta:** \(3\) e \(-1\). 
 **Explicação:** Calcule o polinômio característico \(\det(A - \lambda I)\). Para \(A = 
\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\), temos: 
 \[ 
 \det \begin{pmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ 2 & 1 - \lambda \end{pmatrix} = (1 - \lambda)^2 - 4 = 
\lambda^2 - 2\lambda - 3. 
 \] 
 As raízes são \(\lambda = 3\) e \(\lambda = -1\). 
 
4. **Problema:** Calcule a soma dos primeiros 10 termos da sequência aritmética onde o 
primeiro termo é 5 e a razão é 3. 
 **Resposta:** 275. 
 **Explicação:** Use a fórmula da soma dos primeiros \(n\) termos de uma PA: \(S_n = 
\frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]\), onde \(a = 5\), \(d = 3\) e \(n = 10\): 
 \[ 
 S_{10} = \frac{10}{2} [2 \cdot 5 + (10 - 1) \cdot 3] = 5 [10 + 27] = 185. 
 \] 
 
5. **Problema:** Encontre a transformada de Laplace de \(f(t) = t e^{2t}\). 
 **Resposta:** \(\frac{1}{(s - 2)^2}\). 
 **Explicação:** Use a fórmula \(\mathcal{L}\{t e^{at}\} = \frac{1}{(s - a)^2}\). Aqui, \(a = 2\), 
então: 
 \[ 
 \mathcal{L}\{t e^{2t}\} = \frac{1}{(s - 2)^2}. 
 \] 
 
6. **Problema:** Resolva a integral \(\int_0^\infty x^2 e^{-x} \, dx\). 
 **Resposta:** \(2\). 
 **Explicação:** Esta é uma integral de Gamma \(\Gamma(n)\) com \(n = 3\): 
 \[ 
 \Gamma(3) = \int_0^\infty x^2 e^{-x} \, dx = 2!. 
 \] 
 
7. **Problema:** Determine o volume da região limitada pelos planos \(x + y + z = 1\) e \(x, y, z 
\geq 0\). 
 **Resposta:** \(\frac{1}{6}\).